（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)、解三角形第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例練習(xí).docx

第8講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例基礎(chǔ)達標(biāo)1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10B北偏西10C南偏東80D南偏西80解析：選D.由條件及題圖可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80.2. 如圖，在塔底D的正西方A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5，在它的南偏東60的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?0，AB的距離是84 m，則塔高CD為()A24 mB12 mC12 mD36 m解析：選C.設(shè)塔高CDx m，則ADx m，DBx m在ABD中，利用余弦定理，得842x2(x)22x2cos 150，解得x12(負(fù)值舍去)，故塔高為12 m.3一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75，距燈塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為()A海里/小時B34海里/小時C海里/小時D34海里/小時解析：選C.如圖所示，在PMN中，PM68，PNM45，PMN15，MPN120，由正弦定理，得，所以MN34，所以該船的航行速度為海里/小時4. 如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A30B45C60D75解析：選B.依題意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.5(2019杭州調(diào)研)據(jù)氣象部門預(yù)報，在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動，距風(fēng)暴中心300 km以內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，則該碼頭處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A9 hB10 hC11 hD12 h解析：選B.記碼頭為點O，熱帶風(fēng)暴中心的位置為點A，t小時后熱帶風(fēng)暴到達B點位置，在OAB中，OA400，AB20t，OAB45，根據(jù)余弦定理得4002400t2220t4003002，即t220t1750，解得105t105，所以所求時間為10510510(h)，故選B.6(2019紹興一中高三期中)以BC為底邊的等腰三角形ABC中，AC邊上的中線長為6，當(dāng)ABC面積最大時，腰AB長為()A6B6C4D4解析：選D.如圖所示，設(shè)D為AC的中點，由余弦定理得cos A，在ABD中，BD2b22b，可得2a2b2144，設(shè)BC邊上的高為h，所以Sahaa ，所以，當(dāng)a232時，S有最大值，此時，b21442a280，解得b4，即腰長AB4.故選D.7如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B與D互補，則AC的長為_km.解析：由余弦定理得8252285cos(D)AC23252235cos D，解得cos D，所以AC7.答案：78(2019嘉興高三模擬) 如圖所示，位于東海某島的雷達觀測站 A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45，與觀測站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時后，又測得該貨船位于觀測站A東偏北(045)的C處，且cos .已知A、C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為_海里/小時解析：因為cos ，0BC10，cos 60(ABAC)21003ABAC，而ABAC，所以，解得ABAC20，故ABAC的取值范圍為(10，20能力提升1. A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個觀測點現(xiàn)位于A點北偏東45、B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要的時間為()A1小時B2小時C(1)小時D小時解析：選A.由題意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB45，所以ADB105，在DAB中，由正弦定理得，所以DB10(海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20海里，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcos DBC3001 20021020900，所以CD30(海里)，則需要的時間t1(小時)2. 如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD. 已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長度為()A50 米B50 米C50米D50 米解析：選B.設(shè)該扇形的半徑為r米，連接CO.由題意，得CD150(米)，OD100(米)，CDO60，在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即150210022150100r2，解得r50 .3(2019瑞安四校聯(lián)考)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且acos Bbcos Ac，當(dāng)tan(AB)取最大值時，角B的值為_解析：由acos Bbcos Ac及正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos Asin Csin(AB)(sin Acos Bcos Asin B)，整理得sin Acos B3cos Asin B，即tan A3tan B，易得tan A0，tan B0，所以tan(AB)，當(dāng)且僅當(dāng)3tan B，即tan B時，tan(AB)取得最大值，所以B.答案：4如圖，在四邊形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，則BC的長為_解析：在ABD中，設(shè)BDx，則BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，整理得x210x960，解得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，所以BCsin 308.答案：85. 為了應(yīng)對日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進行氣象觀測如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進行彈射實驗，觀測點A，B兩地相距100米，BAC60，在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚秒在A地測得該儀器至最高點H處的仰角為30.(已知聲音的傳播速度為340米/秒)(1)求A，C兩地的距離；(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC.解：(1)設(shè)BCx，由條件可知ACx340x40，在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos BAC，即x21002(40x)22100(40x)，解得x380，所以AC38040420米，故A，C兩地的距離為420米(2)在ACH中，AC420，HAC30，AHC903060，由正弦定理，可得，即，所以HC140，故這種儀器的垂直彈射高度為140米6某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l1，l2上的三個集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6 km處，B位于O的北偏東60方向10 km處(1)求集鎮(zhèn)A，B間的距離；(2)隨著經(jīng)濟的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l1，l2上分別修建碼頭M，N，開辟水上航線勘測時發(fā)現(xiàn)：以O(shè)為圓心，3 km為半徑的扇形區(qū)域為淺水區(qū)，不適宜船只航行請確定碼頭M，N的位置，使得M，N之間的直線航線最短解：(1)在ABO中，OA6，OB10，AOB120，根據(jù)余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 120621022610196，所以AB14.故集鎮(zhèn)A，B間的距離為14 km.(2)依題意得，直線MN必與圓O相切設(shè)切點為C，連接OC(圖略)，則O