《22.3實際問題與一元二次方程》同步測試含答案解析.docVIP

22.3 實際問題與一元二次方程一、解答題1某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設(shè)計了點做圓周運動的一個雛形，如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程l（cm）與時間t（s）滿足關(guān)系：l=t2+t（t0），乙以4cm/s的速度勻速運動，半圓的長度為21cm（1）甲運動4s后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？（3）甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了多少時間？2某商場以每件280元的價格購進一批商品，當(dāng)每件商品售價為360元時，每月可售出60件，為了擴大銷售，商場決定采取適當(dāng)降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價1元，那么商場每月就可以多售出5件（1）降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？（2）要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價多少元？3某商店購進600個旅游紀(jì)念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出50個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售，銷售一周后，商店對剩余旅游紀(jì)念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批旅游紀(jì)念品共獲利1250元，問第二周每個旅游紀(jì)念品的銷售價格為多少元？4小林準(zhǔn)備進行如下操作實驗；把一根長為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形（1）要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2，小林該怎么剪？（2）小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2”他的說法對嗎？請說明理由5要在一塊長52m，寬48m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路下面分別是小亮和小穎的設(shè)計方案（1）求小亮設(shè)計方案中甬路的寬度x；（2）求小穎設(shè)計方案中四塊綠地的總面積（友情提示：小穎設(shè)計方案中的x與小亮設(shè)計方案中的x取值相同）6如圖所示，在長和寬分別是a、b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形（1）用a，b，x表示紙片剩余部分的面積；（2）當(dāng)a=6，b=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長7“低碳生活，綠色出行”，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具某運動商城的自行車銷售量自2013年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，該商城1月份銷售自行車64輛，3月份銷售了100輛（1）若該商城前4個月的自行車銷量的月平均增長率相同，問該商城4月份賣出多少輛自行車？（2）考慮到自行車需求不斷增加，該商城準(zhǔn)備投入3萬元再購進一批兩種規(guī)格的自行車，已知A型車的進價為500元/輛，售價為700元/輛，B型車進價為1000元/輛，售價為1300元/輛根據(jù)銷售經(jīng)驗，A型車不少于B型車的2倍，但不超過B型車的2.8倍假設(shè)所進車輛全部售完，為使利潤最大，該商城應(yīng)如何進貨？82010年底某市汽車擁有量為100萬輛，而截止到2012年底，該市的汽車擁有量已達(dá)到144萬輛（1）求2010年底至2012年底該市汽車擁有量的年平均增長率；（2）該市交通部門為控制汽車擁有量的增長速度，要求到2013年底全市汽車擁有量不超過155.52萬輛，預(yù)計2013年報廢的汽車數(shù)量是2012年底汽車擁有量的10%，求2012年底至2013年底該市汽車擁有量的年增長率要控制在什么范圍才能達(dá)到要求9為響應(yīng)區(qū)“美麗廣西 清潔鄉(xiāng)村”的號召，某校開展“美麗廣西 清潔校園”的活動，該校經(jīng)過精心設(shè)計，計算出需要綠化的面積為498m2，綠化150m2后，為了更快的完成該項綠化工作，將每天的工作量提高為原來的1.2倍結(jié)果一共用20天完成了該項綠化工作（1）該項綠化工作原計劃每天完成多少m2？，（2）在綠化工作中有一塊面積為170m2的矩形場地，矩形的長比寬的2倍少3m，請問這塊矩形場地的長和寬各是多少米？10在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化【研究速算】提出問題：4743，5654，7971，是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？幾何建模：用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以4743為例：（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個4743的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：4743的矩形面積或（40+7+3）40的矩形與右上角37的矩形面積之和，即4743=（40+10）40+37=54100+37=2021用文字表述4743的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果歸納提煉：兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）【研究方程】提出問題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x35=0（x0）？幾何建模：（1）變形：x（x+2）=35（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）2或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積即（x+x+2）2=4x（x+2）+22x（x+2）=35（x+x+2）2=435+22（2x+2）2=144x0x=5歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x0，b0，c0）的解要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長）【研究不等關(guān)系】提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y0）？幾何建模：（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）1，畫點部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）2y+5歸納提煉：當(dāng)a2，b2時，表示ab與a+b的大小關(guān)系根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m0，n0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長）11“420”雅安地震后，某商家為支援災(zāi)區(qū)人民，計劃捐贈帳篷16800頂，該商家備有2輛大貨車、8輛小貨車運送帳篷計劃大貨車比小貨車每輛每次多運帳篷200頂，大、小貨車每天均運送一次，兩天恰好運完（1）求大、小貨車原計劃每輛每次各運送帳篷多少頂？（2）因地震導(dǎo)致路基受損，實際運送過程中，每輛大貨車每次比原計劃少運200m頂，每輛小貨車每次比原計劃少運300頂，為了盡快將帳篷運送到災(zāi)區(qū)，大貨車每天比原計劃多跑次，小貨車每天比原計劃多跑m次，一天恰好運送了帳篷14400頂，求m的值12雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；（2）按照（1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？13某商場今年2月份的營業(yè)額為400萬元，3月份的營業(yè)額比2月份增加10%，5月份的營業(yè)額達(dá)到633.6萬元求3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率14某漁船出海捕魚，2010年平均每次捕魚量為10噸，2012年平均每次捕魚量為8.1噸，求2010年2012年每年平均每次捕魚量的年平均下降率15如圖，要建造一個直角梯形的花圃要求AD邊靠墻，CDAD，AB：CD=5：4，另外三邊的和為20米設(shè)AB的長為5x米（1）請求出AD的長（用含字母x的式子表示）；（2）若該花圃的面積為50米2，且周長不大于30米，求AB的長16銅仁市某電解金屬錳廠從今年1月起安裝使用回收凈化設(shè)備（安裝時間不計），這樣既改善了環(huán)境，又降低了原料成本，根據(jù)統(tǒng)計，在使用回收凈化設(shè)備后的1至x月的利潤的月平均值w（萬元）滿足w=10x+90（1）設(shè)使用回收凈化設(shè)備后的1至x月的利潤和為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（2）請問前多少個月的利潤和等于1620萬元？22.3 實際問題與一元二次方程參考答案與試題解析一、解答題1某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設(shè)計了點做圓周運動的一個雛形，如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程l（cm）與時間t（s）滿足關(guān)系：l=t2+t（t0），乙以4cm/s的速度勻速運動，半圓的長度為21cm（1）甲運動4s后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？（3）甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了多少時間？【考點】一元二次方程的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式把t=4s代入求得l的值即可；（2）根據(jù)圖可知，二者第一次相遇走過的總路程為半圓，分別求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可；（3）根據(jù)圖可知，二者第二次相遇走過的總路程為一圈半，也就是三個半圓，分別求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可【解答】解：（1）當(dāng)t=4s時，l=t2+t=8+6=14（cm），答：甲運動4s后的路程是14cm；（2）由圖可知，甲乙第一次相遇時走過的路程為半圓21cm，甲走過的路程為t2+t，乙走過的路程為4t，則t2+t+4t=21，解得：t=3或t=14（不合題意，舍去），答：甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了3s；（3）由圖可知，甲乙第二次相遇時走過的路程為三個半圓：321=63cm，則t2+t+4t=63，解得：t=7或t=18（不合題意，舍去），答：甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了7s【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，試題比較新穎解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形分析相遇問題，第一次相遇時二者走的總路程為半圓，第二次相遇時二者走的總路程為三個半圓，本題難度一般2某商場以每件280元的價格購進一批商品，當(dāng)每件商品售價為360元時，每月可售出60件，為了擴大銷售，商場決定采取適當(dāng)降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價1元，那么商場每月就可以多售出5件（1）降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？（2）要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價多少元？【考點】一元二次方程的應(yīng)用【專題】銷售問題【分析】（1）先求出每件的利潤再乘以每月銷售的數(shù)量就可以得出每月的總利潤；（2）設(shè)要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價x元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可【解答】解：（1）由題意，得60（360280）=4800元答：降價前商場每月銷售該商品的利潤是4800元；（2）設(shè)要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價x元，由題意，得（360x280）（5x+60）=7200，解得：x1=8，x2=60有利于減少庫存，x=60答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達(dá)到7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價60元【點評】本題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系利潤=售價進價的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，解答時根據(jù)銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵3某商店購進600個旅游紀(jì)念品，進價為每個6元，第一周以每個10元的價格售出200個，第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個，但商店為了適當(dāng)增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可多售出50個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售，銷售一周后，商店對剩余旅游紀(jì)念品清倉處理，以每個4元的價格全部售出，如果這批旅游紀(jì)念品共獲利1250元，問第二周每個旅游紀(jì)念品的銷售價格為多少元？【考點】一元二次方程的應(yīng)用【專題】銷售問題【分析】根據(jù)紀(jì)念品的進價和售價以及銷量分別表示出兩周的總利潤，進而得出等式求出即可【解答】解：由題意得出：200（106）+（10x6）（200+50x）+（46）（600200）（200+50x）=1250，即800+（4x）（200+50x）2（20050x）=1250，整理得：x22x+1=0，解得：x1=x2=1，101=9答：第二周的銷售價格為9元【點評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)已知表示出兩周的利潤是解題關(guān)鍵4小林準(zhǔn)備進行如下操作實驗；把一根長為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形（1）要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2，小林該怎么剪？（2）小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2”他的說法對嗎？請說明理由【考點】一元二次方程的應(yīng)用【專題】幾何圖形問題【分析】（1）設(shè)剪成的較短的這段為xcm，較長的這段就為（40x）cm就可以表示出這兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）設(shè)剪成的較短的這段為mcm，較長的這段就為（40m）cm就可以表示出這兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就說明小峰的說法錯誤，否則正確【解答】解：（1）設(shè)剪成的較短的這段為xcm，較長的這段就為（40x）cm，由題意，得（）2+（）2=58，解得：x1=12，x2=28，當(dāng)x=12時，較長的為4012=28cm，當(dāng)x=28時，較長的為4028=1228（舍去）較短的這段為12cm，較長的這段就為28cm；（2）設(shè)剪成的較短的這段為mcm，較長的這段就為（40m）cm，由題意，得（）2+（）2=48，變形為：m240m+416=0，=（40）24416=640，原方程無實數(shù)根，小峰的說法正確，這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2【點評】本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，根的判別式的運用，解答本題時找到等量關(guān)系建立方程和運用根的判別式是關(guān)鍵5要在一塊長52m，寬48m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路下面分別是小亮和小穎的設(shè)計方案（1）求小亮設(shè)計方案中甬路的寬度x；（2）求小穎設(shè)計方案中四塊綠地的總面積（友情提示：小穎設(shè)計方案中的x與小亮設(shè)計方案中的x取值相同）【考點】一元二次方程的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用【專題】幾何圖形問題【分析】（1）根據(jù)小亮的方案表示出矩形的長和寬，利用矩形的面積公式列出方程求解即可；（2）求得甬道的寬后利用平行四邊形的面積計算方法求得兩個陰影部分面積的和即可；【解答】解：（1）根據(jù)小亮的設(shè)計方案列方程得：（52x）（48x）=2300解得：x=2或x=98（舍去）小亮設(shè)計方案中甬道的寬度為2m；（2）作AICD，垂足為I，ABCD，1=60，ADI=60，BCAD，四邊形ADCB為平行四邊形，BC=AD由（1）得x=2，BC=HE=2=AD在RtADI中，AI=2sin60=小穎設(shè)計方案中四塊綠地的總面積為5248522482+（）2=2299平方米【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，特別是圖形的面積問題更是近幾年中考中考查一元二次方程的應(yīng)用的主要題型6如圖所示，在長和寬分別是a、b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形（1）用a，b，x表示紙片剩余部分的面積；（2）當(dāng)a=6，b=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長【考點】一元二次方程的應(yīng)用【專題】幾何圖形問題【分析】（1）邊長為x的正方形面積為x2，矩形面積減去4個小正方形的面積即可（2）依據(jù)剪去部分的面積等于剩余部分的面積，列方程求出x的值即可【解答】解：（1）ab4x2；（2）依題意有：ab4x2=4x2，將a=6，b=4，代入上式，得x2=3，解得x1=，x2=（舍去）即正方形的邊長為【點評】本題是利用方程解答幾何問題，充分體現(xiàn)了方程的應(yīng)用性依據(jù)等量關(guān)系“剪去部分的面積等于剩余部分的面積”，建立方程求解7“低碳生活，綠色出行”，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具某運動商城的自行車銷售量自2013年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，該商城1月份銷售自行車64輛，3月份銷售了100輛（1）若該商城前4個月的自行車銷量的月平均增長率相同，問該商城4月份賣出多少輛自行車？（2）考慮到自行車需求不斷增加，該商城準(zhǔn)備投入3萬元再購進一批兩種規(guī)格的自行車，已知A型車的進價為500元/輛，售價為700元/輛，B型車進價為1000元/輛，售價為1300元/輛根據(jù)銷售經(jīng)驗，A型車不少于B型車的2倍，但不超過B型車的2.8倍假設(shè)所進車輛全部售完，為使利潤最大，該商城應(yīng)如何進貨？【考點】一元二次方程的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）首先根據(jù)1月份和3月份的銷售量求得月平均增長率，然后求得4月份的銷量即可；（2）設(shè)A型車x輛，根據(jù)“A型車不少于B型車的2倍，但不超過B型車的2.8倍”列出不等式組，求出x的取值范圍；然后求出利潤W的表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可【解答】解：（1）設(shè)平均增長率為a，根據(jù)題意得：64（1+a）2=100解得：a=0.25=25%或a=2.25四月份的銷量為：100（1+25%）=125（輛）答：四月份的銷量為125輛（2）設(shè)購進A型車x輛，則購進B型車輛，根據(jù)題意得：2x2.8解得：30x35利潤W=（700500）x+（13001000）=9000+50x500，W隨著x的增大而增大當(dāng)x=35時，不是整數(shù)，故不符合題意，x=34，此時=13（輛）答：為使利潤最大，該商城應(yīng)購進34輛A型車和13輛B型車【點評】本題考查了一元二次方程、一元一次不等式組和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程或不等式，這也是本題的難點82010年底某市汽車擁有量為100萬輛，而截止到2012年底，該市的汽車擁有量已達(dá)到144萬輛（1）求2010年底至2012年底該市汽車擁有量的年平均增長率；（2）該市交通部門為控制汽車擁有量的增長速度，要求到2013年底全市汽車擁有量不超過155.52萬輛，預(yù)計2013年報廢的汽車數(shù)量是2012年底汽車擁有量的10%，求2012年底至2013年底該市汽車擁有量的年增長率要控制在什么范圍才能達(dá)到要求【考點】一元二次方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用【分析】（1）設(shè)2010年底至2012年底該市汽車擁有量的年平均增長率是x，根據(jù)2010年底該市汽車擁有量為100萬輛，而截止到2012年底，該市的汽車擁有量已達(dá)144萬輛可列方程求解（2）設(shè)2012年底到2013年底該市汽車擁有量的年平均增長率為y，則2013年底全市的汽車擁有量為144（1+y）90%萬輛，根據(jù)要求到2013年底全市汽車擁有量不超過155.52萬輛可列不等式求解【解答】解：（1）設(shè)2010年底至2012年底該市汽車擁有量的年平均增長率是x，根據(jù)題意，100（1+x）2=1441+x=1.2x1=0.2=20% x2=2.2（不合題意，舍去） 答：2010年底至2012年底該市汽車擁有量的年平均增長率是20%（2）設(shè)2012年底到2013年底該市汽車擁有量的年平均增長率為y，根據(jù)題意得：144（1+y）14410%155.52解得：y0.18答：2012年底至2013年底該市汽車擁有量的年增長率要控制在不超過18%能達(dá)到要求【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及不等式的應(yīng)用，重點考查理解題意的能力，根據(jù)增長的結(jié)果做為等量關(guān)系列出方程求解，根據(jù)2013車的總量這個不等量關(guān)系列出不等式求解9為響應(yīng)區(qū)“美麗廣西 清潔鄉(xiāng)村”的號召，某校開展“美麗廣西 清潔校園”的活動，該校經(jīng)過精心設(shè)計，計算出需要綠化的面積為498m2，綠化150m2后，為了更快的完成該項綠化工作，將每天的工作量提高為原來的1.2倍結(jié)果一共用20天完成了該項綠化工作（1）該項綠化工作原計劃每天完成多少m2？，（2）在綠化工作中有一塊面積為170m2的矩形場地，矩形的長比寬的2倍少3m，請問這塊矩形場地的長和寬各是多少米？【考點】一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)一共用20天列出分式方程求解即可；（2）根據(jù)矩形的面積為170m2列出一元二次方程求解即可【解答】解：（1）設(shè)該項綠化工作原計劃每天完成xm2，則提高工作量后每天完成1.2xm2，根據(jù)題意，得，解得x=22經(jīng)檢驗，x=22是原方程的根答：該項綠化工作原計劃每天完成22m2（2）設(shè)矩形寬為y m，則長為（2y3）m，根據(jù)題意，得y（2y3）=170，解得y=10或y=8.5 （不合題意，舍去）2y3=17答：這塊矩形場地的長為17m，寬為10m【點評】本題考查了分式方程及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中找到相關(guān)的等量關(guān)系并列出方程求解10在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化【研究速算】提出問題：4743，5654，7971，是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？幾何建模：用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以4743為例：（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個4743的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式：4743的矩形面積或（40+7+3）40的矩形與右上角37的矩形面積之和，即4743=（40+10）40+37=54100+37=2021用文字表述4743的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果歸納提煉：兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果【研究方程】提出問題：怎樣圖解一元二次方程x2+2x35=0（x0）？幾何建模：（1）變形：x（x+2）=35（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+2）2或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積即（x+x+2）2=4x（x+2）+22x（x+2）=35（x+x+2）2=435+22（2x+2）2=144x0x=5歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x0，b0，c0）的解要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長）【研究不等關(guān)系】提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y0）？幾何建模：（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）1，畫點部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）2y+5歸納提煉：當(dāng)a2，b2時，表示ab與a+b的大小關(guān)系根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m0，n0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長）【考點】一元二次方程的應(yīng)用【分析】【研究速算】：可根據(jù)已知示例歸納總結(jié)；【研究方程】：畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構(gòu)造圖，按照示例步驟分割即可得；【研究不等關(guān)系】：畫長m+2，寬n+2的矩形，按圖方式分割，根據(jù)圖形的部分與整體的關(guān)系即可得【解答】解：【研究速算】歸納提煉：兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）為：十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果；故答案為：十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果【研究方程】歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x0，b0，c0）的解幾何建模：（1）畫四個長為x+b，寬為x的矩形，構(gòu)造圖，（2）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，（x+x+b）2或四個長x+b，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為b的小正方形面積即（x+x+b）2=4x（x+b）+b2x（x+b）=c（x+x+b）2=4c+b2（2x+b）2=4c+b2x02x+b=，x=【研究不等關(guān)系】提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y0）？幾何建模：（1）畫長m+2，寬n+2的矩形，按圖方式分割，（2）分析：圖中大矩形的面積可以表示為（m+2）（n+2）；陰影部分面積可以表示為（m+2）1，畫點部分的面積可表示為n+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（m+2）（n+2）（m+2）+（n+2），即aba+b【點評】本題主要考查一元一次方程、一元一次不等式的建模，根據(jù)示例和方程、不等式的特點構(gòu)建幾何圖形并完成分割是解題的關(guān)鍵11 “420”雅安地震后，某商家為支援災(zāi)區(qū)人民，計劃捐贈帳篷16800頂，該商家備有2輛大貨車、8輛小貨車運送帳篷計劃大貨車比小貨車每輛每次多運帳篷200頂，大、小貨車每天均運送一次，兩天恰好運完（1）求大、小貨車原計劃每輛每次各運送帳篷多少頂？（2）因地震導(dǎo)致路基受損，實際運送過程中，每輛大貨車每次比原計劃少運200m頂，每輛小貨車每次比原計劃少運300頂，為了盡快將帳篷運送到災(zāi)區(qū)，大貨車每天比原計劃多跑次，小貨車每天比原計劃多跑m次，一天恰好運送了帳篷14400頂，求m的值【考點】一元二次方程的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）設(shè)小貨車每次運送x頂，則大貨車每次運送（x+200）頂，根據(jù)兩種類型的車輛共運送16800頂帳篷為等量關(guān)系建立方程求出其解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論表示出大小貨車每次運輸?shù)臄?shù)量，根據(jù)條件可以表示出大貨車現(xiàn)在每天運輸次數(shù)為（1+m）次，小貨車現(xiàn)在每天的運輸次數(shù)為（1+m）次，根據(jù)一天恰好運送了帳篷14400頂建立方程求出其解就可以了【解答】解：（1）設(shè)小貨車每次運送x頂，則大貨車每次運送（x+200）頂，根據(jù)題意得：22（x+200）+8x=16800，解得：x=800大貨車原計劃每次運：800+200=1000頂答：小貨車每次運送800頂，大貨車每次運送1000頂；（2）由題意，得2（1000200m）（1+m）+8（800300）（1+m）=14400，解得：m1=2，m2=21（舍去）答：m的值為2【點評】本題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，一元一次方程的解法的運用，解答時根據(jù)各部分工作量之和=工作總量建立方程是關(guān)鍵12雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率；（2）按照（1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？【考點】一元二次方程的應(yīng)用【專題】增長率問題【分析】（1）解答此題利用的數(shù)量關(guān)系是：第一天收到捐款錢數(shù)（1+每次增長的百分率）2=第三天收到捐款錢數(shù)，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款錢數(shù)（1+每次增長的百分率）=第四天收到捐款錢數(shù)，依此列式子解答即可【解答】解：（1）設(shè)捐款增長率為x，根據(jù)題意列方程得，10000（1+x）2=12100，解得x1=0.1，x2=2.1（不合題意，舍去）；答：捐款增長率為10%（2）12100（1+10%）=13310元答：第四天該單位能收到13310元捐款【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列方程的依據(jù)是：第一天收到捐款錢數(shù)（1+每次降價的百分率）2=第三天收到捐款錢數(shù)13某商場今年2月份的營業(yè)額為400萬元，3月份的營業(yè)額比2月份增加10%，5月份的營業(yè)額達(dá)到633.6萬元求3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率【考點】一元二次方程的應(yīng)用【專題】增長率問題；壓軸題【分析】本題是平均增長率問題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量如果設(shè)平均增長率為x，那么結(jié)合到本題中a就是400（1+10%），即3月份的營業(yè)額，b就是633.6萬元即5月份的營業(yè)額由此可求出x的值【解答】解：設(shè)3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率為x，根據(jù)題意得，400（1+10%）（1+x）2=633.6，解得，x1=0.2=20%，x2=2.2（不合題意舍去）答：3月份到5月份營業(yè)額的月平均增長率為20%【點評】本題考查求平均變化率的方法若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1x）2=b（當(dāng)增長時中間的“”號選“+”，當(dāng)降低時