信號與系統(tǒng)第二章習題答案.pdf

63 第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2 . 1 學習重點 1、建立系統(tǒng)的數(shù)學模型微分方程，描述系統(tǒng)激勵( )tf與響應( )ty的關(guān)系，對連續(xù) 時間系統(tǒng)進行時域分析。 2、學會應用經(jīng)典時域分析法求解微分方程。 3、深刻理解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為( )tyzs，零輸入響應為( )tyzi，以及全響應， 會根據(jù)微分方程的特征根與已知系統(tǒng)的初始條件求解。 4、深刻理解系統(tǒng)的沖激響應( )th以及階躍響應( )tg的意義，掌握其求解方法。 5、掌握卷積積分的定義、性質(zhì)和運算，會應用卷積積分法求線性時不變系統(tǒng)的零狀 態(tài)響應( )tyzs。 6、利用 MATLAB進行 LTI 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 2 . 2 教材習題同步解析 2- 1 列寫圖2.1所示中( )( )( )tutiti 021 ,的微分方程。 【知識點竅】本題考察系統(tǒng)方程的基爾霍夫定 律。 【 邏 輯 推 理 】 對 任 一 點 有 KCL： ( ) =0ti 對任一回路有 KVL： ( ) = 0tu 解：因 LR uu= 1 ，根據(jù) VCR,有: 圖 2.1 64 ( ) ( ) dt tdi LtRi 2 1 = 即 ( ) ( ) dt tdi ti 2 1 2= 根據(jù) KVL： ( )( )( )( )tututute cRR += 21 根據(jù) VCR： ( )( )( )titiRtuR 1111 2= ( )( )( )()( )( )titititiRtuR 212122 22+=+= ( )( )( ) ( )( ) dt tdu dt tdu Ctititi cc c 2 1 21 =+= 式和式代入式中，有： ( )( )( )( )tutitite c += 21 24 將式代入式中，得到： ( ) ( ) ( )( )tuti dt tdi te c += 2 2 22 對式求一階導，有： ( )( )( )( ) dt tdu dt tdi dt tid dt tde c += 2 2 2 2 22 將式代入式中，有： ( )( )( ) ( )( )titi dt tdi dt tid dt tde 21 2 2 2 2 2222+= 再將式代入式中，得到( )ti2的微分方程為： ( )( ) ( ) ( ) dt tde ti dt tdi dt tid =+ 2 2 2 2 2 232 對式求一階導，得到： ( )( )( )( ) dt tdu dt tdi dt tdi dt tde c += 21 24 將式、式代入式中，得到： ( )( ) ( )( )titi dt tdi dt tde 21 1 264+= 對式求導，得到： ( )( )( )( ) dt tdi dt tdi dt tid dt ted 21 2 1 2 2 2 264+= 再將式代入式中，得到( )ti1的微分方程為： 65 ( )( )( ) ( )ti dt tdi dt tid dt ted 1 1 2 1 2 2 2 464+= 根據(jù) KVL，有： ( )( )( )( )( )tutitutute R0101 2+=+= 對式求一階導和二階導，得到： ( )( )( ) dt tdu dt tdi dt tde 01 2+= ( )( )( ) 2 0 2 2 1 2 2 2 2 dt tud dt tid dt ted += 式子2式3式2，消去( )ti1，整理后得到( )tu0的微分方程為： ( )( ) ( ) ( )( ) ( )te dt tde dt ted tu dt tdu dt tud 23232 2 2 0 0 2 0 2 +=+ 2- 2 已知描述系統(tǒng)的微分方程如下： （1）( )( )( )023 =+tytyty （2）( )( )( )022 =+tytyty （3）( )( )( )02 =+tytyty 當初始條件為( )( )00, 10=yy時，求零輸入響應。 【知識點竅】本題考察常系數(shù)微分方程經(jīng)典解法。 【邏輯推理】利用系統(tǒng)的特征方程，求出齊次解，代入初始狀態(tài)求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程為 023 2 =+ 可解得特征根為 2, 1 21 = 微分方程齊次解為 ( ) tt h eAeAty 2 21 += 由初始狀態(tài)為( )( )00, 10=yy，則有： = =+ 02 1 21 21 AA AA 66 由聯(lián)立方程可得 1, 2 21 =AA 故系統(tǒng)的零輸入響應為： ( ) tt zi eety 2 2 = （2）由原微分方程可得其特征方程為 022 2 =+ 可解得特征根為 i= 1 2, 1 微分方程齊次解為 ( )()tCtCety t h sincos 21 += 由初始狀態(tài)為( )( )00, 10=yy，則有： =+ = 0 1 21 1 CC C 由聯(lián)立方程可得 1, 1 21 =CC 故系統(tǒng)的零輸入響應為： ( )()ttety t zi sincos += （3）由原微分方程可得其特征方程為 012 2 =+ 可解得特征根為 1 2, 1 = 微分方程齊次解為 ( ) tt h teCeCty += 21 由初始狀態(tài)為( )( )00, 10=yy，則有： =+ = 0 1 21 1 CC C 由聯(lián)立方程可得 1, 1 21 =CC 故系統(tǒng)的零輸入響應為： ( ) tt zi teety += 2- 3 已知描述系統(tǒng)的微分方程如下： （1）( )( )( )02 3 =+tytyty 67 （2）( )( )( )0 2 =+tytyty 當初始狀態(tài)為( )( )( )10 00=yyy時，求零輸入響應。 【知識點竅】本題考察常系數(shù)微分方程經(jīng)典解法。 【邏輯推理】利用系統(tǒng)的特征方程，求出齊次解，代入初始狀態(tài)求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程為 023 23 =+ 可解得特征根為 2, 1, 0 321 = 微分方程齊次解為 ( ) tt h eCeCCty 2 321 += 由初始狀態(tài)為( )( )( )10 00=yyy，則有： =+ = =+ 14 12 1 32 32 321 CC CC CCC 由聯(lián)立方程可得 1 , 3 , 3 321 =CCC 故系統(tǒng)的零輸入響應為： ( ) tt zi eety 2 33 += （2）由原微分方程可得其特征方程為 02 23 =+ 可解得特征根為 1, 0 3, 21 = 微分方程齊次解為 ( ) 321 CteCeCty tt h += 由初始狀態(tài)為( )( )( )10 00=yyy，則有： = =+ =+ 12 1 1 21 21 31 CC CC CC 由聯(lián)立方程可得 4 , 2 , 3 321 =CCC 故系統(tǒng)的零輸入響應為： ( )423+= tt zi teety 68 2- 4 已知某 LTI 系統(tǒng)的微分方程模型為 ( )( )( )( )tftytyty=+2 （1）用兩種方法（微分方程法和卷積積分法）求該系統(tǒng)的階躍響應( )tg； （2）求系統(tǒng)對輸入( )( )ttetf t 3cos 2 =的零狀態(tài)響應。 【知識點竅】本題考察 L T I系統(tǒng)的微分方程的單位沖激響應和單位階躍響應，及其關(guān)系；零狀 態(tài)響應的卷積求解法。 【邏輯推理】求階躍響應時可采取兩種方法：直接求解微分方程零狀態(tài)條件下的階躍響應，或 利用沖激響應積分。 零狀態(tài)響應通過求取系統(tǒng)的沖激響應與激勵函數(shù)相卷積得到。 解： （1）方法一：微分方程法 由微分方程得特征根為 1, 2 21 = 由此可得階躍響應形式為 ( )( )teCeCtg tt += 2 1 2 2 1 對上式求一階、二階導數(shù)，得 ( )()( )( )teCeCteCeCtg tttt += 2 1 2 2 2 12 2 1 ( )()( )()( ) ()( )( )teCeCteCeC teCeCteCeCtg tttt tttt 2 2 12 2 1 2 2 12 2 1 2 1 2 24 + += 將階躍響應( )tg及其一階、二階導數(shù)代入原方程，得： ( )( )( )( )tteCeCteCeCt tttt = + + 2 1 2 1 33 2 2 12 2 1 利用單位沖激函數(shù)的性質(zhì)，得： ( )0 2 1 33 2 1 33 212 2 1 =+= + CCteCeC tt ( )( ) () ( )02 2 1 2 1 21212 2 1 =+ += + tCCtCCteCeC tt 69 得 =+ =+ 02 0 2 1 21 21 CC CC 則得系數(shù) 3 1 , 6 1 21 =CC。將其代入得階躍響應( )th ( )( )teetg tt += 2 1 3 1 6 1 2 方法二：卷積積分法 由微分方程求得特征根，進而可得沖激響應形式為 ( )()( )teCeCth tt 2 2 1 += 對上式求一階、二階導數(shù)，得 ( )()( )()( )teCeCteCeCth tttt 2 2 12 2 1 2+= ( )()( )()( ) ()( )()( )teCeCteCeC teCeCteCeCth tttt tttt 2 2 12 2 1 2 2 12 2 1 2 24 + += 將沖激響應( )th及其一階、二階導數(shù)代入原方程，即 ()( )()( )( )tteCeCteCeC tttt =+ 33 2 2 12 2 1 利用單位沖激函數(shù)的性質(zhì)，得： () ( ) () ( ) () ( )( )ttCCtCCtCC=+ 212121 233 得 =+ =+ 12 0 21 21 CC CC 則得系數(shù) 3 1 , 3 1 21 =CC。 將其代入得沖激響應 ( )( )teeth tt += 3 1 3 1 2 則系統(tǒng)的階躍響應為 ( )( )( ) ( ) () ( )tdee dtee tthtg t += += = 0 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 70 ( ) ( )tee tee tt t tt += += 2 1 3 1 6 1 3 1 6 1 2 0 2 （2）當輸入( )( )ttetf t 3cos 2 =時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為： ( )( )( ) ( ) () () () ()() ()() tetee tetee tteete dteete dteedte dtteee tfthty ttt ttt ttt t t t t tt tt t zs 3sin3cos1 18 1 3sin 18 1 3cos 18 1 18 1 3sin 6 1 3cos 6 1 6 1 3 1 3sin 9 1 3cos 3 1 3sin 3 1 3 1 3cos 3 1 3cos 3 1 3cos 3 1 3 1 33 22 322 0 32 0 2 00 322 22 = = += += + = += = 2- 5 設一個 LTI 系統(tǒng)的輸入和輸出分別為( )tf和( )ty，試用兩種方法證明：當系統(tǒng)的輸入為( )tf 時，輸出為( )ty。 【知識點竅】本題考察 L T I 系統(tǒng)的性質(zhì)。 【邏輯推理】利用零狀態(tài)響應與沖激響應的卷積關(guān)系或系統(tǒng)的時不變性。 證明：方法一： 令系統(tǒng)的單位響應為( )th，則有( )( )( )thtfty= 當系統(tǒng)的輸入為( )tf 時 ( )( )( )()( ) ()( )( )tyty dt d dtfh dt d dtf dt d hthtf= 即證明當系統(tǒng)的輸入為( )tf 時，輸出為( )ty。 方法二： 根據(jù)倒數(shù)定義有： ( ) ()( ) 0 0 0 0 lim t tfttf tf t = 71 根據(jù) LTI 系統(tǒng)的時不變性，可得： ()() 00 ttyttf 則有： ( ) ()( )()( ) ( )ty t tytty t tfttf tf tt limlim 0 0 0 0 0 0 00 = = 即證明當系統(tǒng)的輸入為( )tf 時，輸出為( )ty。 2- 6 已知函數(shù)波形如圖 2.2 所示，計算下面的卷積積分、并畫出其波形。 （1）( )( )tftf 21 （2）( )( )tftf 31 （3）( )( )( )tftftf 321 （4）( )( )tftf 42 （5）( )( )tftf 54 （6）( )( )tftf 64 （7）( )( )tftf 52 （8）( )( )tftf 76 （9）( )( )tftf 85 （10）( )( )tftf 87 圖 2.2 【知識點竅】本題考察卷積求解法。 【邏輯推理】函數(shù)( )tfi與函數(shù)( )tf j 相卷積后的值( )ty，就是在變量由到+范圍內(nèi)， 對某一t值時乘積( )()tff ji 曲線下的面積?；蚶镁矸e積分的微分和積分性質(zhì)以及沖激函數(shù)卷 積性質(zhì)求解。即若 72 ( )( )( )( )( )tftftftftf 1221 = 則其微分 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) tftftftftf 1 212 1 1 1 = 積分 ()( )()( ) ( )( ) ()( ) tftftftftf 1 212 1 1 1 = 含有沖激函數(shù)的卷積有： ( )( )( )tfttf= ( )()() 00 ttftttf= ( )( )( )tfttf= ( )( ) ()( ) ( ) = t dftfttf 1 解： （1 ）如圖可知，( )()()11 2 +=tttf 由含有沖激函數(shù)的卷積可得 ( )( )( )()() ()()11 11 11 121 += += tftf tttftftf 其波形如圖 2.3 所示。 圖 2.3 圖 2.4 （2）如圖可知，( )()()()321 3 +=ttttf 由含有沖激函數(shù)的卷積可得 ( )( )( )()()() ()()()3211 321 111 131 += += tftftf ttttftftf 其波形如圖 2.4 所示。 （3）由卷積積分性質(zhì)可知， ( )( )tftf 21 t 4 3 2 1 - 1 1 0 ( )( )tftf 21 1 t 2 1 - 2 - 1 0 73 ( )( )( )( )()()()()() ()()()()() ( )()()()()() ( )()()()()43221 43221 32111 32111 11111 111111 11 1321 += += += += tftftftftf tftftftftftf ttttftf ttttttftftftf 其波形如圖 2.5 所示。 圖 2.5 （4）如圖可知，( )()()11 2 +=tttf 由含有沖激函數(shù)的卷積可得 ( )( )( )( )( )()() ()()11 11 44 42442 += += tftf tttftftftftf 其波形如圖 2.6 所示。 圖 2.6 （5）由卷積積分的積微性可知： ( )( )( ) ()( ) ( )() ()( ) ()( )()( )1 1 1 5 1 5 1 5 1 5 ) 1( 454 = = tftf tftttftftftf ( )( )( )tftftf 321 t - 2 - 1 1 5 4 3 2 1 0 - 1 2 ( )( )tftf 42 t 1 1 0 - 1 74 由圖可知 ( ) = 11 10 5 t tt tf 即可求得 ()( ) = 1 2 1 10 2 1 2 1 5 tt tt tf 其波形如圖 2.7 所示。 圖 2.7 （6）由卷積積分的積微性可知： ( )( ) ()( )( )( )()( ) ( )()()() ()( )()( ) ()( ) ()( )3212 3222122 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 6 1 464 += += tftftftf tttttftftftftf 由圖可知： ()( ) ( ) () ()11 1 4 = tttttf 即得：( )( )( )() ()() ()() () () ()443322221122 64 +=tttttttttttftf 其波形如圖 2.8 所示。 圖 2.8 （7）由圖可知：( )( )()()( )()()1111 55552 +=+=tftftftttftf 其波形如圖 2.9 所示。 （8）由圖可知， ( )( ) ( )( )()( )()( ) ( )()()() ()( )()( ) ()( ) ()( )3212 3222122 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 676 += += tftftftf tttttftftftftf ( )( )tftf 64 2 t 4 3 0 1 2 t ( )( )tftf 54 1 2 1 0 75 圖 2.9 由圖可知： ()( ) () () () ()2233 1 7 += tttttf 即得：( )( )() ()() ()() ()( ) () ()112112222332 76 +=tttttttttttftf 其波形如圖 2.10 所示。 圖 2.10 圖 2.11 （9）由卷積積分的積微性可知： ( )( )( )( )( ) ()( ) ( )()() ()( ) ()( )()( ) ()( )221 221 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 ) 1( 85885 += += tftftf tfttttftftftftftf 由圖可知 ( ) = 11 10 5 t tt tf 即可求得 ()( ) = 1 2 1 10 2 1 2 1 5 tt tt tf 其波形如圖 2.11 所示。 （10）由卷積積分的積微性可知： ( )( ) ()( )( )( )()( ) ( )()() ()( )()( ) ()( )221 221 1 7 1 7 1 7 1 7 1 8 1 787 += += tftftf ttttftftftftf ( )( )tftf 85 t 3 2 1 0 3 2 1 2 ( )( )tftf 76 2 t 1 0 - 3 - 2 - 1 ( )( )tftf 52 t 2 2 1 - 1 0 76 由圖可知： ()( ) () () () ()2233 1 7 += tttttf 即得： ( )( )() ()() ()( )tttttttftf211333 87 += 其波形如圖 2.12 所示。 圖 2.12 2- 7 利用沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)，計算下列積分： （1）tdttsin 4 （2）()dtet t +3 （3）()()dttt +41 2 （4）( )dt t t t 2sin （5）()()dtttt + 10 10 2 5232 （6）()dtttt52 4 1 2 10 10 + + （7）()dttt t t 0 0 2 （8）() 1 1 2 4 dtt 【知識點竅】本題考察沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)。 【邏輯推理】 ( ) ()( ) () 000 tttftttf=；( ) ()( ) 00 tfdttttf= ； ( )() ( )( ) () ( )( ) ()() 0 0 1 tttt tt tt n n n = = = ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ()( ) ()( ) () 00 0 00 00 tttftttftttf tftfttf = = ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) () ( )( ) 01 0 n n n fdtttf fdtttf = = ( )( )tftf 87 t 2 0 - 1 - 3 1 77 ( ) ()( ) ( ) ( )( )() ( )( ) 00 0 0 1tfdttttf tfdttttf n n n = = 解： （1） 2 2 4 sinsin 4 = tdtt （2）() 3 3edtet t =+ （3）()()()()544141 1 222 =+=+=+ = t tdtttdttt （4）( )( )2 2 2sin 2 2sin = dt t t tdt t t t （5）()()()dttttdtttt + =+ 10 10 2 10 10 2 52 2 3 2 1 5232 2 1 5 2 3 2 3 2 2 1 2 = + = （6）()()()0145252 4 1 4 1 4 1 22 10 10 =+=+ + = tt ttt dt d dtttt （7）()1 22 0 0 0 = = t dttt t t （8）()()()0224 1 1 1 1 2 =+= dtttdtt 2- 8 求圖 2.13（a）所示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應( )ty，并畫出其波形。已知( )=tf ()( )tfkkTt k , 2, 1, 0,2L= = 的波形如圖 2.13（b）所示。 圖 2.13 【知識點竅】本題考察系統(tǒng)的零狀態(tài)響應求解法。 【邏輯推理】零狀態(tài)響應通過求取系統(tǒng)的沖激響應與激勵函數(shù)相卷積得到。 解：系統(tǒng)的單位沖激響應為 78 ( )( )()( )()TttdtTth t = ( )th的波形如圖 2.14（a）所示。故得零狀態(tài)響應為 ( )( )( )()( )()12= = =kk zs kTththkTtthtfty ( )ty的波形如圖 2.14（b）所示。 （a） （b） 圖 2.14 2- 9 圖 2.15 電路，已知( )( ) ( )( )sAiAittf/20 ,10,= 。求全響應( )ti。 圖 2.15 【知識點竅】本題考察系統(tǒng)的全響應求解法。 【邏輯推理】基爾霍夫定律列出系統(tǒng)的微分方程，系統(tǒng)的全響應是由零輸入響應與零狀態(tài)響應 組成；零輸入響應通過經(jīng)典法求取，零狀態(tài)響應通過求取系統(tǒng)的沖激響應與激勵函數(shù)相卷積得到。 解： （1）電路的微分方程為 ( )( )tfti p p= + 6 5 即 ()( )( )tpftipp=+65 2 故 ( )( )( ) ( )tfpHtf pp p ti= + = 65 2 故得轉(zhuǎn)移算子為 79 ( ) ()()3 3 2 2 3265 2 + + + = + = + = pppp p pp p pH （2）零輸入響應的通解為( ) tt x eAeAti 3 2 2 1 += 將初始條件( )( )sAiAi/20,10=代入上式可得5 1 =A，4 2 =A。 故得零輸入響應為 ( )()( )teeti tt x 32 45 = （A） （3）電路的單位沖激響應為( )()( )teeth tt 32 32 += （A） （4）電路的零狀態(tài)響應為 ( )( )( )( )()( )teetthtfti tt f 32 32 += ( )()( )( )()( )tettet tt 32 32 += ()( )tee tt 32 = （A） （5）全響應為 ( )( )( )()( )teetititi tt fx 32 56 =+= （A） 2- 10 圖 2.16（a）所示電路，激勵( )tf的波形如圖 2.16（b）所示。求零狀態(tài)響應( )tuc，并畫出波 形。 圖 2.16 【知識點竅】系統(tǒng)的零狀態(tài)響應可由激勵函數(shù)和系統(tǒng)的單位沖激響應相卷積得到。 【邏輯推理】先求取系統(tǒng)的沖激響應，再通過沖激響應與激勵函數(shù)相卷積即可求得。 解：該電路的微分方程為 80 ( )tfu dt ud c c =+ 2 2 即 ()( )tfup c =+1 2 轉(zhuǎn)移算子為 ( ) 1 1 2 + = p pH 故得單位沖激響應為 ( )( )ttthsin= 故得 ( )( )( )( )( )dtfthtftu t c =sin ( )()dtt t = 0 sin6 ( )() ttt 0 cos6= ( )() ( )ttttcos16= ( )()()66cos1cos1=tttt ( )tuc的波形如圖 2.17 所示。 圖 2.17 2- 11 已知一線性時不變系統(tǒng)對激勵( )( )tttfsin=的零狀態(tài)響應( )ty的波形如圖 2.18 所示。 求該系 統(tǒng)的單位沖激響應( )th，并畫出其波形。 圖 2.18 81 【知識點竅】系統(tǒng)的零狀態(tài)響應可由激勵函數(shù)和系統(tǒng)的單位沖激響應相卷積得到。 【邏輯推理】零狀態(tài)響應由由沖激響應與激勵函數(shù)相卷積求得，由此利用卷積的積分與微分性 質(zhì)求取沖激響應。 解： ( )( )( )( )( )thttthtfty=sin ( ) ( )( )( )( )thttthtt dt d dt tdy =cossin ( ) ( )( )( )( )( )thtttthtt dt d dt tyd =sincos 2 2 ( )( )( )thttth=sin 式式即得： ( )( ) ( ) ( )( )()()212 2 2 +=+=tttty dt tyd tyth ( )th的波形如圖 2.19（c）所示。圖 2.19（a） （b）分別為 ( ) dt tdy ， ( ) 2 2 dt tyd 的波形。 （a） （b） （c） 圖 2.19 2- 12 圖 2.20 所示系統(tǒng)是由幾個子系統(tǒng)組合而成，各子系統(tǒng)的沖激響應分別為 ( )( )tth= 1 （積分器） ( )()1 2 =tth （單位延時器） ( )( )tth= 3 （倒相器） 求總系統(tǒng)的沖激響應( )th。 【知識點竅】線性系統(tǒng)的性質(zhì)。 【邏輯推理】線性系統(tǒng)的沖激響應等于子系統(tǒng)沖激響應的卷積。 82 圖 2.20 解：( )( )( )( )( )( )thththtthth 3121 += ( )( )()( )( )ttttt+=1 ( )()1=tt 2- 13 在圖 2.21 所示系統(tǒng)中，( )()1 1 =tth，( )( )()3 2 =ttth，( )=tf ( )()1tt。求響應( )ty，并畫出其波形。 圖 2.21 圖 2.22 【知識點竅】線性系統(tǒng)的性質(zhì)。 【邏輯推理】線性系統(tǒng)的沖激響應等于子系統(tǒng)沖激響應的卷積。 解：( )( )( )( )( )( )( )ththtfthtftftf 1111 += ( )()( )()()( )()()()111111+=ttttttttt ( )()()()()()32211+=tttttt ( )()3=tt ( )( )( )( )()( )()33 21 =ttttthtfty ( )() () () ()66332+=tttttt ( )ty的波形如圖 2.22 所示。 2- 14 求圖 2.23 所示系統(tǒng)的單位沖激響應( )th。 【知識點竅】系統(tǒng)模擬圖與微分方程之間變換。 83 【邏輯推理】由系統(tǒng)模擬圖求取系統(tǒng)的微分方程。 圖 2.23 解： ( )( )( )dhtth t = ( )( )( )thtth= 即 ( )( )( )tthth =+ 即 ()( )( )tpthp=+1 2 故得 ( ) 1 2 1 1 2 1 1