初中圓的定理和公式匯總.doc

初中圓的定理和公式匯總1不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。 BA 圓：由定點(diǎn)到定長(zhǎng)點(diǎn)的集合叫做圓。符號(hào)0 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。弦： 經(jīng)過圓心的弦叫直徑 半徑不同，圓心相同的兩個(gè)圓叫做同心圓 同圓、等圓或半徑相同的叫做等圓兩個(gè)完全重合的弧叫等弧 經(jīng)過平面上一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓；經(jīng)平面上二點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓； 在三角形外畫一個(gè)圓的圓心叫做此三角形的外心，此圓為三角形的外接圓。 外心：三角形三條中垂線的交點(diǎn)。 三角形三個(gè)頂點(diǎn)在圓上，這個(gè)三角形叫圓的內(nèi)接三角形。2垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧 推論1 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 3圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形 4圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合 5圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合 6圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合 7同圓或等圓的半徑相等 8到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半 徑的圓 9定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦 相等，所對(duì)的弦的弦心距相等 10推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等 11定理 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它 的內(nèi)對(duì)角 12 直線L和O相交 dr 直線L和O相切 d=r 直線L和O相離 dr 13切線的判定定理： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 14切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 15推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) 16推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 17切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等， 圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角 18圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等 19弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角 20推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等 30相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積 相等 31推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的 兩條線段的比例中項(xiàng) 32切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割 線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 33推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等 34如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上 35 兩圓外離 dR+r 兩圓外切 d=R+r 兩圓相交 R-rdR+r(Rr) 兩圓內(nèi)切 d=R-r(Rr) 兩圓內(nèi)含dR-r(Rr) 36定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦 37 定理 把圓分成n(n3): 依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形 經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形 38定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓 39 正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（n-2）180n 40定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形 41正n邊形的面積Sn=pnrn2 p表示正n邊形的周長(zhǎng) 42正三角形面積3a4 a表示邊長(zhǎng) 43如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為 360，因此k(n-2)180n=360化為（n-2）(k-2)=4 44弧長(zhǎng)計(jì)算公式：L=n兀R180 45扇形面積公式：S扇形=n兀R2360=LR2 46內(nèi)公切線長(zhǎng)= d-(R-r) 外公切線長(zhǎng)= d-(R+r) 47定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半 48推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等 49推論2 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所 對(duì)的弦是直徑 切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段1.切線長(zhǎng)概念 切線長(zhǎng)是在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，“切線長(zhǎng)”是切線上一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。 2.切線長(zhǎng)定理 如圖1對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過這點(diǎn)向圓引的兩條切線所夾的角。3.弦切角（如圖2）：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。圖2圖1 直線AB切O于P，PC、PD為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）APC,APD,BPD,BPC4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。即如上圖中APC=CDP等證明：如圖2，連接CD、OC、OP，因?yàn)镃PO=PCO,所以COP=180-2CPO而CPO=90-APC,故COP=2APC,即CDP=APC。5.弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6.遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。7.與圓有關(guān)的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相交弦定理O中，AB、CD為弦，交于P.PAPBPCPD連結(jié)AC、BD，C=B,A=D,所以APCDPB相交弦定理的推論O中，AB為直徑，CDAB于P.PC2PAPB用相交弦定理.切割線定理O中，PT切O于T，割線PB交O于APT2PAPB連結(jié)TA、TB，則PTA=B（弦切角等于同弧圓周角）所以PTAPBT，所以PT2PAPB切割線定理推論P(yáng)B、PD為O的兩條割線，交O于A、CPAPBPCPD過P作PT切O于T，用兩次切割線定理圓冪定理O中，割線PB交O于A，CD為弦PCPDr2OP2PAPBOP2r2r為O的半徑延長(zhǎng)PO交O于M，延長(zhǎng)OP交O于N，用相交弦定理證；過P作切線用切割線定理勾股定理證8.圓冪定理：過一定點(diǎn)P向O作任一直線，交O于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線段之積為常數(shù)|（R為圓半徑），因?yàn)榻凶鳇c(diǎn)對(duì)于O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理。 例1.如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點(diǎn)為F，交CD于E，求DE：AE的值。 圖1例2.O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，求CE。 圖2例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則_。例4.如圖3，P是O外一點(diǎn)，PC切O于點(diǎn)C，PAB是O的割線，交O于A、B兩點(diǎn)，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是_cm。圖3例5.如圖4，AB為O的直徑，過B點(diǎn)作O的切線BC，OC交O于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，求證：（1）；（2）若ABBC2厘米，求CE、CD的長(zhǎng)。 圖4例6.如圖5，AB為O的直徑，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延長(zhǎng)線于E。求證：圖5例7.如圖6，PA、PC切O于A、C，PDB為割線。求證：ADBCCDAB 圖6例8.如圖7，在直角三角形ABC中，A90，以AB邊為直徑作O，交斜邊BC于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作O的切線交AC于E。求證：BC2OE。 圖7例9.如圖8，在正方形ABCD中，AB1，是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)。 當(dāng)DEF45時(shí)，求證:點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)； 圖8【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、選擇題 1.已知：PA、PB切O于點(diǎn)A、B，連結(jié)AB，若AB8，弦AB的弦心距3，則PA（ ） A.20/3 B.25/3 C. 5 D. 8 2.下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（ ） A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3.已知：如圖1直線MN與O相切于C，AB為直徑，CAB40，則MCA的度數(shù)（ ）圖1 A. 50 B. 40 C. 60 D. 55 4.圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1：4，則另一弦長(zhǎng)為（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD=cm，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延長(zhǎng)線與ABC的外接圓的交點(diǎn)，那么DE長(zhǎng)等于（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 6. PT切O于T，CT為直徑，D為OC上一點(diǎn)，直線PD交O于B和A，B在線段PD上，若CD2，AD3，BD4，則PB等于（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空題 7. AB、CD是O切線，ABCD，EF是O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則EOF_度。 8.已知：O和不在O上的一點(diǎn)P，過P的直線交O于A、B兩點(diǎn)，若PAPB24，OP5，則O的半徑長(zhǎng)為_。 9.若PA為O的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交O于B、C，若BC20，PA=，則PC的長(zhǎng)為_。 10.正ABC內(nèi)接于O，M、N分別為AB、AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)MN交O于點(diǎn)D，連結(jié)BD交AC于P