初中圓的定理和公式匯總.doc

初中圓的定理和公式匯總1不在同一直線上的三點確定一個圓。 BA 圓：由定點到定長點的集合叫做圓。符號0 弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。弦： 經(jīng)過圓心的弦叫直徑 半徑不同，圓心相同的兩個圓叫做同心圓 同圓、等圓或半徑相同的叫做等圓兩個完全重合的弧叫等弧 經(jīng)過平面上一點可畫無數(shù)個圓；經(jīng)平面上二點可畫無數(shù)個圓； 在三角形外畫一個圓的圓心叫做此三角形的外心，此圓為三角形的外接圓。 外心：三角形三條中垂線的交點。 三角形三個頂點在圓上，這個三角形叫圓的內(nèi)接三角形。2垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧 推論1 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 3圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形 4圓是定點的距離等于定長的點的集合 5圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合 6圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合 7同圓或等圓的半徑相等 8到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半 徑的圓 9定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦 相等，所對的弦的弦心距相等 10推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等 11定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它 的內(nèi)對角 12 直線L和O相交 dr 直線L和O相切 d=r 直線L和O相離 dr 13切線的判定定理： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 14切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 15推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 16推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 17切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等， 圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角 18圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等 19弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角 20推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等 30相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積 相等 31推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的 兩條線段的比例中項 32切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割 線與圓交點的兩條線段長的比例中項 33推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等 34如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上 35 兩圓外離 dR+r 兩圓外切 d=R+r 兩圓相交 R-rdR+r(Rr) 兩圓內(nèi)切 d=R-r(Rr) 兩圓內(nèi)含dR-r(Rr) 36定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦 37 定理 把圓分成n(n3): 依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形 經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形 38定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓 39 正n邊形的每個內(nèi)角都等于（n-2）180n 40定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形 41正n邊形的面積Sn=pnrn2 p表示正n邊形的周長 42正三角形面積3a4 a表示邊長 43如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為 360，因此k(n-2)180n=360化為（n-2）(k-2)=4 44弧長計算公式：L=n兀R180 45扇形面積公式：S扇形=n兀R2360=LR2 46內(nèi)公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r) 47定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 48推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等 49推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所 對的弦是直徑 切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段1.切線長概念 切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。 2.切線長定理 如圖1對于切線長定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。3.弦切角（如圖2）：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。圖2圖1 直線AB切O于P，PC、PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）APC,APD,BPD,BPC4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。即如上圖中APC=CDP等證明：如圖2，連接CD、OC、OP，因為CPO=PCO,所以COP=180-2CPO而CPO=90-APC,故COP=2APC,即CDP=APC。5.弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6.遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長定理。7.與圓有關(guān)的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相交弦定理O中，AB、CD為弦，交于P.PAPBPCPD連結(jié)AC、BD，C=B,A=D,所以APCDPB相交弦定理的推論O中，AB為直徑，CDAB于P.PC2PAPB用相交弦定理.切割線定理O中，PT切O于T，割線PB交O于APT2PAPB連結(jié)TA、TB，則PTA=B（弦切角等于同弧圓周角）所以PTAPBT，所以PT2PAPB切割線定理推論PB、PD為O的兩條割線，交O于A、CPAPBPCPD過P作PT切O于T，用兩次切割線定理圓冪定理O中，割線PB交O于A，CD為弦PCPDr2OP2PAPBOP2r2r為O的半徑延長PO交O于M，延長OP交O于N，用相交弦定理證；過P作切線用切割線定理勾股定理證8.圓冪定理：過一定點P向O作任一直線，交O于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積為常數(shù)|（R為圓半徑），因為叫做點對于O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理。 例1.如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點為F，交CD于E，求DE：AE的值。 圖1例2.O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE6cm，BE2cm，CD7cm，求CE。 圖2例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則_。例4.如圖3，P是O外一點，PC切O于點C，PAB是O的割線，交O于A、B兩點，如果PA：PB1：4，PC12cm，O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是_cm。圖3例5.如圖4，AB為O的直徑，過B點作O的切線BC，OC交O于點E，AE的延長線交BC于點D，求證：（1）；（2）若ABBC2厘米，求CE、CD的長。 圖4例6.如圖5，AB為O的直徑，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延長線于E。求證：圖5例7.如圖6，PA、PC切O于A、C，PDB為割線。求證：ADBCCDAB 圖6例8.如圖7，在直角三角形ABC中，A90，以AB邊為直徑作O，交斜邊BC于點D，過D點作O的切線交AC于E。求證：BC2OE。 圖7例9.如圖8，在正方形ABCD中，AB1，是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點。 當DEF45時，求證:點G為線段EF的中點； 圖8【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一、選擇題 1.已知：PA、PB切O于點A、B，連結(jié)AB，若AB8，弦AB的弦心距3，則PA（ ） A.20/3 B.25/3 C. 5 D. 8 2.下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（ ） A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3.已知：如圖1直線MN與O相切于C，AB為直徑，CAB40，則MCA的度數(shù)（ ）圖1 A. 50 B. 40 C. 60 D. 55 4.圓內(nèi)兩弦相交，一弦長8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1：4，則另一弦長為（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm 5.在ABC中，D是BC邊上的點，AD=cm，BD3cm，DC4cm，如果E是AD的延長線與ABC的外接圓的交點，那么DE長等于（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 6. PT切O于T，CT為直徑，D為OC上一點，直線PD交O于B和A，B在線段PD上，若CD2，AD3，BD4，則PB等于（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空題 7. AB、CD是O切線，ABCD，EF是O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則EOF_度。 8.已知：O和不在O上的一點P，過P的直線交O于A、B兩點，若PAPB24，OP5，則O的半徑長為_。 9.若PA為O的切線，A為切點，PBC割線交O于B、C，若BC20，PA=，則PC的長為_。 10.正ABC內(nèi)接于O，M、N分別為AB、AC中點，延長MN交O于點D，連結(jié)BD交AC于P