知識講解-指數函數及其性質-基礎.doc

指數函數及其性質【學習目標】1.掌握指數函數的概念，了解對底數的限制條件的合理性，明確指數函數的定義域；2.掌握指數函數圖象：(1)能在基本性質的指導下，用列表描點法畫出指數函數的圖象，能從數形兩方面認識指數函數的性質；(2)掌握底數對指數函數圖象的影響；(3)從圖象上體會指數增長與直線上升的區(qū)別3.學會利用指數函數單調性來比較大小，包括較為復雜的含字母討論的類型；4.通過對指數函數的概念、圖象、性質的學習，培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力，進一步體會數形結合的思想方法；5.通過對指數函數的研究，要認識到數學的應用價值，更善于從現實生活中發(fā)現問題，解決問題【要點梳理】要點一、指數函數的概念：函數y=ax(a0且a1)叫做指數函數，其中x是自變量，a為常數，函數定義域為R.要點詮釋：（1）形式上的嚴格性：只有形如y=ax(a0且a1)的函數才是指數函數像，等函數都不是指數函數（2）為什么規(guī)定底數a大于零且不等于1：如果，則如果，則對于一些函數，比如，當時，在實數范圍內函數值不存在如果，則是個常量，就沒研究的必要了要點二、指數函數的圖象及性質：y=ax0a1時圖象圖象性質定義域R，值域 （0，+）a0=1, 即x=0時，y=1，圖象都經過(0，1)點ax=a，即x=1時，y等于底數a在定義域上是單調減函數在定義域上是單調增函數x1x0時，0ax1x0時，0ax0時，ax1 既不是奇函數，也不是偶函數要點詮釋：（1）當底數大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論。（2）當時，；當時。當時，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快。當時，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快。（3）指數函數與的圖象關于軸對稱。要點三、指數函數底數變化與圖像分布規(guī)律（1） 則：0ba1dc又即：x(0,+)時， （底大冪大） x(,0)時，（2）特殊函數的圖像：要點四、指數式大小比較方法(1)單調性法：化為同底數指數式，利用指數函數的單調性進行比較.(2)中間量法(3)分類討論法(4)比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：若；當兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可【典型例題】類型一、指數函數的概念例1函數是指數函數，求的值【答案】2【解析】由是指數函數，可得解得，所以【總結升華】判斷一個函數是否為指數函數：（1）切入點：利用指數函數的定義來判斷；（2）關鍵點：一個函數是指數函數要求系數為1，底數是大于0且不等于1的常數，指數必須是自變量舉一反三：【變式1】指出下列函數哪些是指數函數？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）為指數函數其中（6）=，符合指數函數的定義，而（2）中底數不是常數，而4不是變數；（3）是-1與指數函數的乘積；（4）中底數，所以不是指數函數類型二、函數的定義域、值域例2求下列函數的定義域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數)【答案】（1）R，(0，1)；（2）R )；（3） ；（4）(-，-1)1，+) 1，a)(a，+)【解析】(1)函數的定義域為R (對一切xR，3x-1). ，又 3x0， 1+3x1， ， ， ， 值域為(0，1).(2)定義域為R， 2x0， 即 x=-1時，y取最小值，同時y可以取一切大于的實數， 值域為).(3)要使函數有意義可得到不等式，即，又函數是增函數，所以，即，即，值域是.(4) 定義域為(-，-1)1，+)，又 ， ， 值域為1，a)(a，+).【總結升華】求值域時有時要用到函數單調性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y0的條件，第(4)小題中不能遺漏.舉一反三：【變式1】求下列函數的定義域：(1) (2)(3) (4)【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1時，；0a1時，；0a1時，外層函數y=au在上為增函數，內函數u=x2-2x在區(qū)間上為減函數，在區(qū)間上為增函數，故函數上為減函數，在區(qū)間上為增函數；當0a1時，外層函數y=au在上為減函數，內函數u=x2-2x在區(qū)間上為減函數，在區(qū)間上為增函數，故函數在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數.例4證明函數在定義域上為增函數.【思路點撥】利用函數的單調性定義去證明?！窘馕觥慷x域為xR，任取x11， x1x2， ， ， f(x1)1且x2-x10， .【總結升華】指數函數是學習了函數的一般性質后，所學的第一個具體函數.因此，在學習中，盡量體會從一般到特殊的過程.例5判斷下列各數的大小關系：(1)1.8a與1.8a+1； (2) (3)22.5，(2.5)0， (4)【思路點撥】利用指數函數的性質去比較大小?！敬鸢浮浚?）1.8a1時，當0a1，所以函數y=1.8x為單調增函數，又因為aa+1，所以1.8a1時，當0a1時，【總結升華】(1)注意利用單調性解題的規(guī)范書寫；(2)不是同底的盡量化為同底數冪進行比較(因為同底才能用單調性)；(3)不能化為同底的，借助一個中間量來比較大小(常用的中間量是“0”和“1”).舉一反三：【變式1】比較大?。?1)22.1與22.3 (2)3.53與3.23 (3)0.9-0.3與1.1-0.1 (4)0.90.3與0.70.4 (5).【解析】(1)22.122.3(2)3.533.23.觀察兩函數值，底數不同，而指數不變不是指數函數，而是y=x3，它為增函數.(3)由0.9-0.3，00.91， -0.31， 1.11， -0.1001.1-0.11.1-0.1；(4)由指數函數圖象相對位置關系數形結合，0.90.30.70.4.(5)，又函數為減函數， ，為增函數，時，y1，.另解：冪函數為增函數，則有，(下略).【高清課堂：指數函數 369066 例1】【變式2】利用函數的性質比較，【答案】【解析】= 作出的圖象知 所以【變式3】 比較1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.【答案】【解析】先比較的大小.由于底數(0，1)， 在R上是減函數， ， ，再考慮指數函數y=1.3x， 由于1.31， 所以y=1.3x在R上為增函數1.30.71.30=1， .【總結升華】在進行數的大小比較時，若底數相同，則可根據指數函數的性質得出結果，若底數不相同，則首先考慮能否化成同底數，然后根據指數函數的性質得出結果；不能化成同底數的，要考慮引進第三個數(如0，1等)分別與之比較，從而得出結果.總之比較時要盡量轉化成底的形式，根據指數函數單調性進行判斷.例6. (分類討論指數函數的單調性)化簡：【思路點撥】先把被開方數變形成完全平方式的形式，然后對進行分類討論，去掉絕對值。【解析】舉一反三：【變式1】如果（，且），求的取值范圍【答案】當時，；當時，【解析】（1）當時，由于，解得（2）當時，由于，解得綜上所述，的取值范圍是：當時，；當時，類型四、判斷函數的奇偶性例7判斷下列函數的奇偶性： (為奇函數)【答案】偶函數【解析】f(x)定義域關于原點對稱(定義域關于原點對稱，且f(x)的定義域是定義域除掉0這個元素)，令，則 g(x)為奇函數， 又 為奇函數， f(x)為偶函數.【總結升華】求的奇偶性，可以先判斷與的奇偶性，然后在根據奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出的奇偶性舉一反三：【變式1】判斷函數的奇偶性：.【答案】偶函數【解析】定義域x|xR且x0，又 ， f(-x)=f(x)，則f(x)偶函數.類型五、指數函數的圖象問題例8如圖的曲線C1、C2、C3、C4是指數函數的圖象，而，則圖象C1、C2、C3、C4對應的函數的底數依次是_、_、_、_【答案】 【解析】由底數變化引起指數函數圖象的變化規(guī)律可知，C2的底數C1的底數C4的底數C3的底數【總結升華】利用底數與指數函數圖象之間的關系可以快速地解答像本題這樣的有關問題，同時還可以解決有關不同底的冪的大小比較的問題，因此我們必須熟練掌握這一性質，這一性質可簡單地記作：在y軸的右邊“底大圖高”，在y軸的左邊“底大圖低”舉一反三：【變式1】 設，cba且，則下列關系式中一定成立的是（ ）A B C D 【答案】D【變式2】為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象()A向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度B向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度C向左平移2個單位長度，再向上平移