必修五課件：余弦定理.ppt

1,余弦定理,2,直角三角形中的邊角關(guān)系：,1、角的關(guān)系：,A+B+C=180 A+B=C=90 ,2、邊的關(guān)系：,a2+b2=c2,3、邊角關(guān)系：,復(fù)習(xí),3,C,B,A,a,b,c,c2 a2+b2,c2 a2+b2,看一看想一想,直角三角形中的邊a、 b不變，角C進(jìn)行變動(dòng),勾股定理仍成立嗎？,天??！,c2 = a2+b2,4,是尋找解題思路的最佳途徑,c=,?,c2=,=,?,?,?,算一算試試！,聯(lián)想,5,證明：,向量法,證明,6,同理可證：,格式二：逆用公式,證明,7,證明：以CB所在的直線(xiàn)為x軸，過(guò)C點(diǎn)垂直于CB的直線(xiàn)為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：,解析法,證明,8,當(dāng)角C為銳角時(shí),幾何法,當(dāng)角C為鈍角時(shí),余弦定理作為勾股定理的推廣，考慮借助勾股定理來(lái)證明余弦定理。,證明,9,證明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CDAB，則CD=bsinA,BD=c-bcosA,同理有：,當(dāng)然，對(duì)于鈍角三角形來(lái)說(shuō)，證明類(lèi)似，課后 自己完成。,10,余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC,你能用文字說(shuō)明嗎？,三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。,歸納,11,變一變樂(lè)在其中,a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC,變形,歸納,12,想一想：,余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？,a2+b2=c2,13,問(wèn)題1：勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？,勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.,問(wèn)題2：公式的結(jié)構(gòu)特征怎樣？,（1）輪換對(duì)稱(chēng)，簡(jiǎn)潔優(yōu)美;,剖 析 定 理,（2）每個(gè)等式中有同一個(gè)三角形中的四個(gè)元素，知三求一.（方程思想）,剖析,14,思考：,已知兩邊及一邊的對(duì)角時(shí)，我們知道可用正弦定理來(lái)解三角形，想一想能不能用余弦定理來(lái)解這個(gè)三角形？ 如：已知b=4,c= ,C=60求邊a.,15,（3）已知a、b、c（三邊），可以求什么？,剖 析 定 理,剖析,P14例3,P15練習(xí)2,3,16,剖 析 定 理,（4）能否把式子 轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式？,分析：,剖析,17,（1）已知三邊求三個(gè)角；,問(wèn)題3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？,（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.,剖 析 定 理,剖析,P14例1、例2,18,19,會(huì)用才是真的掌握了,余弦定理在解三角形 中能解決哪些問(wèn)題？,角邊角 角角邊 邊邊角 邊角邊 邊邊邊,正弦定理,余弦定理,運(yùn)用,20,練一練：P15練習(xí)1，4,1、已知ABC的三邊為 、2、1，求它的最大內(nèi)角。,變一變：,若已知三邊的比是 :2:1,又怎么求？,21,再練：,2、已知ABC中AB=2、AC=3、A= ，求BC的長(zhǎng)。,解：由余弦定理可知 BC2=AB2+AC2-2ABACcosA =4+9-223 =7 BC=,22,思考： （1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形狀,分析：三角形ABC的形狀是由大邊b所對(duì)的大角B決定的。,（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面積,分析：三角形的面積公式 S= absinC = bcsinA= acsinB, 只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出 sinC(sinA或 sinB）代入面積公式即可。,23,2.余弦定理,3.由余弦定理知,1.證明定理:,課堂小結(jié),向量法、解析法、幾何法,24,（1）已知三邊求三個(gè)角；,（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.,5.余弦定理的作用,（3）判斷三角形的形狀，求三角形的面積,4.余弦定理適用于任何三角形,25,26,例4 在長(zhǎng)江某渡口處，江水以5km/h速度向東流。一渡船在江南岸的A碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.1h后到達(dá)江北岸碼頭（如圖）。設(shè)AN為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東15o，并與A碼頭相距1.2km.該渡船應(yīng)按什么方向航行？速度是多少 千米/小時(shí)？（角度精確到0.1o，速度精確到0.1km/h),27,P16練習(xí)1,2,28,練習(xí):P16練習(xí)3,4,29,練習(xí):P177,13,30,作業(yè)：P17 2，8，11，12,31,32,提高性訓(xùn)練：,1、在ABC中，求證：c=acosB+bcosA,2、在ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB邊的中線(xiàn)長(zhǎng)。,33,例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,c= , 解這個(gè)三角形（邊長(zhǎng)保留四個(gè)有效數(shù)字，角度精確到 ）,分析：已知兩邊和兩邊的夾角,解：,34,例 2：在ABC中，已知a2.730，b3.696， C8228，解這個(gè)三角形.,解：,由 c2=a2b22abcosC,得 c4.297., B180(AC)5830.,35,例 3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.,解法一：, A84.,36,例 3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.,解法二：, A84.,37,例 3：ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.,分析三： A = + ,tan = ?,tan = ?,tan(+ ) =,38,解：,在AOB中， |a b|2 |a|2|b| 2 2|a|b|cos120 61,例 4：已知向量a、b夾角為120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab與a的夾角.,39, COA即ab與a的夾角約為49.,例 4：已知向量a、b夾角為120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab與a的夾角.,在OAC中， |a + b|2 |a|2|b| 2 2|a|b|cos60 21,40,例5 已知四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)為AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30, 求C.,解: BD2 = AB2 + AD2 2ABADcosA 2.60,C 107.5.,思考：若A= , 怎樣用表示四邊形ABCD的面積？,41,練習(xí) ABC中, （1）a4，b3，C60，則c_；,14.6,（2）a = 2, b = 3, c = 4, 則C = _.,