必修五課件：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法.ppt

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系 例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個通項(xiàng)公式：9，99，999，9999， 解：（1）變形為：1011，1021，1031，1041， 通項(xiàng)公式為：,1.觀察法,當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。,2.公式法,例2： 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)， (1)求數(shù)列 a n 和 b n 的通項(xiàng)公式；,解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2，a 3 = f (d+1)= d 2， a3a1=d 2(d2)2=2d， d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)； 又b1= f (q+1)= q 2，b3 =f (q1)=(q2)2， =q2，由qR，且q1，得q=2， bn=bqn1=4(2)n1,3.S n法,（1）若f(n)為常數(shù),即：an+1-an=d,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則an=a1+(n-1)d （2）若f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.方法如下： 由 an+1=an+f(n)得：當(dāng)n1時，有 an =an-1 + f(n-1) an-1 =an-2 + f(n-2) a3 = a2 + f(2) a2 = a1 + f (1) 所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+ f(2)+ f(1).,一般地，對于型如 an+1=an+f(n)的通項(xiàng)公式，只要f(n)能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。,4. 疊加法,也可用橫式來寫：,(也稱累加法）,例 已知數(shù)列an中,a1=1,an=an-1+n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。,解：an =an-1 + n an-1=an-2 +（n-1） a3= a2 + 3 a2= a1 + 2 各式相加得，an=a1+n+(n-1)+3+2 =1+ n+(n-1)+3+2 = n(n+1)/2 當(dāng)n=1時，a1=(12)/2=1, 故，an= n(n+1)/2,例 已知數(shù)列an中,a1=1,an+1-an=2n-n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。,解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1 各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+22+21) -(n-1) +(n-2)+2+1 =1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 1,當(dāng)n=1時，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1,已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng). 若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和; 若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和; 若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和; 若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。,備 注：,（1）當(dāng)f(n)為常數(shù),即： （其中q是不為0的數(shù)）, 此時,數(shù)列為等比數(shù)列，an=a1qn-1. （2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時,用累乘法. 由 得n1 時， ，,5.疊乘法,對于型如：an+1=f(n)an 類的通項(xiàng)公式，當(dāng)f(1)f(2)f(n)的值可以求得時，宜采用此方法。,(也稱累乘法、累積法）,本題是關(guān)于an和an+1的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時用求根公式）得到an與an+1的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.,（1）若c=1時，數(shù)列an為等差數(shù)列; （2）若d=0時，數(shù)列an為等比數(shù)列; （3）若c1且d0時，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列， 其通項(xiàng)可通過構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法1：待定系數(shù)法 設(shè)an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m, 與題設(shè)an+1=c an+d,比較系數(shù)得: (c-1)m=d, 所以有：m=d/(c-1) 因此數(shù)列 構(gòu)成以 為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，,6.輔助數(shù)列法,這種方法類似于換元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c0,a1=a)的已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。,（構(gòu)造法或待定系數(shù)法）,.,方法四：歸納、猜想、證明. 先計(jì)算出a1,a2,a3; 再猜想出通項(xiàng)an; 最后用數(shù)學(xué)歸納法證明.,方法三：迭代法 由 遞推式,直接迭代得,例已知數(shù)列an中，a1=3,an+1=2an+3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式,解法1：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3） 所以an+3是以a1+3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以:an+3=（ a1+3） 2n-1 故an=62n-1-3,解法2：因?yàn)閍n+1=2an+3，所以n1時， an=2an-1+3，兩式相減，得：an+1 - an=2(an-an-1). 故an-an-1是以a2-a1=6為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列. an-an-1=(a2-a1)2n-1=62n-1, an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1),例.已知,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,例. 已知數(shù)列an中，a1=1, an+1+3an+1an-an=0, 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,7.逐差法,形如an+1+an=f(n)的數(shù)列. （1）若an+1+an=d （d為常數(shù)），則數(shù)列 an為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論; （2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）