高中數(shù)學(xué)知識點基本概念.doc

高一數(shù)學(xué)必修1知識網(wǎng)絡(luò)集合一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合（或集），構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員）。一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作。一般地，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作，讀作“A包含于B”，或“B包含于A”。如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，記作，讀作“A真包含于B”，或“B真包含A”。一般地，如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，記作A=B。一般地，對于兩個給定的集合A，B，由屬于A又屬于B的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A，B的交集，記作，讀作“A交B”。一般地，對于兩個給定的集合A，B，由兩個集合的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A與B的并集，記作，讀作“A并B”。如果給定集合A是全集U的一個子集，由U中不屬于A的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A在U中補(bǔ)集，記作，讀作“A在U中的補(bǔ)集”。1對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。如：集合中元素各表示什么？2 進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況。注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題?？占且磺屑系淖蛹?，是一切非空集合的真子集。如：集合，若，則實數(shù)的值構(gòu)成的集合為 答： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3注意下列性質(zhì)：（1）集合的所有子集的個數(shù)是（2）若4你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）如：已知關(guān)于的不等式的解集為，若且，求實數(shù)的取值范圍。 函數(shù)函數(shù)是一種關(guān)系，在一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定了一個x值，相應(yīng)地就確定唯一的一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。定義 設(shè)A，B是兩個非空集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對A中的任意一個元素x，在B中有且僅有一個（唯一確定）元素y與x對應(yīng)，則稱f是集合A到集合B的映射。這時，稱y是x在映射f的作用下的象，記作f(x)。于是y=f(x)，x稱作y的原象。映射f也可記為：f：AB， xf(x).其中A叫做映射f的定義域（函數(shù)定義域的推廣），由所有象f(x)構(gòu)成的集合叫做映射f的值域，通常叫作f(A)。注意：1. “y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；2. 函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x。3. 集合A和B是有先后順序的，A到B的映射與B到A的映射是截然不同的，其中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用多種形式表示。4. “有且僅有一個（唯一確定）”意思是：一是必有一個，二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。l 構(gòu)成函數(shù)的三要素是：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。 構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）。 兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。l 區(qū)間的概念 區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 無窮區(qū)間 區(qū)間的數(shù)軸表示如果映射f是集合A到集合B的映射，并且對于集合B中的任意一個元素，在集合A中有且只有一個原象，這時我們說這兩個集合的元素之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，并把這個映射叫做從集合A到集合B的一一映射。在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù)。l 函數(shù)的單調(diào)性定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,（1）若當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；（2）若當(dāng)x1f(x2)，則說f(x) 在這個區(qū)間上是減函數(shù)。若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。l 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟：利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟： 任取x1，x2D，且x11，且*當(dāng)是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù)此時，的次方根用符號表示式子叫做根式（radical），這里叫做根指數(shù)（radical exponent），叫做被開方數(shù)（radicand）當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)此時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成（0）由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作表1指數(shù)函數(shù)對數(shù)數(shù)函數(shù)定義域值域圖象性質(zhì)過定點過定點減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)底數(shù)越小越接近坐標(biāo)軸底數(shù)越大越接近坐標(biāo)軸底數(shù)越小越接近坐標(biāo)軸底數(shù)越大越接近坐標(biāo)軸表2冪函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)第一象限性質(zhì)減函數(shù)增函數(shù)過定點以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)。換底公式：自然對數(shù)：以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)。積、商、冪的對數(shù)運算法則：（1）loga(MN)=logaM+logaNloga(N1 N2 N3Nk)=logaN1+logaN2+logaN3+logaNk即正因數(shù)積的對數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)對數(shù)的和。（2）loga()=logaM-logaN即兩個正數(shù)商的對數(shù)等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)。（3）loga=logaM即正數(shù)冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘以同一底數(shù)冪的底數(shù)的對數(shù)。冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)y=xa叫做冪函數(shù)，x是自變量，a是常數(shù)。冪函數(shù)的性質(zhì)：1、 所有的冪函數(shù)在(0，+)都有定義，并且圖象都過點（1，1）（原因：1x=1）;2、 在(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸（簡記為指大圖低）；在(1，+)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸。3、 冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，值域是否出現(xiàn)在第二、第三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性，冪函數(shù)的圖象最多只能同事出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)，如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點。4、 冪函數(shù)的定義域的求法可分五種情況，即：（1）為0；（2）為正整數(shù)；（3）為負(fù)整數(shù)；（4）為正分?jǐn)?shù)；（5）為負(fù)分?jǐn)?shù)。5、 作冪函數(shù)的圖象要聯(lián)系函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等，只要作出冪函數(shù)在第一象限的圖象，然后根據(jù)它的奇偶性就可作出冪函數(shù)在定義域內(nèi)完整的圖象。6、 冪函數(shù)的圖象主要分為以下幾類：(1) 當(dāng)=0時，圖象是過(1，1)點平行于x軸但摳去(0，1)點的一條“斷”直線；(2) 當(dāng)為正偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)，圖象過第一、第二象限及原點。(3) 當(dāng)為正奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，圖象過第一、第三象限及原點。(4) 當(dāng)為負(fù)偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)，圖象過第一、第二象限，但不過原點。(5) 當(dāng)為負(fù)奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，圖象過第一、第二象限，但不過原點。7、 當(dāng)0時，冪函數(shù)圖象一些性質(zhì)：(1) 圖象都通過點(1，1)，(0，0)；(2) 在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；(3) 在第一象限內(nèi)，1時，圖象是向下凸的；01時，圖象是向上凸的。8、 當(dāng)0時，冪函數(shù)圖象一些性質(zhì)：(1) 圖象都通過點(1，1)；(2) 在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象是向下凸的。反函數(shù)：當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時，可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的自變量，而把這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量。我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù)。高中數(shù)學(xué)必修2知識點數(shù)軸上的基本公式如果數(shù)軸上的任意一點A沿著軸的正向或負(fù)向移動到另一點B，則說點在軸上作了一次位移，點不動則說點作了零位移。位移是一個既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，簡稱向量。數(shù)軸上同向且等長的向量叫做相等的向量。平面直角坐標(biāo)系中的基本公式1、兩點間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，則。2、中點公式：設(shè)，M(x,y)是線段AB的中點，直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，不存在。過兩點的直線的斜率公式： 注意下面四點：(1)當(dāng)時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程的幾種形式點斜式：直線斜率k，且過點注意：當(dāng)直線的斜率為0時，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點式：（）直線兩點，截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）過定點的直線系（）斜率為k的直線系：，直線過定點；（）過兩條直線，的交點的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（6）兩直線平行與垂直當(dāng)，時，兩直線平行的充要條件：；兩直線垂直的充要條件：注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。點到直線距離公式：一點到直線的距離兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進(jìn)行求解。（7）兩條直線的交點 相交交點坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解與重合圓的方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；特別的，如果圓心在坐標(biāo)原點，這時a=0，b=0，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是。（2）一般方程當(dāng)時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當(dāng)時，表示一個點； 當(dāng)時，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，則有；（2）設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；注：如果圓心的位置在原點，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點坐標(biāo)，r表示半徑。 (3)過圓上一點的切線方程：圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為 (課本命題)圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)時兩圓外離，此時有公切線四條；當(dāng)時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時，為同心圓?？臻g直角坐標(biāo)系（1）定義：如圖，是單位正方體.以A為原點，分別以O(shè)D,OA1,OB的方向為正方向，建立三條數(shù)軸x軸、y軸、z軸。這時建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.1）O叫做坐標(biāo)原點 2）x 軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸. 3）過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。（3）任意點坐標(biāo)表示：空間一點M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，有序?qū)崝?shù)組 叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作（x叫做點M的橫坐標(biāo)，y叫做點M的縱坐標(biāo)，z叫做點M的豎坐標(biāo)）空間兩點的距離公式：空間兩點的距離公式為 特別地，點到原點O的距離公式為 立體幾何初步1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母，如五棱臺幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法斜二測畫法特點：原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線） （3）柱體、錐體、臺體的體積公式 （4）球體的表面積和體積公式：V= ； S=4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系（1）平面 平面的概念： A.描述性說明； B.平面是無限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫在一個銳角內(nèi)）；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。 點與平面的關(guān)系：點A在平面內(nèi)，記作；點不在平面內(nèi)，記作點與直線的關(guān)系：點A的直線l上，記作：Al； 點A在直線l外，記作Al；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面內(nèi)，記作l；直線l不在平面內(nèi)，記作l。（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）應(yīng)用：檢驗桌面是否平； 判斷直線是否在平面內(nèi)用符號語言表示公理1：（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù)（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面和相交，交線是a，記作a。符號語言：公理3的作用：它是判定兩個平面相交的方法。它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線aa，bb，則把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0，90，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關(guān)。（3）求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點三種位置關(guān)系的符號表示：a aA a（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點；相交有一條公共直線。b5、空間中的平行問題（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。 線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理（1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行面面平行），（2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。（線線平行面面平行），（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質(zhì)定理（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行）6、空間中的垂直問題（1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。7、空間角問題（1）直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)1 算法初步秦九韶算法是一種將一元n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化為n個一次式的算法。一般地，一元n次多項式的求值需要經(jīng)過n（n+1）/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。對于一個n次多項式，至多做n次乘法和n次加法表達(dá)式如下：例題：秦九韶算法計算多項式 答案： 6 ， 6 u 理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是空調(diào)使用的算法(algorithm) 1. 描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計語言（本書指偽代碼）. 2. 算法的特征：有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一個或多個。沒有輸出的算法是無意義的?？尚行裕核惴ǖ拿恳徊蕉急仨毷强蓤?zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機(jī)器在一定時間內(nèi)可以完成，在時間上有一個合理的限度3. 算法含有兩大要素：操作：算術(shù)運算，邏輯運算，函數(shù)運算，關(guān)系運算等控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)。v 流程圖：（flow chart）: 是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。注意：1. 畫流程圖的時候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣。2. 拿不準(zhǔn)的時候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框時，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這個條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時候也就可以有幾種書寫方法了。3. 在輸出結(jié)果時，如果有多個輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)束框。w算法結(jié)構(gòu)：直到型循環(huán) 當(dāng)型循環(huán) Y N NpA N YAp Y N ABpAB順序結(jié)構(gòu)， 選擇結(jié)構(gòu)， 循環(huán)結(jié)構(gòu).順序結(jié)構(gòu)（sequence structure ）：是一種最簡單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。.選擇結(jié)構(gòu)（selection structure ）：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時主要是注意臨界條件的確定。它有一個入口，兩個出口，執(zhí)行時只能執(zhí)行一個語句，不能同時執(zhí)行，其中的A,B兩語句可以有一個為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時，執(zhí)行某語句，至于不成立時，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。.循環(huán)結(jié)構(gòu)（cycle structure）：它用來解決現(xiàn)實生活中的重復(fù)操作問題，分直到型（until）和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時（即不知道循環(huán)次數(shù)時）用當(dāng)型循環(huán)。x基本算法語句：本書中指的是偽代碼（pseudo code），且是使用 BASIC語言編寫的，是介自然語言和機(jī)器語言之間的文字和符號，是表達(dá)算法的簡單而實用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號要相對統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可以用 ，也可以用，表示兩變量相乘時可以用“*”，也可以用“”. 賦值語句（assignment statement）：用 表示， 如：，表示將y的值賦給x，其中x是一個變量，y是一個與x同類型的變量或者表達(dá)式。一般格式：“”，有時在偽代碼的書寫時也可以用“”，但此時的“=”不是數(shù)學(xué)運算中的等號，而應(yīng)理解為一個賦值號。注：1. 賦值號左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式?！? ”具有計算功能。如：3=a，b+6=a，都是錯誤的，而a=3*51，a=2a +3都是正確的。2.一個賦值語句一次只能給一個變量賦值。 如：a=b=c=2，a，b，c =2都是錯誤的，而a=3是正確的。例題：將x和y的值交換 同樣的如果交換三個變量x，y，z的值：.輸入語句（input statement）：Read a，b表示輸入的數(shù)一次送給a，b輸出語句（out statement）：Print x，y表示一次輸出運算結(jié)果x，y注：1.支持多個輸入和輸出，但是中間要用逗號隔開！2.Read 語句輸入的只能是變量而不是表達(dá)式 3.Print 語句不能起賦值語句，意旨不能在Print 語句中用“=”4.Print語句可以輸出常量和表達(dá)式的值5.有多個語句在一行書寫時用“；”隔開例題：當(dāng)x等于5時，Print“x= ”；x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5.條件語句（conditional statement）：1.行If語句: If A Then B 注：沒有 End If 2.塊If語句： 注：不要忘記結(jié)束語句End If ，當(dāng)有If語句嵌套使用時，有幾個If，就必須要有幾個End If . Else If 是對上一個條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外Else If 后面也要有End If 注意每個條件的臨界性，即某個值是屬于上一個條件里，還是屬于下一個條件。為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書寫。格式如下：If A ThenBElseCEnd IfIf A ThenBElse If C Then DEnd If例題：用條件語句寫出求三個數(shù)種最大數(shù)的一個算法。Read a , b , cIf ab Then If ac Then Print a Else Print c End If Else If bc ThenPrint bElse Print cEnd If End If Read a , b , cIf ab and ac ThenPrint aElse If bc ThenPrint bElsePrint cEnd If 或者 注：1. 同樣的你可以寫出求三個數(shù)中最小的數(shù)。2. 也可以類似的求出四個數(shù)中最小、大的數(shù).循環(huán)語句（cycle statement）： u 當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時用 For 循環(huán) ，即使是 N次也是已知次數(shù)的循環(huán) v 當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時用While循環(huán) w Do 循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對應(yīng).While A End While While循環(huán)For I From 初值 to 終值 Step 步長 End For For 循環(huán)Do Loop Until p 直到型Do循環(huán)Do While p Loop 當(dāng)型Do循環(huán)說明：1. While循環(huán)是前測試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決有關(guān)問題時，可以寫成While循環(huán)，較為簡單，因為它的條件相對好判斷. 2. 凡是能用While循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For 循環(huán)書寫 3. While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化 4. Do循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時條件要相應(yīng)變化 5. 注意臨界條件的判定.高中數(shù)學(xué)必修4知識點角的概念各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和。2、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再從軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為終邊所落在的區(qū)域?；《戎坪突《戎婆c角度制的換算5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度的角。6、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是。7、弧度制與角度制的換算公式：， rad0.01745 rad， 1 rad= 180= rad rad= rad8、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)的定義9、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標(biāo)是，它與原點的距離是，則叫做角的正弦，記作sin，即，叫做角的余弦，記作cos，即，叫做角的正切，記作tan，即還有三個函數(shù)：角的正割：sec=；角的余割：csc=；角的余切：cot=；這就是說，sec，csc，cot分別是的余弦、正弦和正切的倒數(shù)。一般地，我們把半徑為1的圓叫做單位圓。角的余弦和正弦分別等于角的終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。Pvx y A O M T 10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正。11、三角函數(shù)線：，12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；，13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：，口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限，口訣：正弦與余弦互換，符號看象限角與+（2k+1）(kZ)的三角函數(shù)間的關(guān)系(7) cos+(2k+1)=-cos(8) sin+(2k+1)=-sin(9) tan+(2k+1)=tan三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)14、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì)l lll圖象llll 定義域llll 值域llll 最值l 當(dāng)時，；當(dāng) l 時，l 當(dāng)時， l ；當(dāng)l 時，l 既無最大值也無最小值l 周期性llll 奇偶性l 奇函數(shù)l 偶函數(shù)l 奇函數(shù)l 單調(diào)性l 在l 上是增函數(shù)；在ll 上是減函數(shù)l 在上是增函數(shù)；在l 上是減函數(shù)l 在l 上是增函數(shù)l 對稱性l 對稱中心l 對稱軸l 對稱中心l 對稱軸l 對稱中心l 無對稱軸15、函數(shù)的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象函數(shù)的性質(zhì)：振幅：；周期：；頻率：；相位：；初相：函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值為 ；當(dāng)時，取得最大值為，則，平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量數(shù)量：只有大小，沒有方向的量有向線段的三要素：起點、方向、長度零向量：長度為0的向量單位向量：長度等于1個單位的向量平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。零向量與任一向量平行。相等向量：長度相等且方向相同的向量。17、向量加法運算：三角形法則的特點：首尾相連。平行四邊形法則的特點：共起點三角形不等式：運算性質(zhì)：交換律：；結(jié)合律：；坐標(biāo)運算：設(shè)，則18、向量減法運算：三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量。坐標(biāo)運算：設(shè)，則。設(shè)、兩點的坐標(biāo)分別為，則，。19、向量數(shù)乘運算：實數(shù)與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作；當(dāng)時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，的方向與的方向相反；當(dāng)時，運算律：；（分配律）坐標(biāo)運算：設(shè)，則向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運算，通常叫做向量的線性運算。20、向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使設(shè)，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時，向量、共線。21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使（不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）22、分點坐標(biāo)公式：設(shè)點是線段上的一點，、的坐標(biāo)分別是，當(dāng)時，點的坐標(biāo)是23、平面向量的數(shù)量積：零向量與任一向量的數(shù)量積為性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，則當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，；或運算律：；坐標(biāo)運算：設(shè)兩個非零向量，則若，則，或設(shè)，則設(shè)、都是非零向量，是與的夾角，則，夾角范圍是0，。向量的應(yīng)用三角恒等變換24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：；（）；（）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：（，）26、，其中高中數(shù)學(xué)必修5知識點解三角形1、正弦定理：在中，、分別為角、的對邊，為的外接圓的半徑，則有2、正弦定理的變形公式：，；，；3、三角形面積公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推論：，6、設(shè)、是的角、的對邊，則：若，則；若，則；若，則應(yīng)用舉例數(shù)列7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)叫做數(shù)列。8、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。9、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列10、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列11、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列12、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列13、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列14、擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列15、數(shù)列的通項公式：表