山東數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科畢業(yè)范文-逆矩陣及其應(yīng)用.doc

本科畢業(yè)論文論文題目： 逆矩陣及其應(yīng)用 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師： 學(xué) 院： 年 月 日畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容介紹論文（設(shè)計(jì)）題 目逆矩陣及其應(yīng)用選題時(shí)間完成時(shí)間論文（設(shè)計(jì)）字?jǐn)?shù)關(guān) 鍵 詞矩陣，逆矩陣，廣義逆矩陣，論文（設(shè)計(jì)）題目的來(lái)源、理論和實(shí)踐意義：論文題目的來(lái)源：自選題目論文（設(shè)計(jì)）的主要內(nèi)容及創(chuàng)新點(diǎn)：主要內(nèi)容：主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)：附：論文（設(shè)計(jì)）本人簽名： 年 月 日 目 錄中文摘要 1英文摘要 1一、 引言 2二、 矩陣逆的定義2三、 可逆矩陣的性質(zhì) 2四、 矩陣可逆的判定方法2五、 矩陣逆的求法3六、 矩陣逆的應(yīng)用12七、 逆矩陣求某些函數(shù)的不定積分13八、 矩陣逆的推廣14參考文獻(xiàn) 16逆矩陣及其應(yīng)用摘要：本文首先給出矩陣可逆的定義、性質(zhì)，其次探討矩陣可逆的判定方法、逆矩陣的求法以及逆矩陣求不定積分,矩陣可逆的應(yīng)用，特別是在編碼、解碼方面的應(yīng)用.最后，本文對(duì)可逆矩陣進(jìn)行了相應(yīng)的推廣.關(guān)鍵詞：矩陣 矩陣的逆 廣義逆矩陣中圖分類號(hào)：O151.21The inverse matrix and its applicationAbstract: This paper presents the definition and properties of inverse matrix, then discusses the method about how to identify inverse matrix and how to evaluate it. Next, this paper discusses how to evaluate indefinite integral by inverse matrix and the application of inverse matrix, especially its application in the encoding, decoding. Finally, this thesis generalizes inverse matrix. Keywords: Matrix Inverse matrix Generalized inverse matrix 一：引言 矩陣是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)強(qiáng)有力的工具，應(yīng)用非常廣泛，逆矩陣又是矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)非常重要的概念，文章主要是對(duì)矩陣的可逆性由來(lái)及定義、性質(zhì)、判定方法、應(yīng)用進(jìn)行探討.目的在于改進(jìn)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，提高教育教學(xué)質(zhì)量，讓學(xué)生了解逆矩陣的應(yīng)用. 二：矩陣逆的定義 引入矩陣的逆這個(gè)概念: 對(duì)于n矩陣A，如果有一個(gè)n矩陣B，使得AB=BA=E，E為單位矩陣則說(shuō)矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，A的逆矩陣記為A.三：可逆矩陣的性質(zhì) 1、若矩陣A、B均可逆,則矩陣AB可逆，其逆陣為BA，當(dāng)然這一性質(zhì)可以推廣到多個(gè)矩陣相乘的逆. 2、若A可逆，則也可逆，且=A； 3、若A可逆，數(shù)，則可逆，且； 4、若A可逆，則也可逆，且. 5、. 6、矩陣的逆是唯一的，證明：運(yùn)用反證法，如果A 是可逆矩陣，假設(shè)B,C都是A的逆，則有 AB=BA=E=AC=CA B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（與BC矛盾），所以是唯一的. 四：矩陣可逆的判定方法 矩陣可逆有如下若干充要條件：（A為n階方陣） 1、存在B為n階方陣，使得AB=I； 2、對(duì)于PAQ=，其中r（A）=n；3、； 4、A的行向量組線性無(wú)關(guān)； 5、A的列向量組線性無(wú)關(guān)； 6、A可表示成一系列初等矩陣的乘積； 7、A可經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化成單位矩陣I； 8、A可經(jīng)過(guò)一系列初等列變換化成單位矩陣I； 9、對(duì)于齊次線性方程組 AX=0只有零解； 10、是非奇異矩陣.五：矩陣的逆的求法（一）.定義法定義 設(shè)A是n階方陣，如果存在n階方陣B使得AB=E,那么A稱為可逆j矩陣，B稱為A的逆矩陣，記為.例1. 求矩陣的逆矩陣.解 ： 因?yàn)?,所以存在.設(shè),由定義知A=E, 所以=.由矩陣乘法得=.由矩陣相等可解得;.故 （二）.伴隨矩陣法定理 n階矩陣A = aij為可逆的充分必要條件是A非奇異.且，其中Aij是|A|中元素aij的代數(shù)余子式.矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，于是有A-1 = A*.注釋 對(duì)于階數(shù)較低（一般不超過(guò)3階）或元素的代數(shù)余子式易于計(jì)算的矩陣可用此法求其逆矩陣.注意A* = （Aji）nn元素的位置及符號(hào).特別對(duì)于2階方陣，其伴隨矩陣,即伴隨矩陣具有“主對(duì)角元素互換，次對(duì)角元素變號(hào)”的規(guī)律. 對(duì)于分塊矩陣不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣.例2：已知，求A-1.解: = 2 0 A可逆.由已知得A-1 = A* = （三）.行(列)初等變化法 設(shè)n階矩陣A，作n2n矩陣，然后對(duì)此矩陣施以行初等變換，若把子塊A變?yōu)?，則子塊將變?yōu)?，即初等行變換 E,A-1 .注 對(duì)于階數(shù)較高（n3）的矩陣，采用初等行變換法求逆矩陣一般比用伴隨矩陣法簡(jiǎn)便.在用上述方法求逆矩陣時(shí)，只允許施行初等行變換. 也可以利用求得A的逆矩陣. 當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，可利用求得A-1B和CA-1.這一方法的優(yōu)點(diǎn)是不需求出A的逆矩陣和進(jìn)行矩陣乘法僅通過(guò)初等變換，即求出了A-1B或CA-1.例3：:用初等行變換求矩陣的逆矩陣.解： （四）. 用分塊矩陣求逆矩陣設(shè)A、B分別為P、Q階可逆矩陣，則：例4：已知，求A-1.解： 將A分塊如下：其中 可求得 （五）.解方程組求逆矩陣根據(jù)可逆的上(下)三角矩陣的逆仍是上(下)三角矩陣,且上(下)三角矩陣逆矩陣主對(duì)角元分別為上(下)三角矩陣對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元的倒數(shù),可設(shè)出逆矩陣的待求元素;又由A-1A = E 兩端對(duì)應(yīng)元素相等,依次可得只含有一個(gè)待求元素的方程,因而待求元素極易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩陣的逆矩陣.例5： 求的逆矩陣.解： 設(shè),先求A-1 中主對(duì)角線下的次對(duì)角線上的元素,再求，最后求.設(shè)E為4階單位矩陣, 比較的兩端對(duì)應(yīng)元素,得到元素,再求，最后求.設(shè)E為4階單位矩陣, 比較的兩端對(duì)應(yīng)元素,得到于是,所求的逆矩陣為: （六）. 用克萊姆法則求解若線性方程組的系數(shù)行列式，則此方程組有唯一的一組解.這里是將中的第i列換成得到的行列式.例6：求可逆矩陣的逆矩陣.解： 矩陣A的行向量為，由標(biāo)準(zhǔn)基表示為： 解以為未知量的方程組得：（七）.恒等變形法求逆矩陣：有些計(jì)算命題表面上與求逆矩陣無(wú)關(guān),但實(shí)質(zhì)上只有求出矩陣的逆矩陣才能算出來(lái),而求逆矩陣須對(duì)所給的矩陣等式恒等變形,且常變形為兩矩陣的乘積等于單位矩陣的等式. 例7：已知，試求并證明,其中.解: 由 得到故,而A又為正交矩陣, 從而（八）. 用Hamilton-Caley定理求逆矩陣 Hamilton-Caley定理:設(shè)A是數(shù)域P上的n階矩陣 為A的特征多項(xiàng)式，則： 于是 因此例8：已知，求A-1.解： A的特征多項(xiàng)式 由Hamilton-Caley定理知：（九）. 三角矩陣的一種求逆法定理：如果n階矩陣可逆，那么他的逆矩陣是其中例9：求上三角陣的逆矩陣.解： 由定理知：（十）. 拼接新矩陣：在可逆矩陣A的右方補(bǔ)加上一個(gè)單位矩陣E,在A的下方補(bǔ)加上一個(gè)負(fù)單位矩陣-E, 再在A的右下方補(bǔ)加上一個(gè)零矩陣O,從而得到一個(gè)新的方陣.對(duì)該方陣施行第三種行的初等變換,使其負(fù)單位矩陣-E化為零矩陣, 那么原來(lái)的零矩陣O所化得的矩陣就是所要求的逆矩陣A-1.例10：求矩陣的逆矩陣A-1.解: 構(gòu)造矩陣有： 將第一行依次乘以-2，-3和1，分別加到第二行、第三行和第五行，得 ： 將第二行依次乘以-1和1，分別加到第三行和第四行，得 ：再將第三行依次乘以-3、2和-1，分別加到第四行、第五行、第六行，得 ：故： （十一）.和化積法 有的問(wèn)題要判斷方陣之和A+B的非奇異性并求其逆矩陣，此時(shí)可將A+B直接化為（A+B）C=E,由此得A+B非奇異，且=C;或?qū)⒕仃囍?A+B表示為若干已知的非奇異陣之積，并可得其逆矩陣. 例11.證明:若=0,則E-A是非奇異的，并求. 證明 且=.六：矩陣逆的應(yīng)用（主要在編碼、解碼方面） 矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種是基于利用可逆短陣的方法先在26 個(gè)英文字母與數(shù)字間建立起一一對(duì)應(yīng)，例如可以是 A B Y Z 1 2 25 26若要發(fā)出信息“SEND MONEY”，使用上述代碼，則此信息的編碼是19，5，14，4，13，l 5，14，5，25，其中5 表示字母E不幸的是，這種編碼很容易被別人破譯在一個(gè)較長(zhǎng)的信息編碼中，人們會(huì)根據(jù)那個(gè)出現(xiàn)頻率最高的數(shù)值而猜出它代表的是哪個(gè)字母，比如上述編碼中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值是5，人們自然會(huì)想到它代表的是字母E，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)規(guī)律告訴我們，字母E 是英文單詞中出現(xiàn)頻率最高的我們可以利用矩陣乘法來(lái)對(duì)“明文”SEND MONEY 進(jìn)行加密，讓其變成“密文”后再行傳送，以增加非法用戶破譯的難度，而讓合法用戶輕松解密如果一個(gè)矩陣A的元素均為整數(shù)，而且其行列式=1，那么由 即知，的元素均為整數(shù)我們可以利用這樣的矩陣A 來(lái)對(duì)明文加密，使加密之后的密文很難破譯現(xiàn)在取 A=明文“SEND MONEY”對(duì)應(yīng)的9 個(gè)數(shù)值按3 列被排成以下的矩陣 B=矩陣乘積 AB=對(duì)應(yīng)著將發(fā)出去的密文編碼：43，105，81，45，118，77，49，128，93合法用戶用A-1去左乘上述矩陣即可解密得到明文 為了構(gòu)造“密鑰”矩陣A ，我們可以從單位陣I 開(kāi)始，有限次地使用第三類初等行變換，而且只用某行的整數(shù)倍加到另一行，當(dāng)然，第一類初等行變換也能使用這樣得到的矩陣A，其元素均為整數(shù)，而且由于=1可知，的元素必然均為整數(shù)七：逆矩陣求某些函數(shù)的不定積分利用逆矩陣求不定積分的具體方法：1） 根據(jù)所求函數(shù)的不定積分，構(gòu)造一個(gè)由基生成的子空間W=，并且W在求導(dǎo)變換D/W下是封閉的；2） 求D/W在基下矩陣A=；3） 根據(jù)高等代數(shù)知識(shí)，求逆矩陣，則就是逆變換在基下的矩陣；4） 根據(jù)的第j列元素寫出=，j=1,2,3,4,5,6,n于是得出所求積分=+C,j=1，2，3，4，n例：求定積分 選定子空間W=L()，則W是求導(dǎo)變換D/W的不變子空間，且是W的一組基，且 5，其中是任意常數(shù).4，其中是任意常數(shù).=，其中C是任意常數(shù).八：可逆矩陣的推廣廣義逆眾所周知，目前我們所學(xué)習(xí)、所了解的矩陣的可逆都是建立在n階方陣的基礎(chǔ)上，那如果是長(zhǎng)方陣呢，對(duì)于長(zhǎng)方陣，是否也有逆的性質(zhì)，長(zhǎng)方陣的逆又是怎樣的呢？查閱資料，我對(duì)矩陣的逆來(lái)做些推廣，就是標(biāo)題中所說(shuō)的長(zhǎng)方陣的廣義逆.逆是逆元的簡(jiǎn)稱，跟n階方陣一樣，長(zhǎng)方陣與其廣義逆之間也有著相應(yīng)的關(guān)系A(chǔ)XA=A.這邊的X就成為長(zhǎng)方陣A的廣義逆，記為A或者A-.若A為非奇異矩陣,則線性方程組A=b的解為A-=A(A-b，其中A的逆矩陣A(A-滿足AA(A-=A(A=I(I為單位矩陣).若A是奇異陣或長(zhǎng)方陣.A=b可能無(wú)解或有很多解.若有解,則解為Xb+(I-XA),其中是維數(shù)與A的列數(shù)相同的任意向量,X是滿足AXA=A的任何一個(gè)矩陣，通常稱X為A的廣義逆矩陣,用A-等符號(hào)表示,有時(shí)簡(jiǎn)稱廣義逆.當(dāng)A非異時(shí),A(A-也滿足AA(A-A=A,且.故非異陣的廣義逆矩陣就是它的逆矩陣，說(shuō)明廣義逆矩陣確是通常逆矩陣概念的推廣. 參考文獻(xiàn)： 1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)（第五版）.北京：高等教育出版社.2007（9）2 北大數(shù)學(xué)系編.王萼芳等修訂.高等代數(shù).第三版.北京:高等教育社.2003(2).3 郭大鈞等.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解（第三版）.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社.2005（3）.4 張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社.19995 白述偉.高等代數(shù)選講M.哈爾濱黑龍江教育出版社.1996.6 同濟(jì)大學(xué).高等代數(shù)與解析幾何M.北京:高等教育出版社.2005:223.7 劉麗，林謙，韓本三，等.高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解析M.成都:西南財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社.2009:39.170.253.8 鄒應(yīng).數(shù)學(xué)分析習(xí)題及其解答M.武漢:武漢大學(xué)出版社.2001:168.169.176.9 吳良森，毛羽輝.數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解：多變量部分 M.北京：科學(xué)出版社，2005.10 毛綱源.線性代數(shù)解題方法和技巧M.武漢：湖南大學(xué)出版社.11 王萼芳、石生明.高等代數(shù).高等教育出版社.2003年第三版；12 李尚志.線性代數(shù).高等教育出版社.2006年第一版. 13山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目審批表學(xué)院： (章)系別/教研室： 時(shí)間： 年 月 日課題情況題目名稱課題性質(zhì)A基礎(chǔ)研究 B基礎(chǔ)應(yīng)用研究 C應(yīng)用研究教師姓名職稱學(xué)位課題來(lái)源A.科研 B.生產(chǎn) C.教學(xué) D. 學(xué)生自擬 E. 其它成果類別A.論文 B.設(shè)計(jì)主要研究?jī)?nèi)容與研究目標(biāo) 指導(dǎo)教師（簽名）： 年 月 日 選題學(xué)生（簽名）： 年 月 日系所或教研室審題意見(jiàn)負(fù)責(zé)人（簽名）: 年 月 日學(xué)院審批意見(jiàn)學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)主任（簽名）: 年 月 日山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開(kāi)題報(bào)告論文題目： 學(xué)院名稱： 專 業(yè)： 學(xué)生姓名： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 年 月 日一、選題的性質(zhì) 基礎(chǔ)應(yīng)用研究二、選題的目的和意義三、與本課題相關(guān)的國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，預(yù)計(jì)可能有所創(chuàng)新的方面四、課題研究的可行性分析五、課題研究的策略、方法和步驟六、預(yù)期成果形式描述預(yù)計(jì)形成6000字左右的學(xué)士學(xué)位論文。七、指導(dǎo)教師意見(jiàn)指導(dǎo)教師（簽名）：年 月 日八、學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)意見(jiàn) 學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)主任（簽名）： 年 月 日山東師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）教師指導(dǎo)記錄表學(xué)院： 系別： 專業(yè)：論文（設(shè)計(jì)）題目： 學(xué)生姓名學(xué)號(hào)指導(dǎo)教師職稱計(jì)劃完成時(shí)間：指導(dǎo)情況紀(jì)錄（含指導(dǎo)時(shí)間、指導(dǎo)內(nèi)容） 指導(dǎo)教師（簽名）： 學(xué)生（簽名）：學(xué)院學(xué)位分委員會(huì)主任（簽名）： 年 月 日指導(dǎo)教師意見(jiàn)（包括選題的意義，資料收集或?qū)嶒?yàn)方法、數(shù)據(jù)