平面向量練習(xí)題集答案.doc

平面向量知識點(diǎn)歸納一. 向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量的大小即向量的模（長度）向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行，所以在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件 單位向量：模為1個(gè)單位長度的向量平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的向量，稱為平行向量由于向量可以進(jìn)行任意的平移，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合2向量加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”3向量的減法： 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作 關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作： 作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的5兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7 特別注意:（1）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（2）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況二. 平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底平面內(nèi)的任一向量可表示成，記作=(x,y)(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則3 向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個(gè)向量,滿足:0時(shí),與同向;0時(shí),與異向;=0時(shí), =向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)或時(shí),=0且時(shí),三平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義： 等于的長度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立： ；6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律成立：對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量，則=8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：O典例精析題型一向量的有關(guān)概念【例1】 下列命題：向量的長度與的長度相等；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同；向量與向量是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上.其中真命題的序號是.【解析】對；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故錯(cuò)；顯然錯(cuò)；與是共線向量，則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故錯(cuò).故是真命題的只有.【點(diǎn)撥】正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵，注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反例即可.【變式訓(xùn)練1】下列各式：|a|；(ab) ca (bc)；在任意四邊形ABCD中，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則2；a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且a與b不共線，則(ab)(ab).其中正確的個(gè)數(shù)為() A.1B.2C.3D.4【解析】選D.| a|正確；(ab) ca (bc)； 正確；如下圖所示，=+且=+，兩式相加可得2，即命題正確；因?yàn)閍，b不共線，且|a|b|1，所以ab，ab為菱形的兩條對角線，即得(ab)(ab).所以命題正確.題型二與向量線性運(yùn)算有關(guān)的問題【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段DO上，且=，點(diǎn)N在線段OC上,且=,設(shè)=a, =b,試用a、b表示，.【解析】在ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，所以()(ab)，()(ab).又， ，所以bb(ab)ab，(ab)(ab). 所以(ab)(ab)ab.【點(diǎn)撥】向量的線性運(yùn)算的一個(gè)重要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應(yīng)用，在運(yùn)用向量解決問題時(shí)，經(jīng)常需要進(jìn)行這樣的變形.【變式訓(xùn)練2】O是平面上一點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足()，若時(shí)，則()的值為.【解析】由已知得()， 即()，當(dāng)時(shí)，得()，所以2，即，所以，所以0，所以 ()00，故填0.題型三向量共線問題【例3】 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若ab， 2a8b， 3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線.【解析】(1)證明：因?yàn)閍b， 2a8b， 3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以， 共線.又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)閗ab和akb共線，所以存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，所以(k)a(k1)b.因?yàn)閍與b是不共線的兩個(gè)非零向量，所以kk10，所以k210，所以k1.【點(diǎn)撥】(1)向量共線的充要條件中，要注意當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.【變式訓(xùn)練3】已知O是正三角形BAC內(nèi)部一點(diǎn)，+2+3=0，則OAC的面積與OAB的面積之比是（）A.B.C.2D.【解析】如圖，在三角形ABC中， 230，整理可得2()0.令三角形ABC中AC邊的中點(diǎn)為E，BC邊的中點(diǎn)為F，則點(diǎn)O在點(diǎn)F與點(diǎn)E連線的處，即OE2OF.設(shè)三角形ABC中AB邊上的高為h，則SOACSOAESOECOE ()OEh，SOABABhABh，由于AB2EF，OEEF，所以AB3OE，所以.故選B.總結(jié)提高1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)的情形，而向量平行則包括共線(即重合)的情形.2.判斷兩非零向量是否平行，實(shí)際上就是找出一個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)實(shí)數(shù)能夠和其中一個(gè)向量把另外一個(gè)向量表示出來.3.當(dāng)向量a與b共線同向時(shí)，|ab|a|b|；當(dāng)向量a與b共線反向時(shí)，|ab|a|b|；當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，|ab|a|b|.典例精析題型一平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】如圖ABCD中,M,N分別是DC，BC中點(diǎn).已知=a,=b,試用a，b表示，與 【解析】易知，即所以(2ba)， (2ab).所以(ab).【點(diǎn)撥】運(yùn)用平面向量基本定理及線性運(yùn)算，平面內(nèi)任何向量都可以用基底來表示.此處方程思想的運(yùn)用值得仔細(xì)領(lǐng)悟.【變式訓(xùn)練1】已知D為ABC的邊BC上的中點(diǎn)，ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足0，則等于()A.B.C.1D.2【解析】由于D為BC邊上的中點(diǎn)，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知2，因此結(jié)合0即得2，因此易得P，A，D三點(diǎn)共線且D是PA的中點(diǎn)，所以1，即選C.題型二向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】 已知a(1，1)，b(x，1)，ua2b，v2ab.(1)若u3v，求x；(2)若uv，求x.【解析】因?yàn)閍(1，1)，b(x，1)，所以u(1，1)2(x，1)(1，1)(2x，2)(2x1，3)，v2(1，1)(x，1)(2x，1).(1)u3v(2x1，3)3(2x，1)(2x1，3)(63x，3)，所以2x163x，解得x1.(2)uv (2x1，3)(2x，1) (2x1)3(2x)0x1.【點(diǎn)撥】對用坐標(biāo)表示的向量來說，向量相等即坐標(biāo)相等，這一點(diǎn)在解題中很重要，應(yīng)引起重視.【變式訓(xùn)練2】已知向量an(cos，sin)(nN*)，|b|1.則函數(shù)y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2的最大值為.【解析】設(shè)b(cos ，sin )，所以y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2(a1)2b22(cos，sin)(cos ，sin )(a141)2b22(cos，sin)(cos ，sin )2822cos()，所以y的最大值為284. 題型三平行(共線)向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】已知ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，設(shè)向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求證：ABC為等腰三角形；(2)若mp，邊長c2，角C，求ABC的面積.【解析】(1)證明：因?yàn)閙n，所以asin Absin B. 由正弦定理，得a2b2，即ab.所以ABC為等腰三角形.(2)因?yàn)閙p，所以mp0，即a(b2)b(a2)0，所以abab.由余弦定理，得4a2b2ab(ab)23ab，所以(ab)23ab40.所以ab4或ab1(舍去).所以SABCabsin C4.【點(diǎn)撥】設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，則mnx1y2x2y1；mnx1x2y1y20.【變式訓(xùn)練3】已知a，b，c分別為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m(2cosC1，2)，n(cos C，cos C1).若mn，且ab10，則ABC周長的最小值為()A.105B.105C.102D.102 【解析】由mn得2cos2C3cos C20，解得cos C或cos C2(舍去)，所以c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)2ab100ab，由10ab2ab25，所以c275，即c5，所以abc105，當(dāng)且僅當(dāng)ab5時(shí)，等號成立.故選B.典例精析題型一利用平面向量數(shù)量積解決模、夾角問題【例1】 已知a，b夾角為120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|；(2)(a2b) (ab)；(3)a與(ab)的夾角.【解析】(1)(ab)2a2b22ab16424212，所以|ab|2.(2)(a2b) (ab)a23ab2b2163422412.(3)a(ab)a2ab164212.所以cos ，所以.【點(diǎn)撥】利用向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律可以解決向量的模、夾角等問題.【變式訓(xùn)練1】已知向量a，b，c滿足：|a|1，|b|2，cab，且ca，則a與b的夾角大小是. 【解析】由caca0a2ab0，所以cos ，所以120.題型二利用數(shù)量積來解決垂直與平行的問題【例2】 在ABC中，(2，3)， (1，k)，且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k的值.【解析】當(dāng)A90時(shí)，有0，所以213k0，所以k； 當(dāng)B90時(shí)，有0，又(12，k3)(1，k3)，所以2(1)3(k3)0k；當(dāng)C90時(shí)，有0，所以1k(k3)0，所以k23k10k.所以k的取值為，或.【點(diǎn)撥】因?yàn)槟膫€(gè)角是直角尚未確定，故必須分類討論.在三角形中計(jì)算兩向量的數(shù)量積，應(yīng)注意方向及兩向量的夾角.【變式訓(xùn)練2】ABC中，AB4，BC5，AC6，求.【解析】因?yàn)?22()()()()()()42625277.所以.題型三平面向量的數(shù)量積的綜合問題【例3】數(shù)軸Ox，Oy交于點(diǎn)O，且xOy，構(gòu)成一個(gè)平面斜坐標(biāo)系，e1，e2分別是與Ox，Oy同向的單位向量，設(shè)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且xe1ye2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，已知Q(1，2).(1)求|的值及與Ox的夾角；(2)過點(diǎn)Q的直線lOQ，求l的直線方程(在斜坐標(biāo)系中).【解析】(1)依題意知，e1e2，且e12e2，所以2(e12e2)2144e1e23.所以|.又e1(e12e2) e1e2e1e20.所以e1，即與Ox成90角.(2)設(shè)l上動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，即xe1ye2，又l，故，即(x1)e1(y2)e2 (e12e2)0.所以(x1)(x1)(y2) 2(y2)0，所以y2，即為所求直線l的方程. 【點(diǎn)撥】綜合利用向量線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)