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第四章 平面波本章從麥克斯韋方程及物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，研究在均勻介質(zhì)中平面波的傳播及其主要特征。首先討論線性、均勻、各向同性介質(zhì)中均勻平面波的傳播，再推廣到各向異性介質(zhì)中的情況。比平面波更復(fù)雜的電磁波也可用平面波展開，本章對(duì)此也作了討論。最后討論平面波傳播的傳輸線模型，為以后用傳輸線模型求解復(fù)雜的場(chǎng)問題打下基礎(chǔ)。4.1得出電場(chǎng)強(qiáng)度E與磁場(chǎng)強(qiáng)度H滿足的波方程，4.2從波方程得到簡(jiǎn)單介質(zhì)中的平面波解，4.3、4.4討論平面波的極化特性以及平面波在有耗介質(zhì)中的傳播，4.5介紹色散與群速的基本概念，4.6與4.7分別研究電各向異性介質(zhì)和磁各向異性介質(zhì)中平面波的傳播特征。4.8討論髙斯波束的平面波展開，4.9證明電磁波沿某一方向傳播可與特定參數(shù)傳輸線上電壓、電流波的傳播等效，即電磁波傳播的傳輸線模型。4.1 波方程3.4已分析過，麥克斯韋方程組中兩個(gè)旋度方程是獨(dú)立的。在兩個(gè)旋度方程中電場(chǎng)強(qiáng)度E與磁場(chǎng)強(qiáng)度H耦合在一起。從解方程角度看，先要將E跟H“去耦”，即從兩個(gè)旋度方程消去H（或E），然后得到只關(guān)于E（或H）的方程。本節(jié)討論無源、簡(jiǎn)單介質(zhì)中麥克斯韋方程的解，所謂無源，就是指所研究的區(qū)域內(nèi)不存在產(chǎn)生電磁場(chǎng)的源J與rv。對(duì)于簡(jiǎn)單介質(zhì)，e、m是常量。在這種特定情況下，將物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系（3.4.1）、（3.4.2）代入麥克斯韋方程（3.2.8）（3.2.11），得到E =jwmH（4.1.1）H = jweE（4.1.2）E = 0（4.1.3）H = 0（4.1.4）式（4.1.1）、（4.1.2）兩個(gè)方程中，只有E和H兩個(gè)獨(dú)立的場(chǎng)量，但E和H耦合在一起。為了從這兩個(gè)方程得到只關(guān)于E或H的方程，對(duì)式（4.1.1）取旋度，并將式（4.1.2）代入，得到利用恒等關(guān)系，而根據(jù)式（4.1.3），所以上式成為（4.1.5）同樣對(duì)式（4.1.2）取旋度，將式（4.1.1）代入，并利用式（4.1.4）及上面的矢量運(yùn)算恒等關(guān)系，得到（4.1.6）式（4.1.5）、（4.1.6）可合并寫成（4.1.7）式中（4.1.8）在自由空間或真空中，m = m0，e = e0，k記作k0（4.1.9）式（4.1.5）、（4.1.6）或（4.1.7）叫做無源簡(jiǎn)單介質(zhì)中的波方程，在這個(gè)方程中E跟H不再耦合在一起。叫做傳播常數(shù)，其物理意義以后會(huì)深入討論。式（4.1.7）在形式上與傳輸線上電壓V電流I滿足的波方程類似。（V、I）是標(biāo)量，而（E、H）是矢量，所以式（4.1.7）叫做矢量波方程。4.2 平面電磁波要從無源、簡(jiǎn)單介質(zhì)中E和H滿足的波方程得到具體電磁問題的解，還要給出特定的邊界條件。本節(jié)研究邊界趨于無窮遠(yuǎn)的情況。傳輸線理論告訴我們，趨于無窮遠(yuǎn)的均勻傳輸線上只有入射波，沒有反射波。由此可推論，在邊界趨于無窮遠(yuǎn)的情況下，均勻介質(zhì)中不存在從無窮遠(yuǎn)反射回來的波。在直角坐標(biāo)系中E、H可表示為（4.2.1）（4.2.2）將上述E、H表達(dá)式代入波方程（4.1.7）（4.2.3）要使上式成立，只有等式左邊每個(gè)分量都等于零，即（4.2.4a）（4.2.4b）所以對(duì)式（4.2.3）的求解歸結(jié)為解標(biāo)量波方程（4.2.5）式（4.2.5）可用熟知的分離變量法求解。設(shè)可分離成：（4.2.6）將式（4.2.6）代入式（4.2.5）得到或等式兩邊除以得到（4.2.7）等式左邊第一、二、三項(xiàng)分別只是x、y、z的函數(shù)，要使它們加起來為常數(shù)，只能是每一項(xiàng)都等于某一待定常數(shù)，即（4.2.8a）（4.2.8b）（4.2.8c）以及 （4.2.9）式（4.2.8a、b、c）的解分別為等表示沿x方向傳播到無窮遠(yuǎn)的波，另一個(gè)解等表示逆x方向由無窮遠(yuǎn)傳播來的波，因?yàn)榧俣ㄟ吔缵呌跓o窮遠(yuǎn)，不存在反射波，這個(gè)解可以不予考慮。根據(jù)式（4.2.6），可得（4.2.10）式中（4.2.11）k叫做波矢，其絕對(duì)值k叫做傳播常數(shù)，k2滿足的方程（4.2.9）叫做介質(zhì)的色散方程。所以電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H在均勻介質(zhì)中每一分量的解為，進(jìn)一步得到 （4.2.12）式中 （4.2.13）同理 （4.2.14）式中 （4.2.15）計(jì)及時(shí)間因子后，其解為（4.2.16）（4.2.17）這里我們省略了取實(shí)部的運(yùn)算符號(hào)Re，以后遇到類似情況不再特別說明。從形式上看式（4.2.12）、（4.2.14）表示電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H的解是一個(gè)常數(shù)矢量E0、H0與一個(gè)指數(shù)函數(shù)的乘積。即方向由常數(shù)矢量E0、H0決定，大小由標(biāo)量函數(shù)決定。這個(gè)解我們以后把它叫做平面波。在深入討論其物理意義之前，熟悉對(duì)式（4.2.12）、（4.2.14）所表示的場(chǎng)量進(jìn)行散度、旋度運(yùn)算是十分必要的?！纠?-1】求場(chǎng)量的與、。解：因?yàn)椋?.2.18）再利用矢量運(yùn)算恒等關(guān)系（1.5.50）、（1.5.51）得到（4.2.19）（4.2.20）（4.2.21）波方程的解（4.2.12）、（4.2.14）有豐富的內(nèi)涵：1E、H、k三者相互垂直，且構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，模|E|與|H|之比為一常數(shù)，叫做波阻抗。將式（4.2.12）、（4.2.14）代入麥克斯韋方程組中兩個(gè)旋度方程可得到（4.2.22）（4.2.23）引入單位波矢k0使得k0k0=1，k=kk0則式（4.2.22）、（4.2.23）成為H0 = Yk0E0（4.2.24）E0 = Zk0H0（4.2.25）式中（4.2.26）Z、Y叫做均勻介質(zhì)中平面波的本征阻抗或本征導(dǎo)納。本征阻抗也叫波阻抗，習(xí)慣上也用h表示。對(duì)于自由空間，波阻抗為= 377W，習(xí)慣上用h0表示。由兩個(gè)散度方程及式（4.2.24）、（4.2.25）還可得到E0，H0，k 0三者正交。k0H0=0（4.2.27a）k0E0=0（4.2.27b）E0H0=0（4.2.27c）因此我們可以選擇一個(gè)特定的坐標(biāo)系使得E0 = E0x0（4.2.28a）H0 = H0y0（4.2.28b）k = kz0（4.2.28c）在這個(gè)特定坐標(biāo)系中，電場(chǎng)、磁場(chǎng)、波矢各只有一個(gè)分量。于是式（4.2.12）（4.2.14）成為（4.2.29）（4.2.30）一般情況下E、H、k各有三個(gè)分量。如果我們定義z為縱向，則在這個(gè)特定坐標(biāo)系中，電場(chǎng)、磁場(chǎng)都沒有縱向分量。電場(chǎng)、磁場(chǎng)都沒有縱向分量的場(chǎng)叫做橫電磁?；騎EM模。平行雙導(dǎo)線、同軸線中電磁場(chǎng)就屬于TEM模。2電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H取平面波形式的解對(duì)式（4.2.12）乘再取實(shí)部得到電場(chǎng)E的瞬時(shí)表達(dá)式（4.2.31）在前面討論的特定坐標(biāo)系中E0、H0、k如（4.2.28）表示，則上式成為（4.2.32）式（4.2.32）正是第一章討論過的波動(dòng)表達(dá)式，它表示沿z方向（也就是k方向）傳播的波，波長(zhǎng)l及等相位點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度vp為（4.2.33）（4.2.34）式（4.2.34）表示波運(yùn)動(dòng)的速度等于介質(zhì)中的光速。真空中，傳播常數(shù)，這時(shí)等相位點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度（4.2.35）即真空中光速，而波長(zhǎng)l0（4.2.36）zxypr0圖4-1 與k垂直的等相位面k圖4-2 平面波，其傳播方向與z軸夾角為qkuf為波的頻率。參看圖4-1，在與k垂直的平面內(nèi)，r在k上的投影都等于，所以在此平面內(nèi)每一點(diǎn)，都相等，也就是說在該平面，波的相位到處都一樣。這就是我們把式（4.2.12）、（4.2.14）叫做平面波的原因。而且只要k是實(shí)數(shù)，電場(chǎng)E或磁場(chǎng)H的幅值對(duì)于一給定的常數(shù)相平面是均勻的，一個(gè)平面波具有均勻的幅度，叫做均勻平面波。由上面分析可知，平面波的性質(zhì)主要由波矢k決定，因?yàn)閗的方向就是波傳播的方向，波長(zhǎng)，等相位點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度，E、H、k三者相互垂直構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，等相位面是與k垂直的平面。平面波是被理想化了的。例如從很遠(yuǎn)的天線輻射來的波嚴(yán)格地說是球面波，但如果觀察點(diǎn)被限制在一個(gè)局部的小區(qū)域，就可近似為一平面波?！纠?-2】平面波傳播方向與z軸夾角為q，電場(chǎng)垂直紙面（即y方向）見圖4-2，問磁場(chǎng)H在什么方向？因?yàn)槠矫娌ǖ碾妶?chǎng)E，磁場(chǎng)H以及波矢k三者相互垂直并構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，根據(jù)圖4-2，E從紙面出來，H一定平行于紙面且跟k垂直，所以H平行于圖4-2的AOB線，此外E、H、k三者又構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，所以H在OB方向，如果H的方向?yàn)閡0，則u0=z0sinq-x0cosq?！纠?-3】在ere0、m0介質(zhì)中電場(chǎng), 弧度/秒，求介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)er，等相位面、波長(zhǎng)l、相速vp、波阻抗h及磁場(chǎng)H。解：由E的指數(shù)項(xiàng)表達(dá)式可知，= 2k0，所以er = 4，即k與z0方向一致，與k垂直的等相位面就是與z軸垂直的平面。波長(zhǎng)相速波阻抗【例4-4】從微波爐泄漏出的微波場(chǎng)在某一點(diǎn)測(cè)得其電場(chǎng)強(qiáng)度為2V/m，請(qǐng)問該點(diǎn)功率密度是多少？對(duì)人體有否危害？解：將式（4.2.12）、（4.2.14）代入式（3.6.8）得到時(shí)間平均的坡印廷矢量為將E0=2以及自由空間的e0、m0代入，得到 按美國(guó)制定的安全標(biāo)準(zhǔn)，人曝露在微波場(chǎng)中微波功率密度不超過10mW/cm2，時(shí)間不得超過6分鐘，所以上述微波泄漏對(duì)人不會(huì)有損害。4.3 極化電磁波的極化(或偏振)描述電磁波運(yùn)動(dòng)的空間性質(zhì)。對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，空間固定點(diǎn)的電場(chǎng)E隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化。波的極化可以用固定點(diǎn)的電場(chǎng)矢量末端點(diǎn)在與波矢k垂直的平面內(nèi)投影隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的軌跡來描述。如果電場(chǎng)矢量末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線，這種波叫做線極化波。如果末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是一圓，叫做圓極化波。如果末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是一橢圓，就叫做橢圓極化波。太陽(yáng)光、普通照明光源發(fā)出的光可以是隨幾極化的，這種電磁波叫做非極化波。電磁波也可能是部分極化。部分極化波可以看成是極化波與非極化波的混合。將式（4.2.32）重寫如下在z的任何位置，電場(chǎng)E矢量末端點(diǎn)軌跡隨時(shí)間變化，但總是在x軸上，最大位移為E0，因此式（4.2.32）表示的平面波是線極化波?，F(xiàn)在考慮下式表示的平面波（4.3.1）根據(jù)時(shí)諧矢量的復(fù)矢量表示的定義，可得（4.3.2a）（4.3.2b）圖4-3 線極化式中Exm, Eym為實(shí)數(shù)。為了得到電場(chǎng)矢量E末端點(diǎn)在x-y平面隨時(shí)間變化的軌跡方程，需將式（4.3.2a）與（4.3.2b）中（wt-kz）消去得到關(guān)于Ex, Ey的方程。分以下幾種情況線極化定義 如果 =0或p，那么Ex, Ey滿足的方程為（4.3.3）在Ex-Ey平面，這是關(guān)于斜率為的直線。j=0取正號(hào)，j=p取負(fù)號(hào)。j=p的情況見圖4-3。圓極化如果先考慮j=p/2，A=1，式（4.3.2）成為（4.3.4a）（4.3.4b）消去t，得到（4.3.5）其圖解在Ex-Ey平面這是一個(gè)圓，所以是圓極化的。圓的半徑等于Exm，注意電場(chǎng)矢量E末端點(diǎn)隨時(shí)間是順時(shí)針轉(zhuǎn)的，如果用左手順著旋轉(zhuǎn)方向，大姆指就指向z，故稱左手極化波。當(dāng)j=-p/2，A=1時(shí)，也得到一個(gè)圓極化波，但這是右手圓極化波，即當(dāng)右手四指順著矢量端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，大姆指就是+z的方向。由螺旋天線輻射的右旋圓極化波，其電場(chǎng)矢量末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡見圖4-4。如大姆指在z方向，電場(chǎng)沿右手四指方向旋轉(zhuǎn) 圖4-4 圓極化（右旋）螺旋天線輻射源EyEx橢圓極化除了線極化和圓極化這兩種特殊情況外，式（4.3.1）表示的平面波都是橢圓極化的。由式（4.3.2）及的定義可得（4.3.6a）（4.3.6b）求以上兩式的平方和，則可消去式中的，得到（4.3.7）這是一個(gè)橢圓方程，它說明Ex、Ey合成矢量E的端點(diǎn)軌跡為橢圓（圖4-5），故稱為橢圓極化。橢圓的中心在原點(diǎn)，橢圓內(nèi)切于邊長(zhǎng)2Exm、2Eym的矩形。橢圓的長(zhǎng)軸2a、短軸2b以及橢圓的取向角y滿足圖4-5 橢圓極化Ex2a2bEymExmyEy（4.3.8a）（4.3.8b）（4.3.8c）為了預(yù)示電場(chǎng)矢量末端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀與旋轉(zhuǎn)方向，我們把前面幾種情況都表示在一復(fù)平面上，在該平面上每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一幅度A與相位j（見圖4-6），假定復(fù)矢量表示的電場(chǎng)E為（4.3.9）A和j由下式定義（4.3.10）那么對(duì)于線極化波，在該復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是實(shí)軸，j=0或p。對(duì)于圓極化，在該復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就是A=1，j=p/2。進(jìn)一步研究表明，如果落在上半平面，都是左手橢圓極化的，落在下半平面都是右手橢圓極化的。當(dāng)虛軸y時(shí)，近似為線極化波，因?yàn)榇藭r(shí)電場(chǎng)的Ex分量可略去?！纠?-5】當(dāng), jb-ja=p/2，E由式（4.3.1）表示，求出磁場(chǎng)矢量末端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。解：由麥克斯韋方程（4.1.1）以及式（4.3.1）表示的電場(chǎng)，磁場(chǎng)H為所以在時(shí)域中磁場(chǎng)分量Hx, Hy為圖4-6 極化圖 波的極化取決于比值，波的傳播方向?yàn)閦0因此磁場(chǎng)矢量末端運(yùn)動(dòng)軌跡也是一個(gè)圓，與式（4.3.4）比較，在kz=ja, wt=0時(shí)，E在x方向，H在y方向，隨時(shí)間演變，它們按同樣方向旋轉(zhuǎn)，且永遠(yuǎn)相互垂直，見圖4-7。正確利用極化特性，可提髙通信系統(tǒng)質(zhì)量。調(diào)幅電臺(tái)輻射的電磁波其電場(chǎng)垂直于地面平行于天線塔。所以收音機(jī)天線就要安置得與電場(chǎng)方向平行即與地面垂直接收效果才最好。但是對(duì)于電視廣播，電場(chǎng)E與地面平行，所以電視機(jī)接收天線就要與地面平行，且對(duì)準(zhǔn)電視發(fā)射臺(tái)方向。很多調(diào)頻廣播電臺(tái)，波是圓極化的，接收天線就可任意放置，只要對(duì)準(zhǔn)電視信號(hào)發(fā)來的方向。圖4-7 圓極化波的E，H場(chǎng)HxHy為了增加特定頻率范圍內(nèi)的通信容量，某些衛(wèi)星通信系統(tǒng)利用正交極化的兩個(gè)波束，使通信容量比單極化通信系統(tǒng)增加一倍。4.4 有耗介質(zhì)中的平面波導(dǎo)體是非常重要的一類介質(zhì)，電導(dǎo)率s（單位是S/m）是其特征參數(shù)。對(duì)于各向同性導(dǎo)體，歐姆定律為（4.4.1）Jc是傳導(dǎo)電流密度。計(jì)及傳導(dǎo)電流密度后，安培全電流定律的微分形式為對(duì)于各向同性介質(zhì)，將D=eE，Jc=sE代入安培全電流定律描述的方程，得到如果我們定義復(fù)介電常數(shù)（4.4.2）那么，復(fù)介電常數(shù)的虛部就表示介質(zhì)電導(dǎo)率的影響，這里我們用表示復(fù)介電常數(shù)。引入復(fù)介電常數(shù)后，麥克斯韋方程為（4.4.3a）（4.4.3b）（4.4.3c）（4.4.3d）對(duì)式（4.4.3a）兩邊取旋度并將式（4.4.3b）代入，可得到波方程或式中（4.4.4）其解也是平面波，如在特定坐標(biāo)系下，使得E、H、k都只有一個(gè)分量，便得到（4.4.5a）（4.4.5b）式中（4.4.6）h為導(dǎo)電介質(zhì)的波阻抗。因?yàn)槭菑?fù)數(shù)，所以導(dǎo)電介質(zhì)中k,h都是復(fù)數(shù)，定義（4.4.7）式中叫做導(dǎo)電介質(zhì)的損耗正切。以及（4.4.8）|h|、j分別為復(fù)數(shù)本征阻抗h的模和相角。kr, ki分別為k的實(shí)部和虛部，并假定為正實(shí)數(shù)，ki前面取負(fù)號(hào)使所得到的解當(dāng)ki取正實(shí)數(shù)時(shí)有物理意義。將式（4.4.6）、（4.4.7）代入式（4.4.5），得到（4.4.9）（4.4.10）E的瞬時(shí)值為（4.4.11）式（4.4.11）表示的波z方向傳播的速度為隨著波向+z方向傳播，幅度則按指數(shù)規(guī)律衰減，其衰減速率為ki奈貝/米（N/m）。如果式（4.4.7）ki前面取+號(hào)，則隨著波向+z方向傳播，幅度不斷增加，不符合實(shí)際情況，所以ki前應(yīng)取負(fù)號(hào)。現(xiàn)在我們定義穿透深度dp，當(dāng)kiz=kidp=1時(shí)，按式（4.4.11）場(chǎng)幅度衰減到z=0處的1/e。顯然dp為以上討論表明，當(dāng)介電常數(shù)= er-jei為復(fù)數(shù)時(shí)，虛部ei的影響就是使正z方向傳播的波衰減，故虛部ei表示介質(zhì)的損耗。為簡(jiǎn)化書寫，以后不再區(qū)分用表示的復(fù)介電常數(shù)以及e表示的實(shí)介電常數(shù)，不管介質(zhì)有耗還是無耗都用e表示。下面分幾種情況分析電導(dǎo)率s對(duì)波傳播的影響。(1)電導(dǎo)率很小的介質(zhì)電導(dǎo)率很小的介質(zhì)，其s/we1，式（4.4.7）可近似為所以（4.4.12a）（4.4.12b）因此在電導(dǎo)率很小的介質(zhì)中，波以傳播常數(shù)kr沿正z方向傳播，其幅度不斷衰減，衰減速率為ki（N/m），每行進(jìn)dp距離（4.4.13）場(chǎng)衰減到1/e。例4-6設(shè)冰的電導(dǎo)率很小，s 106S/m，e 3.2e0，求頻率在兆赫范圍內(nèi)的穿透深度。解：頻率為1兆赫時(shí)的損耗正切為1，故可利用式(4.4.13)計(jì)算穿透深度這就是說在兆赫頻率范圍，電磁波用于探測(cè)冰層厚度是很好的。美國(guó)阿波羅登月飛行也利用兆赫范圍頻率電磁波，因在該頻率范圍月球表面電導(dǎo)率也很低，電磁波有較大的穿透深度。對(duì)于更高的頻率，由于冰層中含有氣泡，氣泡中空氣對(duì)高頻電磁波產(chǎn)生散射，上面簡(jiǎn)單的模型對(duì)于更高頻率的電磁波不再適用。(2)電導(dǎo)率很大的介質(zhì)電導(dǎo)率很大的介質(zhì)叫良導(dǎo)體，s/we1，此時(shí)k近似為（4.4.14）因此穿透深度為（4.4.15）d表示dp很小很小，習(xí)慣上叫做趨膚深度。這就是說對(duì)于良導(dǎo)體電磁場(chǎng)主要集中在表面趨膚深度d厚度的薄層內(nèi)，這種效應(yīng)叫做趨膚效應(yīng)。(3)完純導(dǎo)體對(duì)于完純導(dǎo)體，s，趨膚深度d0，導(dǎo)體內(nèi)沒有電磁場(chǎng)，此時(shí)歐姆定律，因?yàn)閟，欲保證表面電流有限，E0。對(duì)于Au, Ag, Cu, Al等良導(dǎo)體，可被視為完純導(dǎo)體，例如Cu的電導(dǎo)率s=5.8107S/m。某些金屬在極低溫度下呈超導(dǎo)特性，叫做超導(dǎo)體，超導(dǎo)鉛在4.2K對(duì)于直流其電導(dǎo)率s大于2.71020S/m?！纠?-7】海水的s = 4S/m，e=81e0，m=m0，求50Hz，1MHz，100MHz三個(gè)頻率下海水的復(fù)介電常數(shù)e解：e = 81e0- 虛部越大，表示導(dǎo)電性能越好，所以對(duì)于頻率低于100MHz電磁波，海水可視作導(dǎo)體?！纠?-8】海水的特征參數(shù)同例4-7，f=1000Hz，水表面電場(chǎng)強(qiáng)度為1V/m，問50m深處電場(chǎng)強(qiáng)度多大。解：當(dāng)f=1000Hz，所以對(duì)1000Hz頻率，海水是良導(dǎo)體，可用式（4.4.15）求dp所以50m深處場(chǎng)強(qiáng)為【例4-9】繼續(xù)例4-8，水表面功率密度是多少？用式（4.4.9-10）得到因?yàn)樗詜h| =4.4310-2 j = 45在z=0處，|E|=1V/m，所以由例4-8可見，電磁波在海水中傳播衰減很快，這給潛艇間通信帶來了困難。海水的相對(duì)介電常數(shù)差不多為81，平均電導(dǎo)率為4S/m，從式（4.4.7）可得衰減常數(shù)ki為隨著頻率增加，損耗不斷增加，在很高的頻率，式（4.4.12b）適用，這個(gè)衰減系數(shù)非常大，波每傳播4mm距離，功率就衰減一半。為使損耗減小，工作頻率必須降低，但是，即使f=1kHz，衰減還是較大，按式（4.4.7） (1kHz時(shí))因此，在1kHz頻率，電磁波在海水中傳播100m，其衰減達(dá)到110dB。如應(yīng)用更低的頻率，可傳播的信號(hào)速率就很小?！纠?-10】為屏蔽電磁波，屏蔽室銅包層厚度要大于5倍趨膚深度，如果要屏蔽的電磁波頻率范圍為10kHz100MHz，求銅外包層的厚度（用mm表示）解：對(duì)于Cu，m=m0，e=e0，s=5.8107S/m，當(dāng)f = 104Hz,所以銅是良導(dǎo)體，用式（4.4.15）計(jì)算dp所以銅包層厚度要大于3.3mm。隨頻率升高，趨膚深度減小，3.3mm厚度的Cu包層對(duì)于屏蔽10KHz到100MHz電磁波是足夠的。用微波加熱食物的原理是多數(shù)食物對(duì)于微波為有耗介質(zhì)，微波穿透這些食物時(shí)，在食物內(nèi)部的微波損耗就轉(zhuǎn)變?yōu)闊?。特點(diǎn)是升溫速度快，而且可從食物內(nèi)部熱起來。牛排的損耗正切很大，所以牛排可用微波烹飪。因?yàn)榫垡蚁〉慕殡姵?shù)接近自由空間介電常數(shù)，損耗很小，對(duì)微波可看作透明，所以這種材料可做加熱食物的容器。牛排的介電常數(shù)近似為e=40(1-j0.3)e0，在f=3GHz時(shí)，其復(fù)數(shù)波數(shù)k為穿透深度dp=1/ki=1.7cm，所以在接近牛排表面0.85cm的范圍內(nèi)，微波功率損耗63%，尚有37%功率可用于加熱離表面0.85cm以內(nèi)的牛排。4.5 色散與群速色散的名稱來源于光學(xué)。當(dāng)一束陽(yáng)光投射到三棱鏡上時(shí)，在棱鏡的另一邊就可看到赤、橙、黃、綠、藍(lán)、青、紫七色光散開的圖象。這就是光波段電磁波的色散現(xiàn)象，這是由于不同頻率的光在棱鏡中具有不同的介電系數(shù)（或折射率），即具有不同的相速度所致。對(duì)于理想介質(zhì)，k與w成正比，相速vp與頻率w無關(guān)，所以理想介質(zhì)是非色散介質(zhì)。如果k與w不成線性關(guān)系，相速vp與w有關(guān)，這種介質(zhì)就稱為色散介質(zhì)。對(duì)于有損耗介質(zhì)，k是w的復(fù)雜函數(shù)，vp與w有關(guān)，所以有耗介質(zhì)一定色散的。反過來，色散介質(zhì)一定有損耗的。引起色散的原因是多方面的，介質(zhì)色散只是其一。其它原因引起的色散，本書后面還會(huì)討論。當(dāng)信號(hào)加到電磁波載體上傳播時(shí)，因?yàn)槿魏涡盘?hào)可表示為任一時(shí)間函數(shù)，我們總可用傅里葉展開將信號(hào)表示為無數(shù)不同頻率正弦波的疊加。如果每個(gè)頻率正弦波的相速相同，那么信號(hào)傳播一段距離后其合成波形與初始波形不會(huì)有變化。如果信號(hào)所包含的各頻率分量相速不等，那么信號(hào)傳播一段距離后，信號(hào)各分量合成的波形將與起始時(shí)的波形不同。圖4-8表示矩形脈沖波經(jīng)光纖長(zhǎng)距離傳輸后因色散畸變?yōu)橐荤娦尾ǎ饷}沖變寬后有可能使接收端的前后兩個(gè)脈沖無法分辨，從而限制光纖傳輸?shù)淖畲蟠a率。纖芯包層圖4-8 光纖色散引起傳輸信號(hào)的畸變以表示的平面波是在時(shí)間、空間上無限延伸的單頻率的電磁波，叫做單色波。單色波不能傳播信息。信號(hào)加到電磁波上就不再是單色波。非單色波的傳播與單色波的傳播有什么區(qū)別呢？下面考慮一種最簡(jiǎn)單的情況，傳播的信號(hào)只含兩個(gè)頻率分量，一個(gè)比載波wc略高，為wc+dw，另一個(gè)比wc略低，為wcdw，其瞬時(shí)表達(dá)式為此信號(hào)沿波導(dǎo)傳播z距離后，兩個(gè)波的合成為上式可寫成更簡(jiǎn)潔的形式因此，該信號(hào)可看成是一高頻載波，其振幅被低頻波 調(diào)制，見圖4-9。類似于式（1.4.4）的推導(dǎo)，振幅包絡(luò)的傳播速度為（4.5.1）圖4-9 合成波的振幅被Dw的波所調(diào)制如果有更復(fù)雜的信號(hào)波形，信號(hào)中包含更多的頻率分量，假定波導(dǎo)（導(dǎo)引電磁波的結(jié)構(gòu)）色散比較小，那么在一個(gè)不大的頻率范圍內(nèi)，整個(gè)信號(hào)包絡(luò)可近似為以vg速度在傳播。信號(hào)包絡(luò)運(yùn)動(dòng)的速度才真正表示信號(hào)傳播的速度，也就是電磁能流運(yùn)動(dòng)的速度，故稱vg為波導(dǎo)的群速。利用表達(dá)式，群速可進(jìn)一步表示為（4.5.2）由式（4.5.2）可見，如果vP與頻率無關(guān)，即=0，則群速等于相速，vg=vP。對(duì)于以前討論的平行雙導(dǎo)線、同軸線，當(dāng)工作于TEM模時(shí)，vP與頻率無關(guān)，vP等于vg，且都等于傳輸線所在介質(zhì)的光速。圖4-10 等離子體色散曲線tan1 vg = qgtan1 ctan1 vp = qp當(dāng)時(shí)，即相速是頻率的函數(shù)時(shí)，這時(shí)又分兩種情況。當(dāng)時(shí)，這類色散稱為正常色散；當(dāng)時(shí)，這類色散被稱為非正常色散。這里“正常”、“非正?！辈]有特別的含義，只是表示兩種不同的色散類型。色散特性k (w) 在wk平面上表示為一條曲線，圖4-10是典型的等離子體的色散曲線。曲線上任一點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率tgqp表示該點(diǎn)相速vp，而切線斜率tgqg表示該點(diǎn)群速vg，qp、qg的意義亦示于圖4-10中。因?yàn)楦鶕?jù)式（3.5.8），對(duì)于等離子體， ，當(dāng)w = wp時(shí)，k = 0，w時(shí)，。對(duì)于無色散介質(zhì)，色散曲線是從原點(diǎn)出發(fā)斜率為1/的直線。4.6 電各向異性介質(zhì)中平面波4.6.1 各向異性介質(zhì)中e、m的并矢表示各向異性介質(zhì)中波傳播特性與波傳播的方向有關(guān)。各向異性介質(zhì)有電各向異性介質(zhì)與磁各向異性介質(zhì)之分。在電各向異性介質(zhì)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E與電通量密度D不再平行，E與D一般的線性關(guān)系為（4.6.1）而在磁各向異性介質(zhì)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B與磁場(chǎng)強(qiáng)度H不再平行，其關(guān)系為（4.6.2）式（4.6.1）表示在電各向異性介質(zhì)中，外加電場(chǎng)Ex分量可感應(yīng)Dx、Dy、Dz三個(gè)分量，而式（4.6.2）表示，外加磁場(chǎng)Bx分量可感生Hx、Hy、Hz三個(gè)分量。余類推。如定義并矢（4.6.3）而按并矢一次點(diǎn)積的定義式（4.6.1）可簡(jiǎn)寫為（4.6.4）因?yàn)樗娜齻€(gè)分量剛好是式（4.6.1）所表示的Dx、Dy、Dz，所以并矢的元素表示Ej分量產(chǎn)生Di分量的比例系數(shù)。同樣引入并矢 （4.6.5）式（4.6.2）可記為 B = H（4.6.6）4.6.2 電各向異性介質(zhì)中的波方程及其平面波解電各向異性介質(zhì)中的介電系數(shù)用并矢表示后，麥克斯韋方程為（4.6.7）E（4.6.8）（4.6.9）（4.6.10）由此可導(dǎo)出電磁場(chǎng)滿足的矢量波動(dòng)方程rE=0（4.6.11）（4.6.12）其中，并矢r定義為現(xiàn)在我們假定各向異性介質(zhì)中波方程也取平面波形式的解，并研究其特性。為此將如下形式的平面波（4.6.13）（4.6.14）代入波動(dòng)方程（4.6.11）和（4.6.12），經(jīng)過矢量運(yùn)算后得（4.6.15a）（4.6.15b）這就是平面波復(fù)數(shù)振幅應(yīng)當(dāng)滿足的矢量方程式，而每個(gè)矢量方程式可分解為三個(gè)直角坐標(biāo)分量方程。矢量波動(dòng)方程（4.6.15a）和（4.6.15b）的非零解條件所導(dǎo)致的方程式將用于確定平面波的波數(shù)k作為w的函數(shù)，稱為色散方程。下面針對(duì)單軸介質(zhì)導(dǎo)出它們的色散方程。在具體推導(dǎo)并求解色散方程之前，我們先看一下電各向異性介質(zhì)中平面波與各向同性介質(zhì)中平面波有什么異同。為此將平面波解（4.6.13）、（4.6.14）代入麥克斯韋方程中的兩個(gè)散度方程（4.6.9）、（4.6.10），得到（4.6.16）（4.6.17）式(4.6.16)、(4.6.17)表明D和B(或H)均與波矢量k垂直。再以平面波解代入H的旋度方程（4.6.8），得（4.6.18）此式進(jìn)一步說明D，H（B）和k三個(gè)矢量是按右手螺旋關(guān)系互相垂直的，但由于介電常數(shù)是張量，D與E一般是不平行的。將式（4.6.13）表示的平面波解代入得到EDzxyD、E、k平面k圖4-11 電各向異性介質(zhì)中平面波場(chǎng)矢量與波矢量的關(guān)系O（4.6.19）這里E是電場(chǎng)垂直于波矢量k方向的分量。式（4.6.19）與式（4.6.11）比較，可見（4.6.20）因此E的垂直于k的分量E與矢量D平行，E矢量處于D與k構(gòu)成的平面內(nèi)。電各向異性介質(zhì)中平面波的電磁場(chǎng)矢量方向與波矢量方向之間的關(guān)系示于圖4-11。所以，與各向同性介質(zhì)中平面波相比，電各向異性介質(zhì)中不是E，H，k，而是D，H，k三者構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，互相垂直。下面具體討論單軸介質(zhì)中平面電磁波的特性。單軸介質(zhì)的典型代表如石英、方解石，當(dāng)取主對(duì)稱軸（在光學(xué)中稱為光軸）為z軸時(shí)，其主軸系統(tǒng)中的介電系數(shù)張量可寫作（4.6.21）將上式代入式（4.6.16），得到（4.6.22）再將上式代入矢量波動(dòng)方程(4.6.15a),分解為直角坐標(biāo)分量方程后（4.6.15a）可寫成下面的矩陣形式（4.6.23）方程（4.6.23）有非零解的條件（4.6.24）稱為色散方程，容易看出它有兩個(gè)解（4.6.25）和（4.6.26a）如果設(shè)k在（yz）平面內(nèi)，q是波矢k與z軸的夾角，則kx=0，ky=ksinq，第二個(gè)解（4.6.26a）式可寫成更方便的形式（4.6.26b）式（4.6.25）和（4.6.26b）表示在單軸介質(zhì)中可能傳播的兩種平面波，它們具有不同的物理特征，分別稱為尋常波和非尋常波。4.6.3 尋常波與非尋常波1、尋常波將解（4.6.25）代入矢量波動(dòng)方程（4.6.23）后可以解出（4.6.27）代入式（4.6.22），得到（4.6.28）式（4.6.28）表明波的電場(chǎng)矢量E沒有平行于波矢量k的分量，因此E與D的方向重合。由于Ez=0，所以E（以及D）與光軸z方向垂直，因此E及D垂直于k和z軸構(gòu)成的平面。可見解（4.6.25）式表示的波是相對(duì)于傳播方向k的橫電磁波（TEM），與各向同性介質(zhì)中的平面波性質(zhì)相同，所以稱為尋常波。由式（4.6.25）式容易求出尋常波的相速為（4.6.29）2、非尋常波qkzyB,HD,EqkzyDB,HE(a) (b)圖4-12 電磁場(chǎng)矢量與波矢量關(guān)系（a）尋常波與（b）非尋常波光軸z和波矢k構(gòu)成的平面（yz平面）稱為主截面。在如此選取的坐標(biāo)系中kx=0。將非尋常波解（4.6.26）代入矢量波動(dòng)方程（4.6.23），得, 所以電場(chǎng)矢量E處于yz平面內(nèi)，由式(4.6.20)式電位移矢量D也在yz平面內(nèi)。但現(xiàn)在E有沿波傳播方向的分量，而D與k總是垂直的，所以D與E不再保持平行。波的這種特性是各向同性介質(zhì)中的TEM波所不具備的，所以稱為非尋常波。由式(4.6.26b)式可求出波的相速 （4.6.30）可見波的相速與傳播方向有關(guān)，這是非尋常波與尋常波的另一區(qū)別。尋常波與非尋常波的電磁場(chǎng)矢量與波傳播方向的關(guān)系分別示于圖4-12（a）和（b）。如果以電位移矢量D的方向表示波的極化，我們可以看到尋常波與非尋常波都是線極化波，但圖4-12表明這兩個(gè)波的極化是正交的。當(dāng)一極化方向任意的線極化波以qi角傾斜入射到單晶片上時(shí)，如果晶面與主光軸（z軸）垂直，將分解為極化方向垂直于yz平面的尋常波和極化在yz平面內(nèi)的非尋常波。由于兩種波的k值不同, 折射角不同, 在晶片內(nèi)這兩個(gè)波的射線將分離，這就是雙折射現(xiàn)象，見圖4-13。從晶片射出的這兩個(gè)波用透鏡合成后一般是橢圓極化波，調(diào)整晶片厚度及波的入射角便可獲得所希望的極化。四分之波板就是利用這一原理得到圓極化光。yyz 圖4-13 單軸晶體中的雙折射 圖4-14 發(fā)生雙折射時(shí)的波矢與功率流當(dāng)電磁波垂直入射到斜切割的單軸晶體表面時(shí)，其透射波的波矢方向不變；等相位面仍為垂直于波矢方向的平面，尋常波的等幅面仍沿與波矢相同的方向前進(jìn)，但非尋常波的等振幅面沿與波矢方向不同的功率流方向前進(jìn)，這時(shí)能速的方向與相速的方向不同，如圖4-14。考慮一塊用各向異性介質(zhì)構(gòu)成的平板，見圖4-15(a)。假定一個(gè)線極化波從左邊入射到該介質(zhì)板，該線極化波表示為（4.6.31）如果忽略在z=0和z=d邊界波的反射效應(yīng)，則波剛通過該各向異性介質(zhì)板時(shí)可表示為（4.6.32）式中k的下標(biāo)o, e分別表示尋常波和非尋常波。(a) (b)圖4-15 各向異性介質(zhì)板及其對(duì)傳輸波極化的影響(a) 各向異性介質(zhì)板 (b) 經(jīng)過該介質(zhì)板波的極化得出式（4.6.32）時(shí)先將入射波分解為x0方向，y0方向兩個(gè)分量，再分別解每個(gè)分量在各向異性介質(zhì)板中的傳播問題，在z=d再將這兩個(gè)分量相加。波通過各向異性介質(zhì)板后其極化形式可由下式?jīng)Q定（4.6.33）圖4-15(b)給出可能的極化形式。當(dāng)（4.6.34）或就可得到圓極化波。滿足上式最短距離是定義以及所以要得到圓極化波，只要：我們稱厚度為的單軸介質(zhì)叫做四分之波板。觀察者觀察者極化薄膜液晶光(a)光(b)+極化薄膜圖4-16 作為顯示器的液晶(a) 正常態(tài)（非激活態(tài)） (b) 激活態(tài)液晶是一種液體，其分子有序排列，液晶可以被電場(chǎng)激活。在非激活態(tài)，液晶是各向同性的，當(dāng)加上電場(chǎng)后，液晶中分子將平行于電場(chǎng)或垂直于電場(chǎng)排列，并成為各向異性介質(zhì)。圖4-16給出一個(gè)典型的液晶顯示器原理結(jié)構(gòu)，它是工作于所謂的“紐曲”（DAP）模式。圖4-16(a)表示激活前的正常態(tài)，進(jìn)入液晶的光已被偏振片極化，該極化光通過液晶時(shí)極化方向不變。當(dāng)通過第二個(gè)偏振片時(shí)全部被吸收。最終結(jié)果沒有光通過顯示器。而在激活態(tài)見圖4-16(b)，液晶改變通過光的極化方向，第二個(gè)偏振片對(duì)于改變了極化方向的通過光是透明的，所以光能通過顯示器。4.7 磁化鐵氧體中的平面波4.7.1 磁化鐵氧體磁導(dǎo)率的張量表示鐵氧體是一族化合物的總稱，是一種或兩種金屬氧化物與Fe2O3混合燒結(jié)而成的。鐵氧體的化學(xué)成分為MOFe2O3，其中M為二階金屬離子，如Mn+、Mg+或Ni+等等。鐵氧體屬于非金屬類磁性材料。它的電阻率高達(dá)108Wcm。這個(gè)數(shù)值比鐵的電阻率大1012倍，因而電磁波就能深入其內(nèi)部與其中的自旋電子發(fā)生相互作用。鐵氧體的介電常數(shù)很高，在微波頻率下，其值在10到20之間。當(dāng)電磁波通過由恒定磁場(chǎng)（H0）偏置下的磁化鐵氧體時(shí)，鐵氧體在各個(gè)方向上的導(dǎo)磁率是不相同的，即導(dǎo)磁率是一個(gè)張量，呈現(xiàn)各向異性。高頻下磁化鐵氧體的導(dǎo)磁率是一反對(duì)稱二階張量（4.7.1）式中（4.7.2）（4.7.3）式中（4.7.4） （4.7.5）其中，ge = e/m = 1.761011 C/kg，是一常數(shù)，稱為旋磁比。由此可見：（1）如果，即鐵氧體沒有磁化，鐵氧體內(nèi)場(chǎng)很小，則，。因此，未受磁化的鐵氧體是一均勻各向同性的介質(zhì)。（2）當(dāng)一恒定磁場(chǎng)H0加在鐵氧體上時(shí)，它變成一塊各向異性介質(zhì)。沿著x軸方向的高頻磁場(chǎng)hx不僅沿x方向產(chǎn)生一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度分量，而且還沿y方向感生一個(gè)分量。m11項(xiàng)可以認(rèn)為是h對(duì)b的直接貢獻(xiàn)，而m12項(xiàng)可以認(rèn)為是一耦合項(xiàng)，它把高頻能量由一種偏振轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N偏振，而這兩種偏振是互相垂直的。這里我們用小寫h、b表示交變磁場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度，以跟表示恒定磁場(chǎng)的大寫H0相區(qū)別。（3）如果w=0（沒有高頻場(chǎng)），則，鐵氧體成為一種磁性單軸晶體。因此磁導(dǎo)率張量是對(duì)高頻磁場(chǎng)而言的。（4）m11、m12都是外加直流磁場(chǎng)H0、飽和磁化強(qiáng)度M0和外加頻率w的函數(shù)。因此可以用改變H0的辦法改變m11和m12。（5）當(dāng)w=wg，m11，m12，發(fā)生所謂共振現(xiàn)象。這類共振是由鐵磁材料中自旋電子的一致進(jìn)動(dòng)而引起的，因此我們稱它為鐵磁共振。張量導(dǎo)磁率mr是在高頻場(chǎng)為小信號(hào)（即hwg, wwm,（4.7.27）成為（4.7.28）式中，c是鐵氧體材料中光速，因此這種情況轉(zhuǎn)角與頻率無關(guān)，從而把鐵氧體可以制成寬帶器件。如果波在反向傳播，可得相同轉(zhuǎn)角，這表明鐵氧體這種各向異性介質(zhì)是非互易的，這種非互易性質(zhì)即法拉第旋轉(zhuǎn)。利用法拉第旋轉(zhuǎn)原理可制成隔離器、非互易移相器和環(huán)行器。而利用時(shí)具有共振特性可制成諧振式隔離器。利用的特性，6.4介紹了場(chǎng)移式隔離器與環(huán)行器。2、橫向傳播的波（q=p/2）對(duì)于h|H0，波數(shù)k與鐵氧體的各向異性無關(guān)，因而鐵氧體中的場(chǎng)與各向同性介質(zhì)中的場(chǎng)是一樣的，故這種波一般稱為尋常波。因?yàn)閔z是磁場(chǎng)強(qiáng)度h的唯一非零分量，故bz=m0hz是磁通量密度矢量的唯一非零分量。從旋度方程（4.7.29）得電場(chǎng)的唯一非零分量 （4.7.30）以及 （4.7.31）因此尋常波是線極化TEMx波，如同在m0和e的各向同性介質(zhì)中傳播一樣。對(duì)于hH0，其傳播常數(shù)為式（4.7.20），一般稱為非尋常波，由式（4.7.17）和（4.7.20）可以分別求得電場(chǎng)和磁場(chǎng)如下（4.7.32）由式（4.7.32）可見，非尋常波僅具有hx、hy和Ez三個(gè)分量，因波在傳播方向存在hx分量，故這種波是TEx波,且有。因此，磁矢量h在x-y平面內(nèi)是橢圓極化的，見圖4-18。由me的表達(dá)式可見，當(dāng)fg/f=1fm/fg，me=0；當(dāng)時(shí)，可出現(xiàn)極點(diǎn)。見圖4-19。圖4-18 非尋常波的橢圓極化圖4-19 9.4GHz非尋常平面波在YIG鐵氧體中垂直于直流磁場(chǎng)傳播時(shí)me與fg/f關(guān)系4.8 高斯光束的平面波展開平面波是最簡(jiǎn)單的電磁波，其特點(diǎn)是等相位面為一平面，波的幅度到處相等。實(shí)際的電磁波往往比平面波復(fù)雜，激光束就是一例，波前不再是平面，波的幅度也不均勻。對(duì)這類復(fù)雜的波怎么分折呢？在時(shí)域中我們?cè)懻撨^用傅里葉展開分析時(shí)間函數(shù)f(t)，即將f(t)展開為時(shí)諧函數(shù)e-jwt的線性組合。如果f(t)是對(duì)時(shí)間t是周期變化的，可用傅里葉級(jí)數(shù)展開，如果是非周期的，可展開為傅里葉積分，即(4.8.1a)式中(4.8.1b)表示平面波，如果k只有x分量，kr=kx， 則=e-jkx，將 e-jkx與e-jwt比較，k與、x與t的地位是相同的。由此可以得到啟發(fā)，空間場(chǎng)分布f(x)可以用平面波e-jkx展開。依次類推，二維場(chǎng)分布f(x,y)可以用進(jìn)行二維空間傅里葉展開。這樣，空間場(chǎng)分布較復(fù)雜的電磁波的傳播，可以這樣處理，將起始面(如z=0)上的場(chǎng)用平面波展開，即將起始面上場(chǎng)表示成無限多平面波的線性組合，然后研究諸多平面波沿z軸的傳播。如要確定z=z1平面上的場(chǎng)分布，只要把該平面上的諸多平面波加起來即可。激光器發(fā)射的激光束的特點(diǎn)是，軸線上光最強(qiáng)，離開軸線愈遠(yuǎn)，光愈弱，最終衰減到零。激光束某一截面(如z=0)上場(chǎng)分布可表示為(4.8.2)式中為柱坐標(biāo)系中離開軸線（z軸）的距離，為了分析的方便，假定光束在y方向是均勻的，只是x的函數(shù)，且場(chǎng)只有y分量，電場(chǎng)E為（4.8.3）圖4-20 高斯分布，非均勻波電場(chǎng)按變化就是熟悉的一維高斯函數(shù)，稱這種場(chǎng)分布為高斯分布，見圖4-20。波在中心（x=0 ）最強(qiáng)，隨離開中心距離的增