江蘇專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最(極)值課件.pptx

第3講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最(極)值,考試要求 1.函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(A級(jí)要求)；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)(B級(jí)要求).,知 識(shí) 梳 理,1.函數(shù)的極值 若在函數(shù)yf(x)的定義域I內(nèi)存在x0，使得在x0附近的所有點(diǎn)x，都有_，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0處取得極大值，記作y極大值_；若在x0附近的所有點(diǎn)x，都有_，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0處取得極小值，記作y極小值_.,f(x)f(x0),f(x0),f(x)f(x0),f(x0),2.求函數(shù)極值的步驟： (1)求導(dǎo)數(shù)f(x)； (2)求方程f(x)0的所有實(shí)數(shù)根； (3)觀察在每個(gè)根xn附近，從左到右，導(dǎo)函數(shù)f(x)的符號(hào)如何變化，若f(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(xn)是極大值；若由負(fù)變正，則f(xn)是極小值；若f(x)的符號(hào)在xn的兩側(cè)附近相同，則xn不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).,3.函數(shù)的最值 若在函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)于任意的xI，都有f(x)_，則稱f(x0)為函數(shù)的最大值，記作ymax_；若在函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)于任意的xI，都有f(x)_，則稱f(x0)為函數(shù)的最小值，記作ymin_. 4.求函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的最值的步驟： (1)求f(x)在區(qū)間a，b上的極值； (2)將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值.,f(x0),f(x0),f(x0),f(x0),診 斷 自 測(cè),1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的.( ) (2)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.( ) (3)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x0)0是x0為極值點(diǎn)的充要條件.( ) (4)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.( ) 解析 (1)函數(shù)在某區(qū)間或定義域內(nèi)極大值可以不止一個(gè)，故(1)錯(cuò)誤，(3)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x)0是x0為極值點(diǎn)的必要條件. 答案 (1) (2) (3) (4),2.函數(shù)f(x)x33x22在區(qū)間1，1上的最大值是_. 解析 f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2. f(x)在1，0)上是增函數(shù)，f(x)在(0，1上是減函數(shù). f(x)maxf(x)極大值f(0)2. 答案 2,其中，既是奇函數(shù)又存在極值的是_(填序號(hào)). 解析 由題意可知，中的函數(shù)不是奇函數(shù)，中函數(shù)yx3單調(diào)遞增(無(wú)極值)，中的函數(shù)既為奇函數(shù)又存在極值. 答案 ,4.(2018全國(guó)卷改編)函數(shù)yx4x22的圖象大致為_(填序號(hào)).,答案 ,5.(2018江蘇卷)若函數(shù)f(x)2x3ax21(aR)在(0，)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)在1，1上的最大值與最小值的和為_.,答案 3,考點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 角度1 求函數(shù)的極值,設(shè)函數(shù)g(x)f(x)(xa)cos xsin x，討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值. 解 因?yàn)間(x)f(x)(xa)cos xsin x， 所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)， 令h(x)xsin x，則h(x)1cos x0，所以h(x)在R上單調(diào)遞增. 因?yàn)閔(0)0，所以，當(dāng)x0時(shí)，h(x)0；當(dāng)x0時(shí)，h(x)0.,當(dāng)a0，g(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x(a，0)時(shí)，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)xa時(shí)，g(x)取到極大值，,當(dāng)x0時(shí)，g(x)取到極小值，極小值是g(0)a.,當(dāng)a0時(shí)，g(x)x(xsin x)， 當(dāng)x(，)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增； 所以g(x)在(，)上單調(diào)遞增，g(x)無(wú)極大值也無(wú)極小值. 當(dāng)a0時(shí)，g(x)(xa)(xsin x)， 當(dāng)x(，0)時(shí)，xa0，g(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x(0，a)時(shí)，xa0，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x0時(shí)，g(x)取到極大值，極大值是g(0)a；,綜上所述：,當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(x)在(，)上單調(diào)遞增，無(wú)極值；,【例12】 已知函數(shù)f(x)ax2axxln x，且f(x)0. (1)求a； (2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e2f(x0)22. (1)解 f(x)的定義域?yàn)?0，)， 設(shè)g(x)axaln x，則f(x)xg(x)，f(x)0等價(jià)于g(x)0， 因?yàn)間(1)0，g(x)0，故g(1)0，,當(dāng)01時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，所以x1是g(x)的極小值點(diǎn)，故g(x)g(1)0. 綜上，a1.,(2)證明 由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x，,當(dāng)x(x0，1)時(shí)，h(x)0. 因?yàn)閒(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一極大值點(diǎn). 由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0).,因?yàn)閤x0是f(x)在(0，1)的最大值點(diǎn)， 由e1(0，1)，f(e1)0得f(x0)f(e1)e2. 所以e2f(x0)22.,角度2 已知極值求參數(shù),(1)當(dāng)k0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍. 解 (1)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)?0，)，,由k0可得exkx0，所以當(dāng)x(0，2)時(shí)，f(x)0，函數(shù)yf(x)單調(diào)遞增. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，).,(2)由(1)知，k0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)單調(diào)遞減， 故f(x)在(0，2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)； 當(dāng)k0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)exkx，x0，)， 因?yàn)間(x)exkexeln k， 當(dāng)00，yg(x)單調(diào)遞增. 故f(x)在(0，2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)； 當(dāng)k1時(shí)， 得x(0，ln k)時(shí)，g(x)0，函數(shù)yg(x)單調(diào)遞增.,所以函數(shù)yg(x)的最小值為g(ln k)k(1ln k). 函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),規(guī)律方法 (1)求函數(shù)f(x)極值的步驟： 確定函數(shù)的定義域； 求導(dǎo)數(shù)f(x)； 解方程f(x)0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根； 列表檢驗(yàn)f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值. (2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值. (3)可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f(x)的符號(hào)不同.應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).對(duì)含參數(shù)的求極值問(wèn)題，應(yīng)注意分類討論.,【訓(xùn)練1】 設(shè)函數(shù)f(x)ax2(3a1)x3a2ex. (1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線斜率為0，求a； (2)若f(x)在x1處取得極小值，求a的取值范圍. 解 (1)因?yàn)閒(x)ax2(3a1)x3a2ex， 所以f(x)ax2(a1)x1ex. f(2)(2a1)e2.,(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex (ax1)(x1)ex.,當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0. 所以f(x)在x1處取得極小值. 若a1，則當(dāng)x(0，1)時(shí)，ax1x10. 所以1不是f(x)的極小值點(diǎn). 綜上可知，a的取值范圍是(1，).,考點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,(1)當(dāng)a4時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若f(x)在區(qū)間1，4上的最小值為8，求a的值.,綜上有，a10.,規(guī)律方法 求函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟： (1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)； (3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.,(1)解 f(x)的定義域?yàn)?，2)(2，).,且僅當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)單調(diào)遞增. 因此當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)f(0)1. 所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.,由(1)知，f(x)a單調(diào)遞增，對(duì)任意a0，1)，f(0)aa1xa時(shí)，f(x)a0，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增.,所以，由xa(0，2，,考點(diǎn)三 由函數(shù)極值、最值解決恒成立問(wèn)題,【例3】 已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)0，求a的取值范圍. 解 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)， f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa). 若a0，則f(x)e2x，在(，)上單調(diào)遞增. 若a0，則由f(x)0得xln a. 當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)0. 故f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增.,(2)若a0，則f(x)e2x，所以f(x)0. 若a0，則由(1)得，當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)a2ln a，從而當(dāng)且僅當(dāng)a2ln a0，即0a1時(shí)，f(x)0.,規(guī)律方法 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題的一般思路： (1)恒成立問(wèn)題的三種常見解法：分離參數(shù)，化為最值問(wèn)題求解，如a(x)max或a(x)min；構(gòu)造函數(shù)，分類討論，如f(x)g(x)，即F(x)f(x)g(x)，求F(x)min0；轉(zhuǎn)變主元，選取適當(dāng)?shù)闹髟墒箚?wèn)題簡(jiǎn)化. (2)恒成立問(wèn)題常利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解.若不能分離參數(shù)，可以對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論. (3)證明不等式問(wèn)題可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解.,【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)ax1，求a