自動控制原理微分方程

2.1 控制系統(tǒng)的微分方程,2.1.1 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),2.1.2 微分方程的列寫,2.1.3 系統(tǒng)元件間的負載效應,2.1.4 系統(tǒng)非線性微分方程的線性化,2.1.1 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),對于任意系統(tǒng)，都可以用下方程來描述,1、任取系數(shù)ai和bj是常數(shù)時，系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng) 。,2、任取系數(shù)ai和bj是時間t的函數(shù)時，系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng) 。,3、任取系數(shù)ai和bj是輸入量、輸出量及它們的導函數(shù)，或是時間t的其他函數(shù)形式時，系統(tǒng)為非線性系統(tǒng) 。,疊加原理,設有一個物理系統(tǒng)，,單獨對它施加輸入xi1(t)時， 輸出為x01(t)；,單獨施加輸入為xi2(t)時， 輸出為x02(t)；,同時施加輸入axi1(t)和bxi2(t)時， 若輸出為ax01(t)+bx02(t) ，,則系統(tǒng)為線性的。,線性、非線性這一系統(tǒng)特性并不隨 系統(tǒng)的表示方法而改變，因為它只是 系統(tǒng)本身的固有特性。,線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的根本區(qū)別表 現(xiàn)為：,線性系統(tǒng)滿足疊加原理,非線性系統(tǒng)則不滿足疊加原理,對一個線性系統(tǒng)，一個輸入的存在并不影響 由另一個輸入引起的輸出，即對線性系統(tǒng)而 言，各個輸入產(chǎn)生的輸出是互不影響的。,因此，在分析多個輸入加在系統(tǒng)上而引起的總輸出時，可以先分析由單個輸入產(chǎn)生的輸出，然后把這些輸出疊加起來即可。,當輸入作用在系統(tǒng)不同部位時，系統(tǒng)的輸出仍然是各輸入所引起的輸出的疊加。,意義：,2.1.2 微分方程的列寫,例1 機械方面:組合機床動力滑臺銑平面,例2 電學方面:無源網(wǎng)絡,列寫微分方程的步驟,例1 機械方面:組合機床動力滑臺銑平面,根據(jù)牛頓第二定律F=ma，得,其中， F軸切削力的軸向分量 Fc阻尼力 Fk彈性恢復力,同時進行等量的代換（變量更換）：,例2 電學方面:無源網(wǎng)絡,由基爾霍夫定律和歐姆定律,對（4）求導,列寫微分方程的步驟:,1、據(jù)系統(tǒng)的工作原理明確輸入量、輸出量。,2、將系統(tǒng)劃分成若干環(huán)節(jié)，從輸入端開始， 根據(jù)物理學定律每一個環(huán)節(jié)列寫一個方 程。（考慮負載效應）,3、將各方程中的中間變量消去，求出描述 輸入量和輸出量之間關系的微分放程。,標準形式如下:,5、在列寫元件的微分方程或求出系統(tǒng)的微 分方程時，對非線性項應加以線性化。,2.1.3 系統(tǒng)元件間的負載效應,在列寫微分方程時，要考慮相鄰元件的 負載效應。,那么，什么是負載效應?,對于由兩個物理元件組成的系統(tǒng)而言， 若其中一個元件的存在，使另一元件在 相同輸入下的輸出受到影響，則如前者 對后者施加了負載。,因此，這一影響稱為負載效應或稱耦合。,例1:兩個由質量、彈簧串聯(lián)而成的振動系統(tǒng)。,1) 當m2,k2不存在 即m1,k1是一單自由度系統(tǒng),其動力學方程為：,2)將m2,k2接在m1與k1上時，組成圖示 兩自由由度系統(tǒng)。,則有：,其動力學方程為：,3)若不計m2的運動對m1的影響。,則有：,則動力方程為：,例2：有兩級串聯(lián)的RC電路組成的濾波網(wǎng)絡,1)計R2與C2存在影響R1與C1的輸出電流i1,2)不計R2與C2存在影響R1與C1的輸出電流i1,若R=R=R、C=C=C，并記RC=T，則,所以未計負載效應是錯誤的,2.1.4 系統(tǒng)非線性微分方程的線性化,系統(tǒng)通常都有一個預定工作點即系統(tǒng)處 于某一平衡位置。,對于自動調節(jié)系統(tǒng)或 隨動系統(tǒng)，只要系統(tǒng)的工作狀態(tài)稍一偏 離此平衡位置，整個系統(tǒng)就會立即作出 反應，并力圖恢復原來的位置。,系統(tǒng)各變量偏離預定工作點的偏差一般很小。,因此只要作為非線性函數(shù)的各變量在預 定工作點處有導數(shù)或偏導數(shù)存在，那么 就可以在預定工作點處將系統(tǒng)的著一非 線性函數(shù)以其自變量的偏差形式展開成 泰勒級數(shù)。,如果此偏差很小，則級數(shù)中 此偏差的高次項可以忽略只剩下一次項， 最后獲得此偏差為變量的線性函數(shù)。,例:單擺系統(tǒng),拉普拉斯變換,1.定義：設函數(shù)f(t)當t=0時有定義，而且積分,存在，則稱F(s)是f(t)的拉普拉斯變換。簡稱拉氏變換,f(t)稱為 F(s)的拉氏逆變換。記為：,2.常用函數(shù)的拉氏變換：,3.拉氏變換的基本性質,(1)線性性質 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。,則有,f