（北京專用）2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)4.4解三角形課件.pptx

4.4 解三角形,高考數(shù)學(xué) (北京專用),考點(diǎn)一 勻變速直線運(yùn)動(dòng),A組 自主命題北京卷題組,五年高考,1.(2018北京,14,5分)若ABC的面積為 (a2+c2-b2),且C為鈍角,則B= ; 的取值 范圍是 .,答案 ;(2,+),解析 本題主要考查正弦、余弦定理,三角形面積公式,三角恒等變換. 依題意有 acsin B= (a2+c2-b2)= 2accos B, 則tan B= ,0 ,又A0,0 ,故 + =2. 故 的取值范圍為(2,+).,2.(2016北京,13,5分)在ABC中,A= ,a= c,則 = .,答案 1,解析 在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, 將A= ,a= c代入, 可得( c)2=b2+c2-2bc , 整理得2c2=b2+bc. c0,等式兩邊同時(shí)除以c2, 得2= + ,即2= + . 令t= (t0),有2=t2+t,即t2+t-2=0, 解得t=1或t=-2(舍去), 故 =1.,思路分析 本題先由余弦定理列出關(guān)于b、c的方程,再將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的方程,利用換元 法求解.,一題多解1 由已知及正弦定理得sin A= sin C, 則sin C= = = , 又0C-A= , C= ,B=-A-C= . 故b=c,即 =1.,一題多解2 由已知及余弦定理得:b2+c2-( c)2=2bccos . 化簡(jiǎn)得b2+bc-2c2=0,即(b+2c)(b-c)=0. 在ABC中,b0,c0,b=c, =1.,3.(2015北京,11,5分)在ABC中,a=3,b= ,A= ,則B= .,答案,解析 由正弦定理知sin B= = = ,因?yàn)閍b,所以AB,所以B= .,易錯(cuò)警示 要注意在ABC中,大邊對(duì)大角,故AB,所以B只能是 .,4.(2014北京,12,5分)在ABC中,a=1,b=2,cos C= ,則c= ;sin A= .,答案 2;,解析 由余弦定理知c2=a2+b2-2abcos C=12+22-212 =4,故c=2.由sin2C+cos2C=1,cos C= ,sin C0知sin C= = ,由 = 知sin A= = = .,評(píng)析 本題考查正弦定理、余弦定理等解三角形的基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力和運(yùn) 算求解能力.,5.(2019北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值.,解析 本題主要考查正弦、余弦定理,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,兩角差的正弦公式等知識(shí) 點(diǎn),考查學(xué)生的運(yùn)算能力,以及利用方程思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,同時(shí)體現(xiàn)了直觀想象的核心 素養(yǎng). (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得 b2=32+c2-23c . 因?yàn)閎=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c . 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=- 得sin B= . 由正弦定理得sin C= sin B= . 在ABC中,B是鈍角,所以C為銳角. 所以cos C= = . 所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C= .,6.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=- . (1)求A; (2)求AC邊上的高.,解析 (1)在ABC中,因?yàn)閏os B=- ,所以sin B= = . 由正弦定理得sin A= = . 由題設(shè)知 B,所以0A . 所以A= . (2)在ABC中, 因?yàn)閟in C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= , 所以AC邊上的高為asin C=7 = .,方法總結(jié) 處理解三角形相關(guān)的綜合題目時(shí),首先要掌握正弦、余弦定理,其次結(jié)合圖形分析 哪些邊、角是已知的,哪些邊、角是未知的,然后將方程轉(zhuǎn)化為只含有邊或角的方程,最后通過(guò) 解方程求出邊或角.,7.(2017北京,15,13分)在ABC中,A=60,c= a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求ABC的面積.,解析 本題考查正、余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積公式. (1)在ABC中,因?yàn)锳=60,c= a, 所以由正弦定理得sin C= = = . (2)因?yàn)閍=7,所以c= 7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3 , 解得b=8或b=-5(舍). 所以ABC的面積S= bcsin A= 83 =6 .,解后反思 根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān) 鍵.在求解面積時(shí),經(jīng)常用余弦定理求出兩邊乘積.,8.(2014北京,15,13分)如圖,在ABC中,B= ,AB=8,點(diǎn)D在BC邊上,且CD=2,cosADC= . (1)求sinBAD; (2)求BD,AC的長(zhǎng).,解析 (1)在ADC中,因?yàn)閏osADC= , 所以sinADC= . 所以sinBAD=sin(ADC-B) =sinADCcos B-cosADCsin B = - = . (2)在ABD中,由正弦定理得 BD= = =3. 在ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-285 =49. 所以AC=7.,評(píng)析 本題考查了三角變換,利用正、余弦定理解三角形.考查分析推理、運(yùn)算求解能力.,B組 統(tǒng)一命題省(區(qū)、市)卷題組,考點(diǎn) 用正、余弦定理解三角形,1.(2019課標(biāo)全國(guó)文,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=- ,則 = ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 A 本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用;考查考生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解 能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理. 由正弦定理及asin A-bsin B=4csin C得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cos A= = =- .所 以 =6.故選A.,2.(2018課標(biāo),6,5分)在ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,則AB= ( ) A.4 B. C. D.2,答案 A 本題考查二倍角公式和余弦定理. cos = ,cos C=2cos2 -1=2 -1=- , 又BC=1,AC=5, AB= = =4 .故選A.,3.(2018課標(biāo),9,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ABC的面積為 ,則C = ( ) A. B. C. D.,答案 C 本題考查解三角形及其綜合應(yīng)用. 根據(jù)余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因?yàn)镾ABC= ,所以SABC= ,又SABC= absin C,所以tan C=1,因?yàn)镃(0,),所以C= .故選C.,4.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB= ,BC=3,C=120,則AC= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 A 在ABC中,設(shè)A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則由c2=a2+b2-2abcos C,得13=9+b2-2 3b ,即b2+3b-4=0,解得b=1(負(fù)值舍去),即AC=1.故選A.,評(píng)析 本題考查了余弦定理的應(yīng)用和方程思想,屬容易題.,5.(2016課標(biāo)全國(guó),8,5分)在ABC中,B= ,BC邊上的高等于 BC,則cos A= ( ) A. B. C.- D.-,答案 C 解法一:過(guò)A作ADBC,垂足為D,由題意知AD=BD= BC,則CD= BC,AB= BC, AC= BC,在ABC中,由余弦定理的推論可知,cosBAC= = =- ,故選C. 解法二:過(guò)A作ADBC,垂足為D,由題意知AD=BD= BC,則CD= BC,在RtADC中,AC= BC,sinDAC= ,cosDAC= ,又因?yàn)锽= ,所以cosBAC=cos =cosDAC cos -sinDACsin = - =- ,故選C.,解法三:過(guò)A作ADBC,垂足為D,由題意知AD=BD= BC,則CD= BC,AB= BC,AC= BC,而, =( + )( + )= + + + = BC2- BC2=- BC2,所以cos BAC= = =- ,故選C. 解法四:過(guò)A作ADBC,垂足為D,設(shè)BC=3a(a0),結(jié)合題意知AD=BD=a,DC=2a.以D為原點(diǎn),DC, DA所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以 =(-a,-a), = (2a,-a),所以| |= a,| |= a,所以cosBAC= = =- ,故選C.,解后反思 解三角形問(wèn)題一般利用正弦、余弦定理求解,有時(shí)也可根據(jù)具體條件,利用向量法 或解析法求解.,6.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上.若BDC=45,則BD = ,cosABD= .,答案 ;,解析 本題考查了兩角差的余弦公式和正弦定理,通過(guò)解三角形考查了運(yùn)算求解能力,通過(guò)長(zhǎng) 度和角度的計(jì)算體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 在BDC中,BC=3,sinBCD= ,BDC=45, 由正弦定理得 = ,則BD= = , 在ABD中,sinBAD= ,cosBAD= ,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos 45cosBAD+sin 45sinBAD= = .,思路分析 在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通過(guò)兩角差的余弦公式求解.,解題反思 三角恒等變換和正弦定理、余弦定理是解三角形的基礎(chǔ)知識(shí),在熟練掌握的前提 下,應(yīng)比較運(yùn)算量大小,從而選取比較理想的解法.,7.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a= ,b=2,A=60,則sin B= ,c= .,答案 ;3,解析 由 = 得sin B= sin A= , 由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍負(fù)).,8.(2018江蘇,13,5分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ABC=120,ABC的平分線交 AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為 .,答案 9,解析 依題意畫(huà)出圖形,如圖所示. 易知SABD+SBCD=SABC, 即 csin 60+ asin 60= acsin 120, a+c=ac, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,當(dāng)且僅當(dāng) = ,即a= ,c=3時(shí)取“=”.,一題多解1 作DECB交AB于E, BD為ABC的平分線, = = , DECB, = = = , = , = . = + . = , 1= + +2 | | | ,1= ,ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,當(dāng)且僅當(dāng) = ,即a= ,c=3時(shí)取“=”.,一題多解2 以B為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 則D(1,0).AB=c,BC=a,A ,C . A,D,C三點(diǎn)共線, , + c =0, ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,當(dāng)且僅當(dāng) = ,即a= ,c=3時(shí)取“=”.,9.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則 BDC的面積是 ,cosBDC= .,答案 ;,解析 本題考查余弦定理,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,二倍角公式,三角形面積公式,考查運(yùn) 算求解能力. AB=AC=4,BC=2,cosABC= = , ABC為三角形的內(nèi)角,sinABC= , sinCBD= ,故SCBD= 22 = . BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC= , 2cos2BDC-1= ,得cos2BDC= , 又BDC為銳角,cosBDC= .,10.(2016課標(biāo),13,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,則b= .,答案,解析 由已知可得sin A= ,sin C= ,則sin B=sin(A+C)= + = ,再由正弦定理可得 = b= = .,思路分析 利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出sin A與sin C的值,進(jìn)而由sin B=sin(A+C)求出 sin B的值,再利用正弦定理即可求出b的值.,11.(2015天津,13,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為3 ,b- c=2,cos A=- ,則a的值為 .,答案 8,解析 因?yàn)閏os A=- ,0A,所以sin A= = .由3 = bcsin A得bc=24.又因?yàn)閎-c= 2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+16+12=64.故a=8.,12.(2015課標(biāo)全國(guó),16,5分)在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,則AB的取值范 圍是 .,答案 ( - , + ),解析 依題意作出四邊形ABCD,連接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正 弦定理得 = .由題意可知,ADC=135,則ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得 = .所以 = ,即y= = = = .,因?yàn)?75,+75=180,所以30105, 當(dāng)=90時(shí),易得y= ; 當(dāng)90時(shí),y= = , 又tan 30= ,tan 105=tan(60+45)= =-2- ,結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)知, ,( -2, ),且 0,所以y= ( - , )( , + ). 綜上所述:y( - , + ).,思路分析 連接BD,把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題,令BD=x,AB=y,利用正弦定理建立函 數(shù)關(guān)系求解.,疑難突破 把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題是關(guān)鍵,利用正弦定理建立函數(shù)關(guān)系求解是難 點(diǎn)也是突破點(diǎn).,13.(2019課標(biāo)全國(guó)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.設(shè)(sin B-sin C)2=sin2A- sin Bsin C. (1)求A; (2)若 a+b=2c,求sin C.,解析 本題主要考查學(xué)生對(duì)正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換的掌握;考查了學(xué)生的運(yùn) 算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算. (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cos A= = . 因?yàn)?A180,所以A=60. (2)由(1)知B=120-C,由題設(shè)及正弦定理得 sin A+sin(120-C)=2sin C, 即 + cos C+ sin C=2sin C,可得cos(C+60)=- . 由于0C120,所以sin(C+60)= , 故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60= .,思路分析 (1)先借助正弦定理將角化為邊,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,進(jìn)而得出角 A.(2)利用正弦定理將已知等式中的邊化為角,利用三角恒等變換將原式化為含有角C的正 弦、余弦的等式,利用角度變換求出sin C.,14.(2019天津理,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4 asin C. (1)求cos B的值; (2)求sin 的值.,解析 本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正弦公式,二倍角的正弦與余弦公 式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力.體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng) 的重視. (1)在ABC中,由正弦定理 = ,得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因?yàn)閎+c=2a,得到b= a,c= a. 由余弦定理可得cos B= = =- . (2)由(1)可得sin B= = , 從而sin 2B=2sin Bcos B=- ,cos 2B=cos2B-sin2B=- , 故sin =sin 2Bcos +cos 2Bsin =- - =- .,思路分析 (1)由已知邊角關(guān)系:3csin B=4asin C利用正弦定理,得三邊比例關(guān)系,根據(jù)余弦定 理即可求出cos B. (2)由(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,求出sin B,再由二倍角公式求出sin 2B、cos 2B,代入兩 角和的正弦公式即可求出sin 的值.,易錯(cuò)警示 角B為三角形內(nèi)角,故sin B0,由cos B求sin B僅有一正解.,15.(2019課標(biāo)全國(guó)理,18,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin =bsin A. (1)求B; (2)若ABC為銳角三角形,且c=1,求ABC面積的取值范圍.,解析 本題考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面積公式以及學(xué)生對(duì)三角恒等變換的掌 握情況;考查學(xué)生邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). (1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A. 因?yàn)閟in A0,所以sin =sin B. 由A+B+C=180,可得sin =cos , 故cos =2sin cos . 因?yàn)閏os 0,故sin = ,因此B=60. (2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABC= a. 由正弦定理得a= = = + .,由于ABC為銳角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90,故 a2,從而 SABC . 因此,ABC面積的取值范圍是 .,思路分析 (1)用正弦定理將邊化成角,再利用三角恒等變換求解角B. (2)用正弦定理先表示出邊a,再用面積公式和銳角三角形的性質(zhì)求出角C的范圍,進(jìn)而求出 ABC面積的取值范圍.,16.(2018課標(biāo)全國(guó),17,12分)在平面四邊形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2 ,求BC.,解析 (1)在ABD中,由正弦定理得 = . 由題設(shè)知, = ,所以sinADB= . 由題設(shè)知,ADB90,所以cosADB= = . (2)由題設(shè)及(1)知,cosBDC=sinADB= . 在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252 =25. 所以BC=5.,方法總結(jié) 正弦、余弦定理的應(yīng)用原則: (1)正弦定理是一個(gè)連比等式,在運(yùn)用此定理時(shí),只要知道其中一對(duì)的比值或等量關(guān)系就可以通 過(guò)該定理解決問(wèn)題,在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用. (2)運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的應(yīng)用. (3)在利用正、余弦定理判斷三角形形狀時(shí),等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因 式,以免漏解. (4)在利用正弦定理求三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí),可能會(huì)出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況,所以解答 此類問(wèn)題時(shí)需要進(jìn)行分類討論,以免漏解或增解.,17.(2018天津,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsin A=acos . (1)求角B的大小; (2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.,解析 (1)在ABC中, 由正弦定理 = ,可得bsin A=asin B, 又由bsin A=acos ,得asin B=acos , 即sin B=cos ,可得tan B= . 又因?yàn)锽(0,),可得B= . (2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B= , 有b2=a2+c2-2accos B=7,故b= . 由bsin A=acos ,可得sin A= . 因?yàn)閍c,故cos A= .,因?yàn)閍c,故cos A= . 因此sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= .所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B= - = .,解題關(guān)鍵 (1)利用正弦定理合理轉(zhuǎn)化bsin A=acos 是求解第(1)問(wèn)的關(guān)鍵; (2)由余弦定理及已知條件求得sin A,利用a0是求解第(2)問(wèn)的關(guān)鍵.,失分警示 (1)忽略ac這一條件,從而導(dǎo)致cos A有兩個(gè)值,最終結(jié)果出現(xiàn)增解; (2)不能熟記二倍角公式以及兩角差的正弦公式,從而導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò).,18.(2017課標(biāo)全國(guó),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為 . (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周長(zhǎng).,解析 本題考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面積公式及其綜合應(yīng)用. (1)由題設(shè)得 acsin B= ,即 csin B= . 由正弦定理得 sin Csin B= . 故sin Bsin C= . (2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=- , 即cos(B+C)=- , 所以B+C= ,故A= . 由題設(shè)得 bcsin A= ,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= . 故ABC的周長(zhǎng)為3+ .,方法總結(jié) 解三角形的綜合應(yīng)用. (1)應(yīng)用正弦定理、余弦定理主要是將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式,以便進(jìn)一步化簡(jiǎn)計(jì) 算,例如:將 csin B= 變形為 sin Csin B= . (2)三角形面積公式:S= absin C= acsin B= bcsin A. (3)三角形的內(nèi)角和為. 這一性質(zhì)經(jīng)常在三角化簡(jiǎn)中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.,19.(2017課標(biāo)全國(guó),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2 . (1)求cos B; (2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.,解析 (1)由題設(shè)及A+B+C=得sin B=8sin2 , 故sin B=4(1-cos B). 上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去)或cos B= . (2)由cos B= 得sin B= ,故SABC= acsin B= ac. 又SABC=2,則ac= . 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2 =4. 所以b=2.,思路分析 (1)先把A+C轉(zhuǎn)化為-B,然后解關(guān)于cos B的方程即可. (2)由cos B得sin B.由SABC= acsin B得ac的值后,利用b2=a2+c2-2accos B求b.,解后反思 在余弦定理和三角形面積公式的運(yùn)用過(guò)程中,要重視“整體運(yùn)算”的技巧.如本題 中b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)中的轉(zhuǎn)化就說(shuō)明了這一點(diǎn).,20.(2016課標(biāo)全國(guó),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c= ,ABC的面積為 ,求ABC的周長(zhǎng).,解析 (1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C. 可得cos C= ,所以C= . (2)由已知,得 absin C= . 又C= ,所以ab=6. 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,從而(a+b)2=25. 所以ABC的周長(zhǎng)為5+ .,思路分析 本題重點(diǎn)考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式,同時(shí),對(duì)三角恒等變換的 公式也有所考查.在解題過(guò)程中,要注意先將已知條件中的“邊”與“角”的關(guān)系,通過(guò)正弦定 理轉(zhuǎn)化為“角”之間的關(guān)系,再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)求解.,解后反思 本題屬于解三角形問(wèn)題中的常見(jiàn)題型,要先利用正弦、余弦定理,將已知中的 “邊”或“角”的關(guān)系式,轉(zhuǎn)化為只有“邊”或只有“角”的方程形式,進(jìn)而通過(guò)三角函數(shù)或 代數(shù)知識(shí)求解方程.解題中要注意三角形的一些性質(zhì)的應(yīng)用,例如:sin(A+B)=sin C,SABC= absin C.,21.(2016浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)證明:A=2B; (2)若ABC的面積S= ,求角A的大小.,解析 (1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B, 因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B. (2)由S= 得 absin C= ,故有sin Bsin C= sin 2B=sin Bcos B, 因sin B0,得sin C=cos B. 又B(0,),C(0,),所以C= B. 當(dāng)B+C= 時(shí),A= ;當(dāng)C-B= 時(shí),A= . 綜上,A= 或A= .,評(píng)析 本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查 運(yùn)算求解能力.,22.(2015課標(biāo)全國(guó),17,12分)ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,ABD面積是ADC面 積的2倍. (1)求 ; (2)若AD=1,DC= ,求BD和AC的長(zhǎng).,解析 (1)SABD= ABADsinBAD, SADC= ACADsinCAD. 因?yàn)镾ABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得 = = . (2)因?yàn)镾ABDSADC=BDDC,DC= ,所以BD= . 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.,思路分析 (1)由兩個(gè)三角形面積的關(guān)系得出邊長(zhǎng)的關(guān)系,再由正弦定理求 的值;(2)由 ABD和ADC的面積關(guān)系及DC= 可得BD的值,再由ADB與ADC的互補(bǔ)關(guān)系,結(jié)合余弦 定理求AC的值.,C組 教師專用題組,1.(2014課標(biāo),4,5分)鈍角三角形ABC的面積是 ,AB=1,BC= ,則AC= ( ) A.5 B. C.2 D.1,答案 B SABC= ABBCsin B= 1 sin B= , sin B= ,B=45或135.若B=45,則由余弦定理得AC=1,ABC為直角三角形,不符合題 意,因此B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=1+2-21 =5,AC= . 故選B.,2.(2015廣東,11,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a= ,sin B= ,C= ,則b= .,答案 1,解析 在ABC中,由sin B= ,可得B= 或B= ,結(jié)合C= 可知B= .從而A= ,利用正弦定 理 = ,可得b=1.,3.(2015重慶,13,5分)在ABC中,B=120,AB= ,A的角平分線AD= ,則AC= .,答案,解析 依題意知BDA=C+ BAC, 由正弦定理得 = , sin = , C+BAC=180-B=60, C+ BAC=45, BAC=30,C=30. 從而AC=2ABcos 30= .,4.(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一 垂直于路面的山峰CD在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測(cè)得此山在西偏北75的 方向上,仰角為30,則此山的高度CD= m.,答案 100,解析 依題意有AB=600,CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45. 在ABC中,由 = , 得 = , 故CB=300 , 在RtBCD中,CD=CBtan 30=100 , 則此山的高度CD=100 m.,5.(2019北京文,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B+C)的值.,解析 本題主要考查余弦定理及其推論的應(yīng)用,旨在考查學(xué)生在解三角形中的運(yùn)算求解能力, 以求三角形邊為背景考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)和方程思想. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得b2=32+c2-23c . 因?yàn)閎=c+2, 所以(c+2)2=32+c2-23c . 解得c=5.所以b=7. (2)由cos B=- 得sin B= . 由正弦定理得sin A= sin B= . 在ABC中,B+C=-A. 所以sin(B+C)=sin A= .,6.(2017天津,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sin B= . (1)求b和sin A的值; (2)求sin 的值.,解析 (1)在ABC中,因?yàn)閍b,所以由sin B= ,可得cos B= .由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2 accos B=13,所以b= . 由正弦定理 = ,得sin A= = . 所以,b的值為 ,sin A的值為 . (2)由(1)及ac,得cos A= , 所以sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=1-2sin2A=- . 故sin =sin 2Acos +cos 2Asin = .,方法總結(jié) 利用正、余弦定理求邊或角的步驟:(1)根據(jù)已知的邊和角畫(huà)出相應(yīng)的圖形,并在圖 中標(biāo)出;(2)結(jié)合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解;(3)在運(yùn)算和求解過(guò)程中注意三角恒等 變換和三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用.,7.(2017課標(biāo)全國(guó),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2. (1)求c; (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且ADAC,求ABD的面積.,解析 本題考查解三角形. (1)由已知可得tan A=- ,所以A= . 在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos ,即c2+2c-24=0. 解得c=-6(舍去),或c=4. (2)由題設(shè)可得CAD= , 所以BAD=BAC-CAD= . 故ABD面積與ACD面積的比值為 =1. 又ABC的面積為 42sinBAC=2 , 所以ABD的面積為 .,思路分析 (1)由sin A+ cos A=0,可求得tan A=- ,注意到A是三角形內(nèi)角,得A= ,再由余 弦定理求c.(2)由題意知CAD= ,BAD= ,于是可求得 的值,再由SABC= 42sin BAC=2 得解.,8.(2016山東,16,12分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知2(tan A+tan B)= + . (1)證明:a+b=2c; (2)求cos C的最小值.,解析 (1)由題意知2 = + , 化簡(jiǎn)得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B. 因?yàn)锳+B+C=, 所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C. 從而sin A+sin B=2sin C. 由正弦定理得a+b=2c. (2)由(1)知c= , 所以cos C= =,= - , 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立. 故cos C的最小值為 .,評(píng)析 本題考查了三角恒等變換、正弦定理和余弦定理及基本不等式,綜合性較強(qiáng),重點(diǎn)考查 了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法,屬中檔題.,9.(2015浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知A= ,b2-a2= c2. (1)求tan C的值; (2)若ABC的面積為3,求b的值.,解析 (1)由b2-a2= c2及正弦定理得sin2B- = sin2C,所以-cos 2B=sin2C. 又由A= ,即B+C= ,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2. (2)由tan C=2,C(0,)得sin C= ,cos C= . 又因?yàn)閟in B=sin(A+C)=sin , 所以sin B= . 由正弦定理得c= b, 又因?yàn)锳= , bcsin A=3,所以bc=6 ,故b=3.,評(píng)析 本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.,三年模擬,A組 20172019年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組,考點(diǎn) 用正、余弦定理解三角形,1.(2019北京西城一模文,5)在ABC中,已知a=2,sin(A+B)= ,sin A= ,則c= ( ) A.4 B.3 C. D.,答案 C 在ABC中,由A+B+C=可得sin(A+B)=sin C, 由 = 得c=a =2 = ,故選C.,2.(2019北京朝陽(yáng)二模,4)在ABC中,B= ,c=4,cos C= ,則b= ( ) A.3 B.3 C. D.,答案 B 在ABC中,sin C= = ,由正弦定理得b= = =3,故選B.,3.(2019北京西城二模,11)在ABC中,若a= b,b= c,則三個(gè)內(nèi)角中最大角的余弦值為 .,答案 -,解析 因?yàn)閍= b,b= c,所以a=2c,從而abc,故最大角是A,由a2=b2+c2-2bccos A,得4c2=2c2+c 2-2 c2cos A,得cos A=- .,誤區(qū)警示 根據(jù)三角形中“大邊對(duì)大角”判斷出哪個(gè)角最大,然后用余弦定理求解.,4.(2018北京海淀二模,12)在ABC中,abc=456,則tan A= .,答案,解析 因?yàn)閍bc=456, 所以設(shè)a=4t,b=5t,c=6t(t0), 則cos A= = = . 因?yàn)?A,所以sin A= = , 所以tan A= = .,5.(2018北京東城一模,9)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a2+c2=b2+ac,則B= .,答案,解析 因?yàn)閏os B= = = ,且B(0,),所以B= .,6.(2019北京房山一模,11)在ABC中,已知BC=6,AC=4,sin A= ,則B= .,答案,解析 在ABC中,由BCAC可知AB,由 = ,得 = ,從而sin B= ,所以B= 或B= (舍).,易錯(cuò)警示 用正弦定理解三角形問(wèn)題,要注意三角形中的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系,已知三角形的兩 角與任意一邊或已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角都可用正弦定理求解,而已知三角形的 兩邊與其中一邊的對(duì)角時(shí)用正弦定理需要考慮可能無(wú)解、一解或兩解的情況.,7.(2019北京東城一模,10 )在ABC中,若bcos C+csin B=0,則C= .,答案,解析 由正弦定理得sin Bcos C+sin Csin B=sin B(cos C+sin C)=0. B(0,),sin B0, cos C+sin C=0,tan C=-1,C= +k,kZ. C(0,),C= .,8.(2019北京海淀一模,10)在ABC中,a=4,b=5,cos C= ,則c= ,SABC= .,答案 6;,解析 c2=a2+b2-2abcos C,c=6, cos C= ,C , sin C= = , SABC= absin C= 45 = .,9.(2018北京房山一模,15)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cos 2B+cos B=0. (1)求角B的值; (2)若b= ,a+c=5,求ABC的面積.,解析 (1)由已知得2cos2B-1+cos B=0, 即(2cos B-1)(cos B+1)=0. 解得cos B= ,或cos B=-1. 因?yàn)?B,所以舍去cos B=-1. 所以B= . (2)將B= ,b= 代入b2=a2+c2-2accos B, 整理得(a+c)2-3ac=7. 因?yàn)閍+c=5,所以ac=6. 所以ABC的面積S= acsin B= .,10.(2018北京東城二模,15)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,b=2,bcos C=ccos B. (1)求c的值; (2)若a=3,求sin 2A的值.,解析 (1)在ABC中,由bcos C=ccos B及正弦定理,得 sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0. 因?yàn)?B,0C,所以-B-C.所以B=C,所以b=c. 因?yàn)閎=2,所以c=2. (2)由b=c=2,a=3,得cos A= =- . 因?yàn)?A,所以sin A= . 所以sin 2A=2sin Acos A=2 =- .,11.(2018北京朝陽(yáng)一模,15)在ABC中,sin A= ,b=2acos A. (1)若ac=5,求ABC的面積; (2)若B為銳角,求sin C的值.,解析 (1)由b=2acos A,得cos A0, 因?yàn)閟in A= ,所以cos A= . 又因?yàn)閎=2acos A, 所以sin B=2sin Acos A=2 = . 故ABC的面積S= acsin B=2. (2)因?yàn)閟in B= ,且B為銳角,所以cos B= . 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= + = .,12.(2019北京朝陽(yáng)期末,15)在ABC中,已知A= ,cos C= ,BC=13. (1)求AB的長(zhǎng); (2)求BC邊上的中線AD的長(zhǎng).,解析 (1)在ABC中,由于cos C= ,0C ,所以sin C= .由 = 得AB=BC =13 =5 . (6分) (2)在ABC中,cos B=cos = cos C+ sin C= . 由余弦定理得AD2=(5 )2+ -25 = . 所以AD= . (13分),13.(2019北京豐臺(tái)一模文,16)在銳角ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知cos 2C=- . (1)求sin C; (2)當(dāng)c=2a,且b=3 時(shí),求a.,解析 (1)因?yàn)閏os 2C=- ,所以1-2sin2C=- . 因?yàn)?C ,所以sin C= . (2)由(1)可知sin C= , 因?yàn)锳BC是銳角三角形,所以cos C= = . 因?yàn)閏=2a, = , 所以sin A= sin C= ,所以cos A= .所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= . 因?yàn)?= ,b=3 ,所以a=2.,14.(2019北京海淀二模,15)在ABC中,a=7,b=8,A= . (1)求sin B的值; (2)若ABC是鈍角三角形,求BC邊上的高.,解析 (1)在ABC中,因?yàn)閍=7,b=8,A= , 所以由 = , 得sin B= = = . (2)解法一:由a2=b2+c2-2bccos A, 得49=64+c2-28c , 即c2-8c+15=0,解得c=5或c=3. 因?yàn)閎a,bc,所以B為ABC中最大的角, 當(dāng)c=5時(shí),cos B= 0,與ABC為鈍角三角形矛盾,舍去. 當(dāng)c=3時(shí),cos B= 0,ABC為鈍角三角形, 所以c=3.,設(shè)BC邊上的高為h,所以h=csin B= . 解法二:因?yàn)閎a,所以BA= ,所以C ,所以B為ABC中最大的角. 因?yàn)锳BC為鈍角三角形,所以B為鈍角. 因?yàn)閟in B= ,所以cos B=- , 所以sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = . 設(shè)BC邊上的高為h,所以h=bsin C= .,方法總結(jié) (1)已知兩邊與其中一邊的對(duì)角用正弦定理即可求出其余邊與角; (2)解法一:根據(jù)題目中條件用余弦定理并用“鈍角三角形”這一條件得c的值,再求得BC邊上 的高;解法二:根據(jù)題中條件求得sin C,并用直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義求得BC邊上的 高.,B組 20172019年高考模擬專題綜合題組 時(shí)間:95分鐘 分值:165分 一、選擇題(每小題5分,共10分),1.(2019北京朝陽(yáng)一模文,4,5分)已知ABC中,A=120,a= ,ABC的面積為 .若bc,則c- b= ( ) A. B.3 C.-3 D.-,答案 B SABC= bcsin A= bc= ,bc=4. a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=b2+c2+4=21, b2+c2=17,(b+c)2=b2+c2+2bc=25, b+c=5,結(jié)合bc,bc=4,解得c=4,b=1, c-b=3,故選B.,2.(2018北京朝陽(yáng)二模,2)在ABC中,AB=1,AC= ,C= ,則B= ( ) A. B. 或 C. D. 或,答案 D 由 = 得 = , sin B= .B(0,),ACAB,BC.B .B= 或 .故選D.,易錯(cuò)警示 由sin B= 僅得出B= ,而錯(cuò)選A.,二、填空題(每小題5分,共15分) 3.(2018北京海淀一模,12)在ABC中,若c=2,a= ,A= ,則sin C= ,cos 2C= .,答案 ;,解析 由正弦定理得sin C= = . 由二倍角公式得cos 2C=1-2sin2C= .,