高考數(shù)學(xué)第7章立體幾何初步第3節(jié)平行關(guān)系教學(xué)案文（含解析）北師大版.docx

第三節(jié)平行關(guān)系考綱傳真1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題1線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行線面平行”)l， b，lbl性質(zhì)定理如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行線線平行”)l，l，b，lb2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行”)a，b，abPa，b性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，a，b，ab線、面平行的性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行(7)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(8)垂直于同一平面的兩條直線平行基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行()(2)若直線a平面，P，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條()(3)若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行()(4)若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)下列命題中，正確的是()A若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B若直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行C若直線a，b和平面滿足a，b，那么abD若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則bD根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D3設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m，“m ”是“ ”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件B當(dāng)m時(shí)，過m的平面與可能平行也可能相交，因而m；當(dāng)時(shí)，內(nèi)任一直線與平行，因?yàn)閙，所以m.綜上知，“m ”是“ ”的必要而不充分條件4在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系是_平行如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是BDD1的中位線，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.5設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，m，則m；若，則.其中是真命題的是_(填上序號(hào))對(duì)于，mn或m，n異面，故錯(cuò)誤；易知正確；對(duì)于，m或m，故錯(cuò)誤；對(duì)于，或與相交，故錯(cuò)誤直線與平面平行的判定與性質(zhì)考法1直線與平面平行的判定【例1】如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)(1)求證：AP平面BEF；(2)求證：GH平面PAD證明(1)連接EC，因?yàn)锳DBC，BCAD，所以BCAE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以FOAP，因?yàn)镕O平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)連接FH，OH，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，所以FHPD，因?yàn)镕H平面PAD，PD平面PAD，所以FH平面PAD又因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，所以O(shè)HAD，因?yàn)镺H平面PAD，AD平面PAD所以O(shè)H平面PAD又FHOHH，所以平面OHF平面PAD又因?yàn)镚H平面OHF，所以GH平面PAD考法2直線與平面平行的性質(zhì)【例2】如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1平面BB1DFG.證明：FG平面AA1B1B證明在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1CC1，BB1平面BB1D，CC1平面BB1D，所以CC1平面BB1D又CC1平面CEC1，平面CEC1平面BB1DFG，所以CC1FG.因?yàn)锽B1CC1，所以BB1FG.而BB1平面AA1B1B，F(xiàn)G平面AA1B1B，所以FG平面AA1B1B規(guī)律方法判定線面平行的4種方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，a，aa)注意：構(gòu)造平行的常見形式：三角形的中位線、平行四邊形、利用比例關(guān)系證明兩直線平行等 如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，AB2，AF1，M是線段EF的中點(diǎn)(1)求證：MA平面BDE.(2)若平面ADM平面BDEl，平面ABM平面BDEm，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解(1)證明：如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.因?yàn)镺，M分別是AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AMOE.又因?yàn)镺E平面BDE，AM平面BDE，所以AM平面BDE.(2)lm，證明如下：由(1)知AM平面BDE，連接DM，MB又AM平面ADM，平面ADM平面BDEl，所以lAM，同理，AM平面BDE，又AM平面ABM，平面ABM平面BDEm，所以mAM，所以lm.平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例3】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)因?yàn)镚H是A1B1C1的中位線，所以GHB1C1.又因?yàn)锽1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EFBC，因?yàn)镋F平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因?yàn)锳1GEB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1EGB因?yàn)锳1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因?yàn)锳1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.拓展探究在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1平面AC1D證明如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以A1BDM.因?yàn)锳1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，所以DM平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1BD1.又DC1平面A1BD1.BD1平面A1BD1，所以DC1平面A1BD1，又因?yàn)镈C1DMD，DC1，DM平面AC1D所以平面A1BD1平面AC1D規(guī)律方法判定平面與平面平行的4種方法(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題可用)；(4)利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)；注意：謹(jǐn)記空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EFDB，G，H分別是EC和FB的中點(diǎn)求證：GH平面ABC證明取FC的中點(diǎn)I，連接GI，HI，則有GIEF，HIBC又EFDB，所以GIBD，又GIHII，BDBCB，所以平面GHI平面ABC因?yàn)镚H平面GHI，所以GH平面ABC平行關(guān)系中的存在性問題【例4】如圖，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD為菱形(1)證明：平面AB1C平面DA1C1；(2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP平面DA1C1？若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)證明：由棱柱ABCDA1B1C1D1的性質(zhì)知，AB1DC1(圖略)，AB1平面DA1C1，DC1平面DA1C1，AB1平面DA1C1，同理可證B1C平面DA1C1，又AB1B1CB1，平面AB1C平面DA1C1.(2)存在這樣的點(diǎn)P，使BP平面DA1C1.A1B1ABDC，四邊形A1B1CD為平行四邊形A1DB1C在C1C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使C1CCP，連接BP(圖略)，B1BC1C，B1BCP，四邊形BB1CP為平行四邊形，則BPB1C，BPA1D，BP平面DA1C1.規(guī)律方法解決存在性問題的一般方法解決存在性問題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，若找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；若找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在而對(duì)于探求點(diǎn)的問題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明 如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE平面AB1C1？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由解法一：假設(shè)在棱AB上存在點(diǎn)E，使得DE平面AB1C1，如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，EF，ED，則DFB1C1，又DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，DF平面AB1C1，又DE平面AB1C1，DEDFD，平面DEF平面AB1C1，EF平面DEF，EF平面AB1C1，又EF平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1，EFAB1，點(diǎn)F是BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)即當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，DE平面AB1C1.法二：存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE平面AB1C1.證明如下：如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，則DFB1C1.DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，DF平面AB1C1.AB的中點(diǎn)為E，連接EF，ED，則EFAB1.EF平面AB1C1，AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1.DFEFF，平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，DE平面AB1C1.1(2017全國(guó)卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是() AA項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QDABQD平面MNQQ，QD與平面MNQ相交，直線AB與平面MNQ相交B項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ. C項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故選A2(2017全國(guó)卷)如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)證明：直線BC平面PAD；(2)若PCD的面積為2，求四棱錐PABCD的體積解(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)锽ADABC90，所以BCAD又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD