復雜網(wǎng)絡的同步能力與傳播動力學性態(tài).ppt

復雜網(wǎng)絡的同步能力與傳播動力學性態(tài),傅新楚，朱杰 （上海大學理學院，上海 200444）,2010第六屆全國復雜網(wǎng)絡學術會議 ，蘇州大學，2010年10月15-18日,摘 要,本文首先從無標度網(wǎng)絡構造方式的區(qū)別開始，討論了 網(wǎng)絡在不同結構下的同步性和魯棒性；隨后，討論了 傳染病在無標度網(wǎng)絡上的傳染病閾值，以及在各種不 同免疫的條件下閾值的變化情況，并描述了在網(wǎng)絡同 步的情況下傳染病的傳播動力學性態(tài)。該文還重點解 決了Physical Review E, 77 (2008) 036113一文中的 兩個遺留數(shù)學問題，嚴格證明了不同免疫條件下閾值 比較的兩個不等式。,關鍵詞：無標度網(wǎng)絡，網(wǎng)絡同步，傳染病閾值，免疫控制，同步傳播,Synchronizability and propagation dynamics of complex networks Xinchu Fu, Jie Zhu （College of Sciences, Shanghai University, Shanghai 200444, China） ABSTRACT: This paper discusses the different constructions of scale-free networks, then considers synchronization and robustness for networks with different topology structures. It then estimates epidemic thresholds for disease spreading on scale-free networks, and their variance under different immunization strategies. Finally, the interaction between spreading behavior of diseases and network synchronization is studied. And it also focus on solving two mathematical problems left behind in Physical Review E, 77 (2008) 036113 by proving the related two inequalities for the comparison of epidemic thresholds. Key words: Scale-free networks; network synchronization; epidemic thresholds; immunization; spreading.,網(wǎng)絡分類,規(guī)則網(wǎng)絡: 規(guī)則網(wǎng)絡具有很強規(guī)則性，例如全連接網(wǎng)絡，環(huán)形，鏈形，星形網(wǎng)絡以及格點和分形圖等 隨機網(wǎng)絡:隨機網(wǎng)絡是指按照某種明確的統(tǒng)計規(guī)律生成的網(wǎng)絡，與規(guī)則網(wǎng)絡相對應，主要是經(jīng)典的隨機圖模型及其派生出來的相關模型 小世界網(wǎng)絡: 主要有WS改邊小世界網(wǎng)絡和NW加邊小世界網(wǎng)絡 無標度網(wǎng)絡：BA無標度網(wǎng)絡是第一個無標度網(wǎng)絡。我們將主要討論此類網(wǎng)絡上的同步與傳播問題 可導航網(wǎng)絡,網(wǎng)絡同步與傳播動力學,復雜網(wǎng)絡動力學的特點： 網(wǎng)絡規(guī)模大，結構復雜; 節(jié)點之間的連接方式多樣，如，方向可以不同，權重也可以不同; 網(wǎng)絡具有時空復雜性，節(jié)點之間的復雜相互作用可導致同步、復雜的傳播行為等; 復雜網(wǎng)絡科學有著廣闊的應用前景。,兩種同步網(wǎng)絡的構造,同步最優(yōu)網(wǎng)絡： 新加入節(jié)點的連接方式與網(wǎng)絡中節(jié)點的度有關，需要注意的是，在同步最優(yōu)網(wǎng)絡生成的過程中，只是在每條新邊加入時網(wǎng)絡的同步化性能達到最優(yōu)，并不能保證最終得到的整個網(wǎng)絡的同步特性達到全局最優(yōu)。這種同步最優(yōu)網(wǎng)絡有極少量的節(jié)點與大量節(jié)點相連接，而其余大部分節(jié)點的連接度數(shù)則很低。因此該網(wǎng)絡同步化性能比無標度網(wǎng)絡強，但在惡意攻擊下容易被破壞。 同步優(yōu)先網(wǎng)絡：新節(jié)點連接概率與得到的網(wǎng)絡的同步化性能成正比，它的連接度分布既不服從冪律分布又不服從指數(shù)分布，具有很強的魯棒性。 理論分析,傳播動力學,在SIS傳染病模型中存在一個傳染病閾值 ,當傳染率大于該值時，感染個體能夠?qū)⒉《緜鞑U散并使得整個網(wǎng)絡感染個體總數(shù)最終穩(wěn)定于某一平穩(wěn)狀態(tài)，此時稱網(wǎng)絡處于激活相態(tài) ；如果有效傳播率低于此臨界值，則感染個體數(shù)呈指數(shù)衰減，無法大范圍傳播，網(wǎng)絡此時處于吸收相態(tài)。 傳染病閾值的大小決定了傳染病在網(wǎng)絡中傳播的結果，是傳播動力學中的一個重要的參數(shù)。 不同的網(wǎng)絡特性以及免疫方式對傳染病閾值的影響也不同。,非零閾值的存在性,具有分片線性傳染力的網(wǎng)絡存在正的閾值。 可以假設傳染力函數(shù)為： 免疫前的閾值為：,隨機免疫,若在網(wǎng)絡中對節(jié)點隨機進行概率為 的免疫，則閾值變?yōu)椋?可以看出免疫是有效的，但是，免疫具有隨機性，并沒有考慮到復雜網(wǎng)絡中節(jié)點的度對網(wǎng)絡傳播的影響，而且當傳染病閾值趨于足夠大時，免疫率也要趨近于1，理論上要對所有節(jié)點免疫才能夠消除傳染病，效率偏低。,目標免疫,在目標免疫中，定義一個整數(shù) ，當節(jié)點的度大于它時進行免疫，度小于它時，不進行免疫，等于它時，以一定的概率進行免疫。 在計算過程中， 的正負性用于描述目標免疫相對與隨機免疫的有效性，經(jīng)過分析和數(shù)值模擬，可以得到，它總大于零，那就說明了當免疫率相等時，目標免疫比隨機免疫更有效。 目標免疫的流行病閾值：,熟人免疫,該方法不需要知道整個網(wǎng)絡的度分布，比較實用。 該免疫的傳染病閾值為 為關于 的函數(shù)，經(jīng)過計算，對于較小的 ，熟人免疫的有效性不如目標免疫，但是，當 大于一個常數(shù)時，熟人免疫的有效性超過了目標免疫，并且當 時， 有： 具體的分析過程見下頁。,主動免疫（略）,當 時，目標免疫更有效， 下面討論 與 之間的關系：,從而當,時，,。,當,：,無法直接判斷,的符號。在上式中對,求偏導：,時，,因此，當,時，也有,。,綜上所述：對于任意的,，總有,所以，在平均免疫率相等的情況下，目標免疫比隨機免疫更有效。,當,時：,當 時：,無法直接確定,的范圍，,但是，可以確定,與,成正比，因此令,解得,綜上所述：當,時，,；,時，,當,時，,。,當,；,網(wǎng)絡同步能力對傳播動力學的影響,傳染病在網(wǎng)絡中同步傳播的能力與網(wǎng)絡中個體交流的密切程度有著很大的關系，當交流頻繁時，傳染病就容易在網(wǎng)絡中同步傳播。 網(wǎng)絡上傳染病同步流行的控制變?yōu)閷W(wǎng)絡中耦合強度的控制，當出現(xiàn)傳染病時，若網(wǎng)絡中的耦合強度足夠大，傳染病就容易在網(wǎng)絡中同步傳播；降低網(wǎng)絡耦合強度，就能夠有效地降低網(wǎng)絡同步能力（不管是類型I還是類型II網(wǎng)絡）,從而有效抑制傳染病的傳播。 根據(jù)實際傳播網(wǎng)絡的自適應性建立起不同類型的傳播同步模型，即可研究網(wǎng)絡傳播率與同步穩(wěn)定性之間的關系，數(shù)值分析結果進一步表明，如果傳播網(wǎng)絡越容易爆發(fā)，那么傳播同步就越容易出現(xiàn)。 該項研究將揭示網(wǎng)絡拓撲結構、網(wǎng)絡同步動力學和網(wǎng)絡傳播動力學這三者之間相互依賴關系 (Ongoing research)。,主要結果：,圖 示：,參考文獻,Watts D J. Annual Review of Socialogy,2004 30: 243-270. 方錦清，汪小帆等，一門嶄新的交叉科學-網(wǎng)絡科學上篇，2007，246-247. 陳關榮，復雜網(wǎng)絡及其新近研究進展簡介，力學進展, Vol.38, No.6 2008, 653-662. Bollobsi B. Random Graphs. New York: Academic Press, 2001. Barabasi A L, Ravasz E, Vicsek T. Physica A, 2001, 299: 559-564 .Zhang Z. Z., Comellas F., Fertin G, et al. J. Phys. A: Math. and Gen., 2006, 39 (8): 1811-1818. Boccaletti S, Latora V, Moreno Y, et al. Physics Reports, 2006, 424: 175-308. Gong B, Yang L, Yang K. Phys. Rev. E, 2005, 72: 037101. 陳關榮，汪小帆等，復雜網(wǎng)絡：理論及其應用，清華大學出版社，2006. Li X，Chen G. Physica A，2003，328: 274-286. 方錦清，汪小帆等，一門嶄新的交叉科學-網(wǎng)絡科學上篇,2007, 265-266. 許丹，李翔，汪小帆, 控制與決策, 21, 2006, 817. 周濤，汪秉宏，網(wǎng)絡傳播， 115. Pastor-Satorras R, Vespignani A. Phys. Rev. E, 2001, 63: 066117. Barabasi A L，Albert R and Jeong H. Physica A，272, 1999, 173-187. Pastor-Satorras R, and Vespignani A. Phys. Rev. E 65: 035108, 2002. Fu X C, Small M, Walker D M, Zhang H F. Phys. Rev. E 77: 036113, 2008. Fu X C, Li K Z, et al. Cluster Synchronization and Epidemic Spreading on Complex