高等代數(shù)課件(北大三版)--第九章二次型.ppt

第九章 二次型,9.1 二次型和對稱矩陣 9.2 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主軸問題,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,我思故我在。 -笛卡兒(Rene Descartes， 1596-1650) 如果我能夠看的更遠(yuǎn)，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募缟稀?- 牛頓（Newton,16421727）,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.1 二次型和對稱矩陣,一.內(nèi)容分布 9.1.1 二次型及矩陣 9.1.2 線性變換 9.1.3 矩陣的合同 9.1.4 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 二.教學(xué)目的 1.掌握二次型及其矩陣的定義 以及矩陣的合同 2.理解關(guān)于二次型的線性變換 3.了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 三.重點(diǎn)難點(diǎn): 合同、線性變換、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.1.1 二次型及矩陣,定義1 設(shè)F是一個數(shù)域，F(xiàn)上n元二次齊次多項(xiàng)式,（1）,叫做F上的一個n 元二次型。,F 上n 元多項(xiàng)式總可以看成 F 上的n 個變量的函數(shù)，二次型（1）定義了一個函數(shù) 所以n 元二次型也叫n 個變量的二次型.,在（1）中令 因?yàn)?所以（1）式可以寫成以下形式：,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,（2）,是（2）式右端的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣,稱為二次型 的矩陣。因?yàn)?,所以A是F上的一個n 階對稱矩陣，利用矩陣的乘法，（2）式可以寫成,（3）,二次型（3）的秩指的就是矩陣A的秩。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.1.2 線性變換,如果對二次型（3）的變量施行如下的一個變換：,（4）,那么就得到一個關(guān)于 的二次型,（4）式稱為變量的線性變換，令 是（4）的系數(shù)據(jù)構(gòu)成的矩陣，則（4）可以寫成,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,（5）,將（5）代入（3）就得到,（6）,矩陣P稱為線性變換（4）的矩陣。如果P是非奇異的，就稱（4）是一個非奇異線性變換。因?yàn)锳是對稱矩陣，所以 也是對稱矩陣。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,推論9.1.2 一個二次型的秩在變量的非奇異線性變換之下保持不變。,注意: 如果不取二次型的矩陣是對稱矩陣，則推論9.1.2不成立,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.1.3 矩陣的合同,定義2 設(shè)A，B是數(shù)域F上的兩個n 階矩陣。如果存在F上的一個非異矩陣P，使得 那么稱B與A合同。,矩陣的合同關(guān)系的性質(zhì)：, 傳遞性：如果 B 與 A 合同，C 與 B 合同，那么C 與 A 合同。, 自反性：任意矩陣A都與自身合同，因?yàn)镮AI=A, 對稱性：如果B與A合同，那么A也與B合同，因?yàn)橛?可以得出,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,事實(shí)上，由 可得 合同的矩陣顯然有相同的秩，并且與一個對稱矩陣合同的矩陣仍是對稱的.,是數(shù)域F上兩個n 元二次型，它們的矩陣分別為A 和 B. 如果可以通過變量的非奇異線性變換將 ，則B與A 合同. 反之，設(shè)B與A 合同. 于是存在F上非奇異矩陣P 使得 .通過以P為矩陣的非奇異線性變換就將 .,F上兩個二次型叫等價，如果可以通過變量的非奇異線性變換將其中一個變成另一個.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定理9.1.3 數(shù)域F上兩個二次型等價的必要且充分條件是它們的矩陣合同。 等價的二次型具有相同的秩。,定理9.1.4 是數(shù)域F上的一個n階對稱矩陣?？偞嬖贔上一個n階非奇異矩陣P，使得,即F上的一個n階對稱矩陣都與一個對角形式矩陣合同。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,證 我們將利用矩陣的初等變換來證明這個定理?；貞浺幌?.2里所定義的三種初等矩陣 容易看出，,現(xiàn)在對矩陣A的階n作數(shù)學(xué)歸納法，n = 1時定理顯然成立。設(shè)n 1，并且假設(shè)對于n 1階對稱矩陣來說，定理成立。 是一個n階矩陣.如果A = O，這時A本身就是對角形式。設(shè) ,我們分兩種情形來考慮.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,(a) 設(shè)A的主對角線上元素不全為零，例如， .如果i 1，那么交換A的第1列與第I 列，再交換第1行與第i行，就可以把 換到左上角。這樣就相當(dāng)于初等矩陣 , 再用 . 于是 的左上角的元素,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,這相當(dāng)于用 右乘A，用,左乘A。這樣，總可以選取初等矩陣 ,使得,這里 是一個n 1階的對稱矩陣。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,由歸納法假設(shè)，存在n 1階可逆矩陣 使得,取,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,那么,這里 。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,(b) 如果 . 由于AO，所以一定有某一個元素 . 把A的第 j 列加到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 這相當(dāng)于初等矩陣 右乘A . 再用 左乘A. 而經(jīng)過這樣的變換后所得到的矩陣第 i行第 j 列的元素是 . 于是由情形（b）就歸結(jié)到情形（a）.,注意 在定理 9.1.2的主對角形矩陣 中，主對角線上的元素 的一部分甚至全部可以是零。顯然，不為零的 的個數(shù)等于A的秩，如果秩A等于r 0，那么由定理的證明過程可以知,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,給了數(shù)域 F 上一個n 階對稱矩陣A， 由定理9.1.2的證明過程還可以看出，我們可以具體求出一個可逆矩陣P，使 有對角形式，只要在對A施行一對列初等變換和行初等變換的同時，僅對n階單位矩陣 I 施行同樣的列初等變換，那么當(dāng)A化為對角形式時，I 就化為P。,例1 設(shè),惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,我們按定理9.1.2所給出的方法對A施行行和列初等變換，將A變成 ，使得 是一個對角形矩陣。同時對單位矩陣 ，施行同樣的初等變換而得出P。,交換A第一列和第二列，第一行和第二行，同時交換 的第一列和第二列。這時A和 分別化為：,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,把 的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以2加到第三行，同時把 的第一列乘以2加到第三列。分別得到：,把 的第四列加到第二列，第四行加到第二行，同時把 和第四列加到第二列，得,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,以 2/3 和 1 /2 乘 的第二列依次回到第三列和第四列上, 再以 2/3 和1 /2 乘第二行依次加到第三行和第四行上，同時對 的列施行同樣的初等變換。得,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,最后，以 3/4 乘 的第三列加到第四列上,再以3/4 乘第三行加到第四行上，并且對 的列施行同樣的初等變換，我們得到,取 。于是,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.1.4 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,定理9.1.5 數(shù)域F上每一個n元二次型,可以通過變量的非奇異線性變換化為：,例如，以例 1 中對稱矩陣A為矩陣的二次型是,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,通過變量的非奇異線性變換,化為,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,練習(xí)1 寫出下列二次型的矩陣,練習(xí)2 寫出對應(yīng)下列方陣的二次型,例2 分別用配方法和合同變換法化二次型,成標(biāo)準(zhǔn)形. (讀者答題）,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,練習(xí)3 已知二次型,試對它作如下非奇異線性變換,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.2 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型,一.內(nèi)容分布 9.2.1 復(fù)二次型的典范形 9.2.2 實(shí)二次型的典范形 二.教學(xué)目的 1掌握復(fù)二次型的典范形、實(shí)二次型的典范形、實(shí)二次 型的慣性指標(biāo).、符號差等概念。 2掌握實(shí)二次型的慣性定律. 三.重點(diǎn)、難點(diǎn)： 實(shí)二次型的慣性定律.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型分別叫做復(fù)二次型和實(shí)二次型.,9.2.1 復(fù)二次型的典范形,定理9. 2. 1 復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣合同的充分且必要條件是它們有相同的秩. 兩個復(fù)二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩.,證 顯然只要證明第一個論斷. 條件的必要性是明顯的. 我們只要證條件的充分性. 設(shè)A，B是復(fù)數(shù)域上兩個n階對稱矩陣，且A與B有相同的秩r ，由定理9.1.2，分別存在復(fù)可逆矩陣P和Q，使得,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,取 n 階復(fù)矩陣,的一個平方根.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,那么 ，而,因此，矩陣A，B 都與矩陣,合同，所以A與B合同.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.2.2 實(shí)二次型的典范形,定理9.2.2 實(shí)數(shù)域上每一n 階對稱矩陣A 都合同于如下形式的一個矩陣：,（1）,這里 r 等于A的秩.,證 由定理9.1.2，存在實(shí)可逆矩陣P，使得,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,如果r 0 ，必要時交換兩列和兩行，我們總可以假定,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,取,那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定理9.2.3 實(shí)數(shù)域上每一 n 元二次型都與如下形式的一個二次型等價：,（1）,這里 r 是所給的二次型的秩.,二次型（1）叫做實(shí)二次型的典范形式，定理9.2.3 是說，實(shí)數(shù)域上每一個二次型都與一個典范形式等價. 在典范形式里，平方項(xiàng)的個數(shù) r 等于二次型的秩，因而是唯一確定的.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定理 9.2.4（慣性定律）設(shè)實(shí)數(shù)域R上n元二次型,等價于兩個典范形式,（2）,（3）,那么,證 設(shè)（2）和（3）分別通過變量的非奇異線性變換,（4）,（5）,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,（6）,因?yàn)?所以 因此，方程組（6）在R內(nèi)有非零解. 令 是（6）的一個非零解. 把這一組值代入 的表示式,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,（4）和（5）. 記,我們有,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,然而,所以,因?yàn)?都是非負(fù)數(shù)，所以必須,又 所以 是齊次線性方程組,的一個非零解.這與矩陣 的非奇異性矛盾.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,這就證明了 . 同理可證得 . 所以,由這個定理，實(shí)數(shù)域上每一個二次型都與 唯一的典范形式（1）等價. 在（1）中，正平方項(xiàng)的個數(shù) p 叫做所給二次型的慣性指標(biāo). 正項(xiàng)的個數(shù)p與負(fù)項(xiàng)的個數(shù) r p 的差s = p (r p) = 2p r 叫做所給的二次型的符號差. 一個實(shí)二次型的秩，慣性指標(biāo)和符號都是唯一確定的.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定理9.2.5 實(shí)數(shù)域上兩個 n 元二次型等價的充分且必要條件是它們有相同的秩和符號差.,證 設(shè) 是實(shí)數(shù)域上兩個n元二次型. 令 分別是它們的矩陣. 那么由定理9.2.2，存在實(shí)可逆矩陣P，使得,如果 等價，那么 合同. 于是存在實(shí)可逆矩陣Q 使得 . 取 ，那么,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,因此 都與同一個典范形式等價，所以它們有相同的秩和符號差.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,合同. 由此推出 合同，從而 等價.,證 給定 . 令,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰與一個以 為矩陣的典范形式等價. 當(dāng) r 取定后，p 可以取0，1， ，r ；而 r 又可以取0，1，n 中任何一個數(shù). 因此這樣的 共有,個. 對于每一個 ，就有一個典范形式,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例 1 a 滿足什么條件時，二次型,的慣性指標(biāo)是0，符號差是2 ？寫出其典范形。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,解 實(shí)二次型 的矩陣為,經(jīng)過合同變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形,所以當(dāng) 或 時，二次型的慣性指標(biāo)是0，符號差是2，其典范形為,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,一內(nèi)容分布 9.3.1正定二次型 9.3.2 正定二次型的判別,二、教學(xué)目的 1掌握正定二次型、正定矩陣、順序主子式、負(fù)定二次型、半正定二次型、半負(fù)定二次型、不定二次型的概念。,三、重點(diǎn)、難點(diǎn),9.3 正定二次型,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.3.1 正定二次型與正定矩陣,1基本概念,i）正定二次型,ii）正定矩陣,實(shí)對稱矩陣 稱為正定的，如果二次型,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,iii）負(fù)定、半正定、半負(fù)定、不定的二次型,設(shè) 是一實(shí)二次型，如果對于任意一組不全為零的實(shí)數(shù) ，,都有 , 那么 稱為負(fù)定的；,都有 ，那么 稱為半正定的；,都有 ， 那么 稱為半負(fù)定的；,如果它既不是半正定又不是半負(fù)定，那么 就稱為不定的.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例1 下列實(shí)二次型是否為正定的二次型：,1）,2）,3）,（半正定）,例2 若 ， 都是 階正定矩陣， 證明： 是正定矩陣。,由 ， 都是正定矩陣，知 ， 正定，,從而,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,2兩個結(jié)論,實(shí)二次型 是正定的當(dāng)且僅當(dāng) .,證明：若 正定，則對任意一組不全為零的實(shí)數(shù) ，都有 . 分別選取 為 ，則有 .,若 .則對任意一組不全為零的實(shí)數(shù) ，都有,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,非退化實(shí)線性替換保持實(shí)二次型的正定性不變. 設(shè)實(shí)二次型,(1),經(jīng)過非退化實(shí)線性替換,(2),變成二次型,(3),則 是正定的 是正定的。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,證明： 若 是正定的。對于任意一 組不全為零的實(shí)數(shù) ，令,由于 是可逆實(shí)矩陣，故 也是一組不全為零的實(shí)數(shù)，從而,因?yàn)槎涡停?）也可以經(jīng)非退化實(shí)線性替換,變到二次型（1），所以按同樣理由，當(dāng)（3）正定時，（1）也正定.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.3.2 正定二次型的判別,1判別定理1：,實(shí)二次型 是正定的 它的正慣性指數(shù)等于 .,實(shí)二次型 是正定的 它的規(guī)范形為 。,一個實(shí)對稱矩陣是正定的 它與單位矩陣合同.,例3 正定矩陣的行列式大于零. 逆命題不成立。,反例：,的行列式大于零，但它對應(yīng)的二次型 不是正定的。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,提示：,2矩陣的順序主子式,稱為矩陣 的順序主子式.,矩陣 的第 個順序主子式為,練習(xí)1：若 是 階實(shí)矩陣，則滿足（ ）時， 是正定矩陣。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,稱為矩陣 的順序主子式.,3判別定理2：實(shí)二次型,是正定的 矩陣 的順序主子式全大于零.,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,例4 判定二次型,是否正定.,所以， 正定。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,A ， B. 非退化， C. 的元素全是正實(shí)數(shù)， D. 的主對角上元素全為正。,練習(xí)2：若 是正定矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）。,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.4 主軸問題,一.內(nèi)容分布 9.4.1 變量的正交變換 9.4.2 實(shí)對稱矩陣的相似對角形 二.教學(xué)目的: 1掌握變量的正交變換 2掌握將實(shí)二次型通過變量的正交變換化為一 個只含變量平方項(xiàng)的二次型 三.重點(diǎn)、難點(diǎn): 實(shí)二次型通過變量的正交變換化為一個只含變量平方項(xiàng)的二次型,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,9.4.1 變量的正交變換,我們已經(jīng)看到, 實(shí)數(shù)域上一個二次型 可以經(jīng)過變量的非奇異變換,化為二次型,惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系,定義: 我們一般地討論將一個n元實(shí)二次型通過變量的正交變換化為一個只含變量平方項(xiàng)的二次型問題, 這個問題稱為二次型的主軸問題. 這里所說的變量的正交變換指的是這個變換的矩陣是正交矩陣.,由于正交矩陣是非奇異的, 所以變量的正交變換是非奇異的. 用矩陣的語言來