(好資料)2009-2012年高考數(shù)學ι輪精品教案及其練習精析_《等差數(shù)列》[1].

第2講 等差數(shù)列 知 識 梳理 1.等差數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差. 2.通項公式與前項和公式通項公式，為首項，為公差.前項和公式或.3.等差中項如果成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項.即：是與的等差中項，成等差數(shù)列.4.等差數(shù)列的判定方法定義法：（，是常數(shù)）是等差數(shù)列；中項法：()是等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的常用性質數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列、（是常數(shù)）都是等差數(shù)列；在等差數(shù)列中，等距離取出若干項也構成一個等差數(shù)列，即為等差數(shù)列，公差為.；(,是常數(shù))；(,是常數(shù)，)若，則；若等差數(shù)列的前項和，則是等差數(shù)列；當項數(shù)為，則； 當項數(shù)為，則. 重 難 點 突 破 1.重點：理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項公式、前項和公式并能解決實際問題；理解等差中項的概念,掌握等差數(shù)列的性質.2.難點：利用等差數(shù)列的性質解決實際問題.3.重難點：正確理解等差數(shù)列的概念，靈活運用等差數(shù)列的性質解題.求等差數(shù)列的公差、求項、求值、求和、求最值等通常運用等差數(shù)列的有關公式及其性質.問題1：已知,且和都是等差數(shù)列，則 分析：問題轉化為：在插入若干個數(shù)，使其成等差，利用等差數(shù)列公差的求法公式解答.解析：設等差數(shù)列和的公差分別是 則，同理，得，.求“首末項和為常數(shù)”的數(shù)列的和，一般用倒序相加法.問題2：已知函數(shù)則 ； .分析：可以直接代入計算，也可以整體處理；尋找規(guī)律，整體處理.解析：，經(jīng)計算，得，. 熱 點 考 點 題 型 探 析考點1等差數(shù)列的通項與前n項和題型1已知等差數(shù)列的某些項，求某項【例1】已知為等差數(shù)列，則 【解題思路】可以考慮基本量法，或利用等差數(shù)列的性質【解析】方法1：方法2：，方法3：令，則方法4：為等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，設其公差為，則為首項，為第4項.方法5：為等差數(shù)列，三點共線【名師指引】給項求項問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質，再考慮基本量法.題型2已知前項和及其某項，求項數(shù).【例2】已知為等差數(shù)列的前項和，求；若一個等差數(shù)列的前4項和為36，后4項和為124，且所有項的和為780，求這個數(shù)列的項數(shù).【解題思路】利用等差數(shù)列的通項公式求出及，代入可求項數(shù)； 利用等差數(shù)列的前4項和及后4項和求出，代入可求項數(shù).【解析】設等差數(shù)列的首項為，公差為，則【名師指引】解決等差數(shù)列的問題時，通常考慮兩種方法：基本量法；利用等差數(shù)列的性質.題型3求等差數(shù)列的前n項和【例3】已知為等差數(shù)列的前項和，.求； 求；求.【解題思路】利用求出，把絕對值符號去掉轉化為等差數(shù)列的求和問題.【解析】4.，當時，當時，當時， .由，得，當時，；當時，.； ；當時， 當時， 【名師指引】含絕對值符號的數(shù)列求和問題，要注意分類討論.【新題導練】1.已知為等差數(shù)列，（互不相等），求.【解析】2.已知為等差數(shù)列的前項和，則 .【解析】設等差數(shù)列的公差為，則.3.已知個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為，平方和為，求這個數(shù).【解析】設這個數(shù)分別為則解得當時，這個數(shù)分別為：；當時，這個數(shù)分別為：4.已知為等差數(shù)列的前項和，求.【解析】方法1：設等差數(shù)列的公差為，則；方法2：.考點2 證明數(shù)列是等差數(shù)列【例4】已知為等差數(shù)列的前項和，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【解題思路】利用等差數(shù)列的判定方法定義法；中項法. 【解析】方法1：設等差數(shù)列的公差為，（常數(shù)）數(shù)列是等差數(shù)列.方法2：，數(shù)列是等差數(shù)列.【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：定義法：（，是常數(shù)）是等差數(shù)列；中項法：()是等差數(shù)列；通項公式法：（是常數(shù)）是等差數(shù)列；前項和公式法：（是常數(shù)，）是等差數(shù)列.【新題導練】5.設為數(shù)列的前項和，求常數(shù)的值；求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【解析】，由知：，當時，數(shù)列是等差數(shù)列.考點3 等差數(shù)列的性質【例5】已知為等差數(shù)列的前項和，則 ； 已知為等差數(shù)列的前項和，則 .【解題思路】利用等差數(shù)列的有關性質求解.【解析】；方法1：令，則.，；方法2：不妨設 .，；方法3：是等差數(shù)列，為等差數(shù)列三點共線.【名師指引】利用等差數(shù)列的有關性質解題，可以簡化運算.【新題導練】6.含個項的等差數(shù)列其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為（ ） 【解析】（本兩小題有多種解法），.選B.7.設、分別是等差數(shù)列、的前項和，則 . 【解析】 填. 考點4 等差數(shù)列與其它知識的綜合【例6】已知為數(shù)列的前項和，；數(shù)列滿足：，其前項和為 求數(shù)列、的通項公式； 設為數(shù)列的前項和，求使不等式對都成立的最大正整數(shù)的值.【解題思路】利用與的關系式及等差數(shù)列的通項公式可求；求出后，判斷的單調性.【解析】，當時，； 當時， 當時，；，是等差數(shù)列，設其公差為.則，. ，是單調遞增數(shù)列.當時，對都成立所求最大正整數(shù)的值為.【名師指引】本題綜合考察等差數(shù)列、通項求法、數(shù)列求和、不等式等知識，利用了函數(shù)、方程思想，這是歷年高考的重點內容.【新題導練】8.已知為數(shù)列的前項和，.求數(shù)列的通項公式；數(shù)列中是否存在正整數(shù)，使得不等式對任意不小于的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)，若不存在，說明理由.【解析】當時，且，是以為公差的等差數(shù)列，其首項為.當時，當時，；，得或，當時，恒成立，所求最小的正整數(shù) 搶 分 頻 道 基礎鞏固訓練1.(2010廣雅中學)設數(shù)列是等差數(shù)列，且，是數(shù)列的前項和，則A B C D【解析】C另法：由，得，計算知2.在等差數(shù)列中，則 .【解析】 3.數(shù)列中，當數(shù)列的前項和取得最小值時， . 【解析】 由知是等差數(shù)列， 4.已知等差數(shù)列共有項，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則其公差是 . 【解析】 已知兩式相減，得 5.設數(shù)列中，則通項 . 【解析】 利用迭加法（或迭代法），也可以用歸納猜想證明的方法.6.從正整數(shù)數(shù)列中刪去所有的平方數(shù)，得到一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的第項是 .【解析】 綜合拔高訓練7.( 2010廣雅中學)廣雅中學)已知等差數(shù)列中，.求數(shù)列的通項公式；若數(shù)列滿足，設，且，求的值.【解析】設數(shù)列的公差為，則，令，得當時，8.已知為等差數(shù)列的前項和，當為何值時，取得最大值；求的值；求數(shù)列的前項和【解析】等差數(shù)列中，公差，令當時，；當時，.當時，取得最大值；數(shù)列是等差數(shù)列；由得，當時，；當時，. 9.( 2010廣雅中學)執(zhí)信中學)已知數(shù)列滿足證明：數(shù)列是等比數(shù)列；求數(shù)列的通項公式；若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列.【解析】證明：,是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。解：由（I）得證明：，得 即，得 即， 是等差數(shù)列.10.( 2010廣雅中學)北京）數(shù)列滿足，是常數(shù).當時，求及的值；數(shù)列是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；求的取值范圍，使得存在正整數(shù)，當時總有.【解析】由于，且，所以當時，得， 故.從而.數(shù)列不可能為等差數(shù)列.證明如下：由，得若存在，