(好資料)2012海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺題

海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺題2010年5月一、函數(shù)部分：1已知函數(shù) （）求的極值； （）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2設(shè).（I）求的單調(diào)區(qū)間與極值；（II）求方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).3如圖，矩形ABCD內(nèi)接于由函數(shù)圖象圍成的封閉圖形，其中頂點(diǎn)C，D在上，求矩形ABCD面積的最大值.xO1CDBA二、數(shù)列部分：1設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）若，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和2數(shù)列滿足，（）（） 當(dāng)時(shí)，求及；（）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在，求出其通項(xiàng)公式，若不存在，說明理由；三、統(tǒng)計(jì)與概率部分：1（理科學(xué)生做）某班級(jí)舉行一次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，活動(dòng)分為初賽和決賽兩個(gè)階段、現(xiàn)將初賽答卷成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成如下頻率分布表（）填充頻率分布表中的空格（在解答中直接寫出對(duì)應(yīng)空格序號(hào)的答案）；（）決賽規(guī)則如下：參加決賽的每位同學(xué)依次口答4道小題，答對(duì)2道題就終止答題，并獲得一等獎(jiǎng).如果前三道題都答錯(cuò)，就不再答第四題.某同學(xué)進(jìn)入決賽，每道題答對(duì)的概率的值恰好與頻率分布表中不少于80分的頻率的值相同求該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎(jiǎng)的概率；記該同學(xué)決賽中答題個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望2（理科學(xué)生做）袋子里有大小相同的3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，今從袋子里隨機(jī)取球. （）若有放回地取3次，每次取1個(gè)球，求取出1個(gè)紅球2個(gè)黑球的概率； （）若無放回地取3次，每次取1個(gè)球，求在前2次都取出紅球的條件下，第3次取出黑球的概率；求取出的紅球數(shù)X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.3（文科、理科學(xué)生做）已知，（）若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求的概率（）若是從區(qū)間中任取的一個(gè)數(shù)， 是從區(qū)間中任取的一個(gè)數(shù)，求 的夾角是銳角的概率4（文科學(xué)生做）一個(gè)袋中裝有大小相同的黑球和紅球，已知袋中共有5個(gè)球，從中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是.現(xiàn)將黑球和紅球分別從數(shù)字1開始順次編號(hào).（）若從袋中有放回地取出兩個(gè)球，每次只取出一個(gè)球，求取出的兩個(gè)球上編號(hào)為相同數(shù)字的概率.（）若從袋中取出兩個(gè)球，每次只取出一個(gè)球，并且取出的球不放回.求取出的兩個(gè)球上編號(hào)之積為奇數(shù)的概率 5（文科學(xué)生做）據(jù)統(tǒng)計(jì)，從5月1日到5月7號(hào)參觀上海世博會(huì)的人數(shù)如下表所示：日期1日2日3日4日5日6日7日人數(shù)（萬）2123131591214其中，5月1日到5月3日為指定參觀日，5月4日到5月7日為非指定參觀日.（）把這7天的參觀人數(shù)看成一個(gè)總體，求該總體的平均數(shù)（精確到0.1）； （）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從非指定參觀日中抽取2天，它們的參觀人數(shù)組成一個(gè)樣本.求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過2萬的概率.四、解析幾何部分1如圖，橢圓的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為，直線的方程為，為上一點(diǎn)，且在軸的上方，與橢圓交于點(diǎn)（1）若是的中點(diǎn)，求證：.（2）過三點(diǎn)的圓與軸交于兩點(diǎn)，求的范圍.2（理科學(xué)生做）已知圓，動(dòng)圓與定圓在軸的同側(cè)且與軸相切,與定圓相外切.（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（）已知，是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由3（理科學(xué)生做）已知是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的傾斜角之和為，試證明直線過定點(diǎn).4已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形.（）求橢圓C的方程;（）設(shè)，過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍.參考答案1解：（）令當(dāng)是增函數(shù)當(dāng)是減函數(shù)（）（i）當(dāng)時(shí)，由（）知上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).又當(dāng)時(shí)，所以，的圖象在上有公共點(diǎn)，等價(jià)于解得.（ii）當(dāng)時(shí)，上是增函數(shù)，,所以原問題等價(jià)于又無解說明：此題主要考查學(xué)生研究函數(shù)方法的運(yùn)用：給函數(shù)解析式之后，能否通過研究函數(shù)的工具導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的變化趨勢(shì)，通過研究函數(shù)在區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值或符號(hào)進(jìn)一步了解函數(shù)的準(zhǔn)確的變化狀態(tài).此題也可以做如下引申：“若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.”2解：（I），由 得 或.-單增極大值單減極小值單增所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值為，極小值為（II）由于，所以， 當(dāng)時(shí)，即是方程的一個(gè)解.又因?yàn)?，所?方程在內(nèi)至少有一個(gè)解.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，方程有兩個(gè)不同的解.當(dāng)時(shí)，即是方程的一個(gè)解.又因?yàn)?，所以方程在?nèi)至少有一個(gè)解.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，方程有兩個(gè)不同的解.當(dāng)時(shí)，所以方程在內(nèi)至少有一個(gè)解又由，知方程在內(nèi)至少有一個(gè)解；由，知方程在內(nèi)至少有一個(gè)解.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，方程有三個(gè)不同的解. 說明：通過本題考查學(xué)生幾個(gè)方面的能力：（1）能否將“求方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)”問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）對(duì)于函數(shù)問題，是否能夠主動(dòng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)整體的狀態(tài)、性質(zhì).3解：由圖，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為,則，由圖可得，記矩形ABCD的面積為S，易得令，得所以，令，得，因?yàn)椋?隨t的變化情況如下表：t+0-極大值 由上表可知，當(dāng)，即時(shí)， S取得最大值為，所以矩形ABCD面積的最大值為.說明：本題主要是幫助學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)問題的條件和要求建立函數(shù)的解析式及確定定義域再研究函數(shù)的變化狀態(tài)的思維過程.二、數(shù)列部分：1（）證：因?yàn)?， ，所以當(dāng)時(shí)，整理得.由，令，得，解得.所以是首項(xiàng)為，公比是的等比數(shù)列.（）解：由，得.所以 從而 . . 說明：數(shù)列的與問題是數(shù)列的基本問題，通過兩者之間的轉(zhuǎn)化達(dá)到解決問題的目的是學(xué)生應(yīng)該落實(shí)的.本題的第一問也可以改為“求數(shù)列的通項(xiàng)”或“求數(shù)列的前n項(xiàng)和”，提高思維的強(qiáng)度.2解：() ，故，所以.（） ， ， ，若數(shù)列為等差數(shù)列，則方程沒有實(shí)根，故不存在，使得數(shù)列為等差數(shù)列.若數(shù)列為等比數(shù)列，則，即解得：. 將個(gè)式子相加， 又符合條件， ，故數(shù)列為等比數(shù)列通項(xiàng)公式為說明： 本題給出的是數(shù)列與兩項(xiàng)之間的遞推形式.在第二問中，通過特殊方法，得到的值，要注意引導(dǎo)學(xué)生理解結(jié)果并非充要條件，而是必要不充分條件，所以需要進(jìn)一步的驗(yàn)證，而且在驗(yàn)證過程中，使用了疊加法，可以為學(xué)生說明其結(jié)構(gòu)形式和解題策略要讓學(xué)生掌握歸納的思想，學(xué)會(huì)從特殊到一般的思考數(shù)學(xué)問題的思維過程.三、統(tǒng)計(jì)與概率部分：1（理科學(xué)生做）解：（） 8 0.44 6 0.12（）由（）得，P = 0.4該同學(xué)恰好答對(duì)4道題而獲得一等獎(jiǎng)，即前3道題中剛好答對(duì)1道題.第4道也能夠答對(duì)才獲得一等獎(jiǎng)，則有答對(duì)2道題就終止答題，并獲得一等獎(jiǎng)，所以該同學(xué)答題個(gè)數(shù)為2、3、4.即X= 2、3、4分布列為：說明：本題考查統(tǒng)計(jì)問題：用樣本估計(jì)總體，考查概率問題：滿足特殊條件的概率的事件如何求其概率，要求同學(xué) 把條件真正弄清楚之后，再動(dòng)手進(jìn)行計(jì)算.同時(shí)還要求同學(xué)們分清一些典型的分布問題.2（理科學(xué)生做）解：（）記“取出1個(gè)紅球2個(gè)黑球”為事件A，根據(jù)題意有；答：取出1個(gè)紅球2個(gè)黑球的概率是.（）方法一：記“在前2次都取出紅球”為事件B，“第3次取出黑球”為事件C，則，所以方法二：答：在前2次都取出紅球的條件下，第3次取出黑球的概率是 隨機(jī)變量X 的所有取值為0，1，2，3 .，.所以 說明：首先讓學(xué)生清楚有放回與無放回這兩種模型的區(qū)別，應(yīng)該清楚每種情況對(duì)應(yīng)的基本事件空間是誰(shuí)，同時(shí)要弄清楚序的問題，一個(gè)總的問題：分子和分母同時(shí)有序或無序.還要注意條件概率問題中的相關(guān)定義，誰(shuí)是條件.3（文科、理科學(xué)生做）解：（）設(shè)“”為事件，由，得共包含12個(gè)基本事件；其中，包含2個(gè)基本事件.則（）設(shè)“的夾角是銳角”為事件，由的夾角是銳角，可得，即,且 則答：（） 的概率是；（）的夾角是銳角的概率是說明：對(duì)于文科學(xué)生來講，古典概型和幾何概型是兩種重要的概率模型.要注意分清兩種概率模型的基本特征，并注意解題的規(guī)范性.4（文科學(xué)生做）解：設(shè)袋中有個(gè)黑球，則由已知可得，即所以，袋中有兩個(gè)黑球，編號(hào)分別為1，2；袋中有3個(gè)紅球，編號(hào)分別為1，2，3. （）設(shè)“取出的兩個(gè)球上編號(hào)為相同數(shù)字”為事件共包含25個(gè)基本事件； 其中（黑，黑），（黑，黑），（紅，紅），（紅，紅），（紅，紅），（黑，紅），（黑，紅），（紅，黑），（紅，黑），包含個(gè)基本事件.則（）設(shè)“取出的兩個(gè)球上編號(hào)之積為奇數(shù)”為事件共包含20個(gè)基本事件；其中，包含6個(gè)基本事件.則答：（）取出的兩個(gè)球上編號(hào)為相同數(shù)字的概率是.（）取出的兩個(gè)球上編號(hào)之積為奇數(shù)的概率是.命題意圖：兩個(gè)問題分別為有放回的事件和無放回的事件，在這兩種不同的情況下，基本事件空間是不同的.建議對(duì)于兩次取球或兩次擲骰子等問題，在列舉基本事件的時(shí)候，最好考慮有順序的列舉，不容易出錯(cuò).5（文科學(xué)生做）解：（） 總體平均數(shù)為（）設(shè)表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過2萬”從非指定參觀日中抽取天全部可能的基本結(jié)果有：(15,9), (15,12), (15,14), (9,12), (9,14), (12,14),共有6個(gè)基本結(jié)果； 事件包含的基本結(jié)果有：(15,12), (15,14),共有2個(gè)基本結(jié)果 所以， 所求的概率為說明：此題將概率問題與統(tǒng)計(jì)問題簡(jiǎn)單綜合，既考查了概率的計(jì)算，又體現(xiàn)了用樣本估計(jì)總體的重要的統(tǒng)計(jì)思想.四、解析幾何部分1（1）解:由題意得， 又點(diǎn)在橢圓上，且在軸上方，得（2）（方法一）設(shè)，其中圓過三點(diǎn)，圓心在線段的中垂線上設(shè)圓心為，半徑為，有，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”.的取值范圍是（方法二）解：設(shè)，其中，圓過三點(diǎn)，設(shè)該圓的方程為，有 解得 圓心為半徑，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”，的取值范圍是說明：此題的第1問用向量方法去證明垂直問題，既體現(xiàn)了向量與解析幾何的綜合，又體現(xiàn)了解析幾何中重要的基本思想：用代數(shù)方法解決幾何問題.第2問考查了與圓有關(guān)的基本問題及典型方法如何求圓的方程及如何計(jì)算圓的弦長(zhǎng).2（理科學(xué)生做）解：（）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則.設(shè)，根據(jù)圓與軸相切，以及動(dòng)圓與定圓在軸的同側(cè)，可得，所以，.化簡(jiǎn)得：.所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（）設(shè)，則以為直徑的圓的圓心為，半徑，若存在滿足題意的直線，設(shè)方程為，則圓心到該直線的距離為.根據(jù)勾股定理，可得：該直線被圓所截得的弦長(zhǎng)滿足：，即 要使為定值，需且只需.所以，存在垂直于軸的直線：，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒 為定值，定值為2. 說明：本題通過直接法得到拋物線的軌跡方程，有助于學(xué)生進(jìn)一步梳理拋物線的概念，要注意的發(fā)現(xiàn).第二問實(shí)際考查的是直線與圓的位置關(guān)系問題，要求學(xué)生盡量利用幾何條件解題：弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形，知二求一.3（理科學(xué)生做）解： 顯然，直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程為，代入，得：.設(shè)，則：設(shè)直線與直線的傾斜角分別為，則，又，所以，.即，直線的方程為，即，所以，直線恒過定點(diǎn).說明：本題要求學(xué)生能夠掌握用代數(shù)方法解決幾何問題的一般方法：研究直線過定點(diǎn)的問題就要通過直線AB的方程討論問題，也就是要找到與的關(guān)系.為此，直線AB與拋物線交于不同的兩個(gè)點(diǎn)及對(duì)于條件“直線與直線的傾斜角之和為”進(jìn)行必要的有效的代數(shù)化就成為解決本題的主要任務(wù).4解: （）依題意，設(shè)橢圓C的方程為 焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓C的方程為 . （）顯然直線的斜率存在，所以可設(shè)直線的方程為.如圖，設(shè)點(diǎn)M，