(好資料)2009-2012年高考數學ι輪精品教案及其練習精析_《簡單的邏輯聯結詞,全稱量詞與存在量詞》

第2講 簡單的邏輯聯結詞,全稱量詞與存在量詞 知 識 梳理 1.“或”,“且”, “非”稱為邏輯聯結詞_ , 不含邏輯聯結詞的命題稱為簡單命題_；含有邏輯聯結詞的命題稱為_復合命題_ ,復合命題有三種形式且、或、非2用邏輯聯結詞“且”把命題和命題聯結起來.就得到一個新命題,記作，讀作_且_ 3用邏輯聯結詞“或”把命題和命題聯結起來.就得到一個新命題,記作_，讀作_ 或_ 4 對一個命題的全盤否定, 就得到一個新的命題, 記作_p _，讀作_非_5三種復合命題的真值表：（1）“p且q”： 一假即假（2）“p或q”： 一真即真（3）“非p”： 真假相反 特別提醒： 命題的“否定”與“否命題”是不同的概念，對命題p的否定（即非p）是否定命題p所作的判斷，而“否命題”是 “若p則 q ”6短語“_對所有的”、“對任意一個” 邏輯中稱為全稱量詞，并用符號“_” 表示。 7短語“存在一個”、“_至少有一個” 邏輯中稱為存在量詞，并用符號“” 表示。 8含有全稱量詞的命題稱為全稱命題_；含有存在量詞的命題稱為_特稱命題_.9全稱命題形式：；特稱命題形式：。 其中M為給定的集合， 特別提醒：全稱命題p：的否定p：；全稱命題的否定為特稱命題特稱命題p：的否定p：；特稱命題的否定為全稱命題其中p(x)是一個關于的命題。 重 難 點 突 破 1.重點：判斷復合命題“p且q”、“p或q”、“非p”的真假；判斷全稱命題與特稱命題真假2.難點：對邏輯聯結詞“或”、“且”和“非”的含義的理解；寫出全稱命題與特稱命題否定3.重難點：.(1) 理解邏輯聯結詞 “非”的含義問題1：你能寫出下列命題p的非(否定)嗎?（1）p：100既能被4整除又能被5整除（2）p：三條直線兩兩相交（3）p：一元二次方程至多有兩個解（4）p：解: （1）p：100不能被4整除，或不能被5整除（2）p：三條直線不都兩兩相交（3）p：一元二次方程至少有三個解（4）p：或點撥: “且”的否定形式是“或”，而“或”的否定形式是“且”. 寫出命題的非（否定），需要對其正面敘述的詞語進行否定，常用正面敘述詞語及它的否定列舉如下：正面詞語且小于（）都是都不是至少n個至多n個否定詞語或不小于（）不都是至少有一個是至多n1個至少n+1個正面詞語任意的所有的有無窮多個存在唯一的對任意p，使恒成立否定詞語某個某些只有有限多個不存在或至少存在兩個至少有一個p，使不成立（2）命題的否定與命題的否命題的區(qū)別問題2: 寫出命題：“若，則”的否定與否命題，并加以區(qū)別。解析:命題的否定：若，則命題的否命題：若，則點撥: 命題的否定，是對整個命題進行否定，側重于對命題結論的否定.如具體到“若則”而言，命題的否定是只否定結論不否定條件.而命題的否命題則是既否定條件又否定結論.（3）全稱量詞與存在量詞問題3：寫出命題“若，則”的否定解析：“若，則”顯然兩個命題都是假命題，這就與復合命題中的真值表相矛盾.那么問題出在哪呢？實際上命題是省略了全稱量詞，命題里的“”是指“對于任意的”.所以原命題的否定形式就是：“存在，使得”.這時原命題是假命題，而否定形式就是真命題.所以在判斷復合命題的形式時，要準確理解命題的本質含義，尤其注意在一些表述中命題所隱含的全稱量詞.點撥：全稱量詞有時會被省略。如：不少學生認為命題：“不等式的解為或”是“或”形式的復合命題：不等式的解為：不等式的解為顯然假假，但“或”確為真，這與真值表相矛盾.實際上問題還是與上面的一樣，命題里的“解”是指“所有的解”，這樣“或”就是一個整體，所以上面的命題不是“或”形式的復合命題，應該是個簡單命題. 熱 點 考 點 題 型 探 析考點一： 復合命題及其真假判斷題型1. 指出復合命題的形式及構成它的簡單命題，反之能寫出“p或q”“p且q”“非p”形式的復合命題例1 分別指出下列復合命題的形式及構成它的簡單命題: （1）3是質數或合數. （2）他是運動員兼教練員. （3）相似三角形不一定是全等三角形.解題思路：根據組成上述各復合命題的語句中所出現的邏輯聯結詞，“且”“或”“非”進行命題結構的判斷.解析： (1) 這個命題是“p或q”形式，其中p：3是質數，q：3是合數. (2) 這個命題是“p且q”形式，其中p：他是運動員，q：他是教練員.(3) 這個命題是“非p”形式，其中p：相似三角形一定是全等三角形.例2 分別寫出下列各組命題構成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復合命題： （1）p：連續(xù)的三個整數的乘積能被2整除， q：連續(xù)的三個整數的乘積能被3整除.（2）p：對角線互相垂直的四邊形是菱形， q：對角線互相平分的四邊形是菱形. 解題思路：在由簡單命題寫出復合命題時，本例的（1）、（2）可直接使用邏輯聯結記詞，而（3）中的“p或q”“p且q”“非p”，寫復合命題時，關鍵要搞清“且”“或”“非”的意義.解析： （1）根據真值表，復合命題可以寫成簡單形式： p或q：連續(xù)的三個整數的乘積能被2或能被3整除. p且q：連續(xù)的三個整數的乘積能被2且能被3整除. 非p：連續(xù)的三個整數的乘積不能被2整除. 連續(xù)的三整數中有一個（或兩個）是偶數，而有一個是3的倍數， （2）根據真值表，只能用邏輯聯結詞聯結兩個命題，不能寫成簡單形式： p或q：對角線互相垂直的四邊形是菱形或對角線互相平分的四邊形是菱形.p且q：對角線互相垂直的四邊形是菱形且對角線互相平分的四邊形是菱形.非p：對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形. 【名師指引】要理解邏輯聯結詞“且”、“或”和 “非”的含義， “且”是指必須兩個都選，“或”是指兩個中至少選一個，“非”是指否定的意思，尤其要注意理解和掌握常見正面詞語的否定詞語. 【新題導練】1分別指出下列復合命題的形式及構成它的簡單命題: （1）3是質數或合數. （2）他是運動員兼教練員. （3）相似三角形不一定是全等三角形.解: (1) 這個命題是“p或q”形式，其中p：3是質數，q：3是合數. (2) 這個命題是“p且q”形式，其中p：他是運動員，q：他是教練員.(3) 這個命題是“非p”形式，其中p：相似三角形一定是全等三角形.2分別寫出下列各組命題構成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復合命題： （1）p：是無理數，q： 大于是2 （2）p：，q： （3）p： ， q： 解： （1）p或q：是無理數或大于2 p且q： 是無理數且大于2非p： 不是無理數（2）p或q：或 p且q： 且非p： （3）p或q：或 p且q： 且 非p： 題型2。判斷復合命題的真假例3 寫出由下述各命題構成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題，并指出所構成的這些復合命題的真假。（1）p：5是17的約數，q：5是15的約數.（2）p：方程x21=0的解是x=1, q：方程x21=0的解是x=1,（3）p：不等式的解集為R，q：不等式的解集為解題思路：寫三種形式的復合命題時，在命題p或命題q的語句中，由于中文表達的習慣常常會有些省略，這種情況下應作詞語上的調整。判斷復合命題真假時，關鍵是判斷簡單命題的真假，再按真值表來判斷即可.解析：（1）p或q：5是17或15的約數； p且q：5是17與15的公約數，（或寫成：9是17的約數，且9是15的約數）； 非p：5不是17的約數. p假，q真，“p或q”為真，“p且q” 為假，而“非p”為真.（2）p或q：方程x21=0的解是x=1,或方程x21=0的解是x=1（注意，不能寫成“方程x21=0的解是x=1”，這與真值表不符）；p且q：方程x21=0的解是x=1,且方程x21=0的解是x=1；非p：方程x21=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應理解為“都是”的意思）；p假，q假，“p或q”與“p且q” 均為假，而“非p”為真.（3）p或q：不等式的解集為R或不等式的解集為. p且q：不等式的解集為R或不等式的解集為 非p：不等式的解集為. p真，q假，“p或q”為真，“p且q” 為假，而“非p”為假.例4 已知 設P：函數在R上單調遞減； Q：不等式的解集為R，若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，求的取值范圍. 解題思路：“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，根據真假表知，P，Q之中一真一假，因此有兩種情況，要分類討論.解析:函數在R上單調遞減不等式【名師指引】先判斷命題和的真假，再根據真值表判斷復合命題的真假.【新題導練】3. 分別指出由下列各組命題構成的邏輯關聯詞“或”、“且”、“非”的真假。（1）p: 梯形有一組對邊平行；q：梯形有一組對邊相等。（2）p: 1是方程的解；q：3是方程的解。（3）p: 不等式解集為R；q: 不等式解集為。（4）p: 解： p真，q假， “pq”為真，“pq”為假，“p”為假。 p真，q真， “pq”為真，“pq”為真，“p”為假。 p假，q假， “pq”為假，“pq”為假，“p”為真。 p真，q假， “pq”為真，“pq”為假，“p”為假。4（廣東省四會中學2010屆高三質量檢測（數學理）已知命題所有有理數都是實數，命題正數的對數都是負數，則下列命題中為真命題的是（ ）A BCD答案：D考點二: 全稱命題與特稱命題及其真假判斷題型1: 判斷命題是全稱命題還是特稱命題。 例7 判斷下列語句是不是命題，如果k，是，說明是全稱命題還是特稱命題. (1) 任何一個實數除以1，仍等于這個數； (2) 三角函數都是周期函數嗎？(3) 有一個實數，不能取倒數；(4) 有的三角形內角和不等于解題思路：含有全稱量詞的命題稱為全稱命題；含有存在量詞的命題稱為特稱命題.但要注意有些命題可能省略了量詞.解析： （1）全稱命題；（2）不是命題；（3）特稱命題；（4）特稱命題；【名師指引】含有全稱量詞的命題稱為全稱命題；含有存在量詞的命題稱為特稱命題.但要注意有些命題可能省略了量詞.【新題導練】5判斷下列語句是不是命題，如果k，是，說明是全稱命題還是特稱命題.(1) 中國的所有江河都流入太平洋； (2) 不能作除數；(3) 有一個實數，不能取對數；(4) 每一個向量都有方向嗎？解析：（1）（2）（3）是命題，（4）不是命題，其中（1）全稱命題；（2）既不是全稱命題也不是特稱命題；（3）特稱命題；題型2: 判斷全稱命題或特稱命題的真假例8 設A、B為兩個集合.下列四個命題： AB對任意xA，有xB； ABAB=； ABAB； AB存在xA，使得xB.其中真命題的序號是_.（把符合要求的命題序號都填上）解題思路：要判定一個特稱性命題為真，只要在給定的集合中，找到一個元素x，使命題p(x)為真；否則命題為假。要判定一個全稱命題為真，必須對給定的集合的每一個元素x，p(x)都為真；但要判斷一個全稱命題為假，只要在給定的集合內找出一個x0，p(x0)為假。解析：AB存在xA，有xB，故錯誤；錯誤；正確. 亦或如下圖所示.ABAB不成立的反例如下圖所示. 反之，同理. 真命題的序號是【名師指引】判斷全稱命題與特稱命題真假時，若判定一個特稱性命題為真，只需找出一個例子即可否則命題為假；若判定一個全稱命題為真，必須對每一個元素都為真；但判斷其為假，只需要舉出一個反例即可?！拘骂}導練】6設函數f（x）的定義域為R，有下列三個命題：若存在常數M，使得對任意xR，有f（x）M，則M是函數f（x）的最大值； 若存在x0R，使得對任意xR，且xx0，有f（x）f（x0），則f（x0）是函數f（x）的最大值；若存在x0R，使得對任意xR，有f（x）f（x0），則f（x0）是函數f（x）的最大值.這些命題中，真命題的個數是A.0 B.1 C.2 D.3解：錯, 原因：可能“=”不能取到. 都正確，選C.7下列全稱命題中真命題為( ) A. 一次函數都是單調函數 B. 是有理數 C. 任何一條直線都有斜率 D. 答案: A8.下列特稱命題中假命題為( ) A. 空間中過直線外一點有且僅有一條直線與該直線垂直 B. 僅存在一個實數,使得成等比數列 C. 存在實數滿足,使得的最小值是6 D. 恒成立答案: A考點三: 由命題真假確定參數范圍例9 （廣東省五校2010屆高三上學期第二次聯考（數學理）已知命題：方程在上有且僅有一解；命題：只有一個實數滿足不等式若命題是假命題，求的取值范圍.解題思路：因為命題是假命題，由真值表可知，命題p和命題q都是假命題.由此入手分析。 注意參數的分類討論，做到不重不漏。解析：由，得顯然 所以, 因為方程在上有且僅有一解，故、所以只有一個實數滿足不等式所以 因為命題是假命題，所以命題p和命題q都是假命題.所以的取值范圍為【名師指引】先確定簡單命題與復合命題的真假，再由命題的真假劃分參數的范圍【新題導練】9（廣東省四會中學2010屆高三上學期第二次質量檢測（數學理）已知命題： P：對任意,不等式恒成立；q：函數存在極大值和極小值。求使命題“p且q”為真命題的m的取值范圍。解: 恒成立，只需小于的最小值， 而當時，3，.存在極大值與極小值，有兩個不等的實根， ，或. 要使命題“p且q”為真，只需,故m的取值范圍為2，6. 搶 分 頻 道 基礎鞏固訓練1. （廣東省深圳市2010 屆高三九校聯考數學試題）下列說法錯誤的是 （ ）A “”是“”的充分不必要條件；B命題“若，則”的否命題是：“若，則”C若命題：，則；D如果命題“”與命題“或”都是真命題，那么命題一定是真命題.答案：A2.（2009-2010金山中學高三期中考試數學試題）下列命題錯誤的是（ ） A命題“若有實數根”的逆否命題為：“若方程無實數根，則”B“”是“”的充分不必要條件C若為假命題，則p、q均為假命題D對于命題若答案：C3（2009學年中山市一中高三年級第二次統測試題數學理）已知：命題則 （ ） 答案：C4（廣州市海珠區(qū)2009屆高三綜合測試二）設命題：矩形的對角線相等;命題：的單調減區(qū)間是.則（ ）A“或”為真 B