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7基變換與坐標(biāo)變換 設(shè)向量空間的基；基 基變換：可由唯一的線性表示, 所以有 矩陣乘法形式： 稱上式為由基改變?yōu)榛幕儞Q公式稱為由基改變?yōu)榛倪^(guò)渡矩陣 定理10 向量空間中由基改變?yōu)榛倪^(guò)渡矩陣是可逆矩陣證 若, 則齊次方程組有非零解, 由此 可得 即線性相關(guān), 矛盾！故是可逆矩陣 注 由基改變?yōu)榛幕儞Q公式為 由基改變?yōu)榛倪^(guò)渡矩陣為 坐標(biāo)變換：, 有 因?yàn)樵诨碌淖鴺?biāo)唯一, 所以 或者 稱上式為坐標(biāo)變換公式 例12 已知的兩個(gè)基為 (1) 求由基改變?yōu)榛倪^(guò)渡矩陣； (2) 求在基下的坐標(biāo)解 采用中介法求過(guò)渡矩陣：簡(jiǎn)單基為 , , , 簡(jiǎn)單基基： 簡(jiǎn)單基基： 基基： , , 4.5 線性方程組解的結(jié)構(gòu) , , 齊次方程組 非齊次方程組 () 結(jié)論：(1) , 與同解 (2) 有非零解 (3) 有解 (4) 設(shè), 則 時(shí), 有唯一解； 時(shí), 有無(wú)窮多解 1的解空間 解集合 故構(gòu)成向量空間, 稱為的解空間 2的基礎(chǔ)解系 不妨設(shè)的一般解為 () 依次令 可求得 , , , 因?yàn)?(1) 線性無(wú)關(guān) (2) , 所以是解空間的一個(gè)基, 稱為的基礎(chǔ)解系 例15 設(shè), 求的一個(gè)基礎(chǔ)解系 解 , 同解方程組為 依次取 , 可求得基礎(chǔ)解系 , 2解的結(jié)構(gòu) (1) , (2) , 是的解設(shè)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 的特解為, 一般解為, 則有 () 例16 設(shè), , 求的通解 解 同解方程組為 基礎(chǔ)解系：, ；特解：通解： () 例17 設(shè), 的3個(gè)解滿足 , , 求的通解 解 的基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量 因?yàn)?所以 是的基礎(chǔ)解系 又 是的特解 故的通解為 例18 設(shè), 是的解, 證明： 是的基礎(chǔ)解系線性無(wú)關(guān) 證 必要性設(shè)數(shù)組使得 左乘, 利用可得 因?yàn)? 所以 由此可得 因?yàn)槭堑幕A(chǔ)解系, 所以線性無(wú)關(guān), 從而有 故線性無(wú)關(guān) 充分性是的解向量 設(shè)數(shù)

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