階常系數(shù)線性微分方程-2.ppt

第七節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程,一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程,二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程 1、定義,n 階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,2、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,-特征方程法,將其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,(1) 特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解為:,得齊次方程的通解為,特征根為,(2) 特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,一特解為,得齊次方程的通解為,特征根為,(3) 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根,特征根為,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:,可得,得齊次方程的通解為,二階常系數(shù)齊次微分方程 求通解的一般步驟:,(1) 寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程:,(2) 求出特征根:,(3) 根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.,定義,由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例1,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例2,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例3,例4 求解初值問(wèn)題,解 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問(wèn)題的解為,特征方程為,推廣： 階常系數(shù)齊次線性方程解法,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例1,例2,解 特征方程：,特征根:,原方程通解:,思考與練習(xí),求方程,的通解 .,答案:,通解為,通解為,通解為,二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,由線性微分方程的結(jié)構(gòu)知:,非齊次線性微分方程的通解,= 對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的通解 + 非齊次線性微分方程的一個(gè)特解,二階常系數(shù)非齊次線性方程,對(duì)應(yīng)齊次方程,通解結(jié)構(gòu),f (x) 常見(jiàn)類型,難點(diǎn)：如何求特解？,方法：待定系數(shù)法.,1、f (x)=Pm(x)ex 型,設(shè)方程特解為,其中 Q(x) 為待定多項(xiàng)式 ,代入原方程 , 得,從而得到特解形式為,(2) 若 是特征方程的單根 ,為m 次多項(xiàng)式,故特解形式為,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多項(xiàng)式,故特解形式為,即,即,綜上可得： (Page291),可設(shè)特解形式為, 不是特征方程的根, 是特征方程的單根, 是特征方程的二重根,注意 上述結(jié)論可推廣到 n 階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.,解,故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為,特征方程為,其特征根為,代入原方程, 得,原方程通解為,例1,對(duì)應(yīng)齊次方程為,解,故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為,特征方程為,其特征根為,代入原方程, 得,原方程通解為,例2,對(duì)應(yīng)齊次方程為,例3,解,特征方程為,特征根為,故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,對(duì)應(yīng)齊次方程為,代入原方程, 得,原方程通解為,解得,所以原方程滿足初始條件的特解為,2、f (x)= exPl(x)cos x + Pn(x)sin x型,利用歐拉公式,求如下兩方程的特解：,Page 293,注意 上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.,的通解.,解:,特征方程為,其根為,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程:,所求通解為,為特征方程的根 ,可設(shè)非齊次方程特解為,例1,解,對(duì)應(yīng)齊次方程為,例2,特征方程為,對(duì)應(yīng)齊次方程通解為,特征根為,提示,對(duì)應(yīng)齊次方程通解為,所求非齊次方程特解為,原方程通解為,例3,例4,解,對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為,特征根為,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)原方程的特解為,故原方程的通解為,例5,3、小結(jié),二階常系數(shù)非齊次微分方程特解形式：,(待定系數(shù)法),練習(xí),寫(xiě)出下列二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:,解,三、二階常系數(shù)線性微分方程應(yīng)用舉例,1、建立微分方程的基本條件,1) 要熟悉能用導(dǎo)數(shù)表示的各種常見(jiàn)變化率.,2) 要熟悉與問(wèn)題有關(guān)的各種定律、原理.,2、建立微分方程及求解的注意點(diǎn),如果問(wèn)題要求“運(yùn)動(dòng)規(guī)律”、“變化規(guī)律”等， 則需要用微分方程來(lái)解決問(wèn)題 . 這時(shí)應(yīng)根據(jù) 問(wèn)題的特征利用