電磁場第一章矢量分析與場論.ppt

第1章 矢量分析與場論,一、矢量和標(biāo)量的定義,二、矢量的運(yùn)算法則,三、矢量微分元：線元，面元，體元,四、標(biāo)量場的梯度,六、矢量場的旋度,五、矢量場的散度,七、亥姆霍茲定理及重要的場論公式,一、矢量和標(biāo)量的定義,1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。,矢量表示為：,所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。,其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。,2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、電場 等,如：溫度 T、長度 L 等,例：在直角坐標(biāo)系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？,圖示法：,力的圖示法：,二、矢量的運(yùn)算法則,1.加法: 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。,a.滿足交換律：,b.滿足結(jié)合律：,三個方向的單位矢量用 表示。,根據(jù)矢量加法運(yùn)算：,所以：,在直角坐標(biāo)系下的矢量的表示:,其中：,矢量：,.模的計(jì)算：,.單位矢量：,.方向角與方向余弦：,在直角坐標(biāo)系中三個矢量加法運(yùn)算：,2.減法：換成加法運(yùn)算,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算：,3.乘法：,（1）標(biāo)量與矢量的乘積：,（2）矢量與矢量乘積分兩種定義,a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：,兩矢量的點(diǎn)積含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。,在直角坐標(biāo)系中，已知三個坐標(biāo)軸是相互正交的，即,有兩矢量點(diǎn)積：,結(jié)論:兩矢量點(diǎn)積等于對應(yīng)分量的乘積之和。,推論1：滿足交換律,推論2：滿足分配律,推論3：當(dāng)兩個非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個矢量必正交。,推論1：不服從交換律：,推論2：服從分配律：,推論3：不服從結(jié)合律：,推論4：當(dāng)兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。,b.矢量積（叉積）：,含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。,在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：,兩矢量的叉積又可表示為：,（3）三重積：,三個矢量相乘有以下幾種形式：,矢量，標(biāo)量與矢量相乘。,標(biāo)量，標(biāo)量三重積。,矢量，矢量三重積。,a. 標(biāo)量三重積,法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。,定義：,含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 。,注意：先后輪換次序。,推論：三個非零矢量共面的條件。,在直角坐標(biāo)系中：,b.矢量三重積：,例1：,解：,則：,設(shè),求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。,三、矢量微分元：線元，面元，體元,例：,其中 ： 和 稱為微分元。,1.直角坐標(biāo)系 在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。,線元：,面元：,體元：,2.圓柱坐標(biāo)系,在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。,線元：,面元：,體元：,3.球坐標(biāo)系,在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。,線元：,面元：,體元：,a. 在直角坐標(biāo)系中，x,y,z 均為長度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即：,b. 在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 , 其中 為角度，其對應(yīng)的線元 ，可見拉梅系數(shù)為：,在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，其中 均為 角度，其拉梅爾數(shù)為：,注意：,每個坐標(biāo)長度增量同各自坐標(biāo)增量之比, 稱為度量系數(shù)或,在正交曲線坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量 不一定都是長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫出其線元，面元和體元。,體元：,線元：,面元：,正交曲線坐標(biāo)系：,四、標(biāo)量場的梯度,1.標(biāo)量場的等值面,可以看出：標(biāo)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。,以溫度場為例：,熱源,等溫面,b.梯度,定義：標(biāo)量場中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)， 其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。,數(shù)學(xué)表達(dá)式：,2.標(biāo)量場的梯度,a.方向?qū)?shù)：,空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。,為最大的方向?qū)?shù)。,標(biāo)量場的場函數(shù)為,甲：每米的溫度變化為 乙：每米的溫度變化為 丙：每米的溫度變化為 同一溫度場中，其等溫面沿不同方向的變化率不同。,方向性導(dǎo)數(shù)不同,計(jì)算：,在直角坐標(biāo)系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐標(biāo)系中：,在球坐標(biāo)系中：,在任意正交曲線坐標(biāo)系中：,在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：,在直角坐標(biāo)系中：,某二維標(biāo)量場梯度,五、矢量場的散度,1. 矢線（場線）：,在矢量場中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線成為矢線。,2. 通量：,定義：如果在該矢量場中取一曲面S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。,表達(dá)式：,若曲面為閉合曲面：,討論：,a. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。,b. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。,c. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量等于穿出的通量。,3.散度：,a.定義：矢量場中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。,b.表達(dá)式：,c.散度的計(jì)算：,在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。,矢量場 表示為：,在 x方向上：,計(jì)算穿過 和 面的通量為,因?yàn)椋?則：,在 x 方向上的總通量：,在 z 方向上,穿過 和 面的總通量：,整個封閉曲面的總通量：,同理：在 y方向上,穿過 和 面的總通量：,該閉合曲面所包圍的體積：,通常散度表示為：,4.散度定理：,物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。,柱坐標(biāo)系中：,球坐標(biāo)系中：,正交曲線坐標(biāo)系中：,直角坐標(biāo)系中：,常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式,六、矢量場的旋度,1.環(huán)量：,在矢量場中，任意取一閉合曲線 ，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量。,可見：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。,2.旋度:,定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán) 的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場的旋度。,表達(dá)式：,旋度計(jì)算：,以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：,場矢量：,其中： 為x 方向的環(huán)量密度。,旋度可用符號表示：,其中：,可得：,同理：,所以：,旋度公式：,為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:,類似的，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度計(jì)算公式：,對于柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計(jì)算公式。,3.斯托克斯定理：,物理含義： 一個矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。,方向相反 大小相等 結(jié)果抵消,亥姆霍茲定理的簡化表述如下: 若矢量場F在無限空間中處處單值, 且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界, 而源分布在有限區(qū)域中, 則矢量場由其散度和旋度唯一地確定。 并且, 它可表示為一個標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和, 即,七、 亥姆霍茲定理,矢量場的分類,根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：,1) 調(diào)和場,若矢量場F在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：F=0和F=0 則在該區(qū)域V內(nèi)，場F為調(diào)和場。,注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。,調(diào)和場，有源無旋場，無源有旋場，有源有旋場,2) 有源無旋場,如果 ，則稱矢量場F為無旋場。無旋場F可以表示為另一個標(biāo)量場的梯度，即,函數(shù)u稱為無旋場F的標(biāo)量位函數(shù)，簡稱標(biāo)量位。,無旋場F沿閉合路徑C的環(huán)量等于零，即,這一結(jié)論等價(jià)于無旋場的曲線積分 與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q 有關(guān)。 標(biāo)量位u的積分表達(dá)式：,由 ，有,函數(shù)A稱為無源場F的矢量位函數(shù)，簡稱矢量位。 無源場F通過任何閉合曲面S的通量等于零，即,4) 有源有旋場,一般的情況下，如果在矢量場F的散度和旋度都不為零，即,如果 ，則稱矢量場F為無源場。無源場F可以表示為另一個矢量場的旋度，即,（3）無源有旋場,可將矢量場F表示為一個無源場Fs和無旋場Fi 的疊加，即,其中Fs和Fi分別滿足,于是,因而，可定義一個標(biāo)量位函數(shù)u和矢量位函數(shù)A，使得,重要的場論公式,1. 兩個零恒等式,任何標(biāo)量場梯度的旋度恒為零。,任何矢量場的旋度的散度恒為零。,在圓柱坐標(biāo)系中：,在球坐標(biāo)系中：,在廣義正交曲線坐標(biāo)系中：,2. 拉普拉斯算子,在直角坐標(biāo)系中：,3. 常用的矢量恒等式,基本要求,掌握矢量在正交坐標(biāo)系中的表示方法 掌握矢量的代數(shù)運(yùn)算及其在坐標(biāo)系中的幾何意義 掌握矢量積、標(biāo)量積的計(jì)算 了解矢量場散度