概率論與數(shù)理統(tǒng)計JA(4.2-3).ppt

上一節(jié)課內(nèi)容復(fù)習(xí),1）熟練掌握期望定義,會求隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望. （下面三組公式是本章最重要的基礎(chǔ)公式）,設(shè) Y =g( X ), g( x ) 是連續(xù)函數(shù)，,2）掌握數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),會用性質(zhì)求期望,3）熟練掌握方差的定義和性質(zhì)；,稱 Y 是隨機變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)化了的隨機變量。,則 EY = 0, DY = 1。,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,方差的定義 方差的性質(zhì) 切比曉夫不等式,一、方差的定義,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,在實際問題中常關(guān)心隨機變量與均值的偏離程度， 可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用,設(shè) X 是隨機變量，若 存在，,來度量隨機變量X與其均值EX的偏離程度。,稱其為隨機變量 X 的方差，記作 DX,或 Var ( X ) ，即：,1）定義：,離散型：,連續(xù)型：,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,2）方差公式,注：方差描述了隨機變量的取值與其均值的偏 離程度。,由此式還可得：,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,例1,甲、乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出:,X：甲擊中的環(huán)數(shù)；,Y：乙擊中的環(huán)數(shù)；,試問哪一個人的射擊水平較高？,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,例1（續(xù)）,解：,比較兩個人擊中的平均環(huán)數(shù),甲擊中的平均環(huán)數(shù)為,乙擊中的平均環(huán)數(shù)為,由于,這表明乙的射擊水平比甲穩(wěn)定,因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲乙兩人的射擊水平是一樣的，但兩個人射擊環(huán)數(shù)的方差分別為,二、方差的性質(zhì),第四章 隨機變量的數(shù)字特征,證3）：,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,稱 Y 是隨機變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)化了的隨機變量。,則 EY = 0, DY = 1。,性質(zhì)4）的證明將在后面給出。,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,例 14,解：,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,先求：,例 14（續(xù)）,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,則：,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,三、定理：（切比曉夫不等式）,則對任意,設(shè)隨機變量 X 有數(shù)學(xué)期望,證明：(只證 X 是連續(xù)型),例如：在上面不等式中，取 ，有：,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,這個不等式給出了隨機變量X 的分布未知情況下，事件,的概率的一種估計方法。,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,例15,設(shè)種子的良種率為1/6，任選600粒，試用切比曉 夫（Chebyshev）不等式估計：這600粒種子中良種所 占比例與1/6之差的絕對值不超過0.02的概率。,解：,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,例16,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,例16（續(xù)）,2 方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,小結(jié)： 1）方差的定義； 2）方差的性質(zhì)； 3）切比曉夫不等式。,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,3.幾種重要隨機變量 的數(shù)學(xué)期望及方差,兩點分布 二項分布 泊松分布 均勻分布 正態(tài)分布,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,2） 二項分布,1）兩點分布,3 幾種期望與方差,方法1：,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,，,所以,方法1說明了二項分布與兩點分布的關(guān)系。,即,3 幾種期望與方差,3 幾種期望與方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,方法2：,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,3 幾種期望與方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,3 幾種期望與方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,3）泊松分布,設(shè) X 服從參數(shù)為 的泊松分布，,3 幾種期望與方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,3 幾種期望與方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,4）均勻分布,3 幾種期望與方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,5）正態(tài)分布,作變換,3 幾種期望與方差,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,說明：,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,第四章 隨機變量的數(shù)字特征,3 幾種期望與方差,注意：在上一節(jié)用切比曉夫不等式估計概率有,因此，對于正態(tài)隨機變量 X 來說，它的