解析函數(shù)的級數(shù)表-1.ppt

復(fù)變函數(shù) 與積分變換,主講：李茂華 寧波大學(xué)理學(xué)院 二零零九年九月,大學(xué)數(shù)學(xué)多媒體課件,2019/7/16,2,參考用書,復(fù)變函數(shù)與積分變換, 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系, 高等教育出版社, 2003.6,復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解, 華中科大, 高等教育出版社,復(fù)變函數(shù), 西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室, 高等教育出版社, 1996.5,2019/7/16,3,目 錄,第二章 解析函數(shù),第三章 復(fù)變函數(shù)的積分,第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示,第五章 留數(shù)及其應(yīng)用,第六章 傅立葉變換,第七章 拉普拉斯變換,第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),2019/7/16,4,第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示,本章的主要內(nèi)容是：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一些基本概念和性質(zhì)；重點(diǎn)介紹復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的冪級數(shù)和由正、負(fù)整次冪項(xiàng)所組成的洛朗級數(shù). 關(guān)于復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的某些概念和定理都是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的相應(yīng)的內(nèi)容在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的直接推廣，因此，在學(xué)習(xí)中結(jié)合高等數(shù)學(xué)中無窮級數(shù)部分的復(fù)習(xí)，并在對此中進(jìn)行學(xué)習(xí),2019/7/16,5,第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示,4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù) 4.2 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 4.3 泰勒級數(shù) 4.4 洛朗級數(shù) 本章小結(jié) 思考題,2019/7/16,6,第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù),一、復(fù)數(shù)列極限,定義：,定理1：,2019/7/16,7,證明：,必要性,充分性,2019/7/16,8,例1,解：,2019/7/16,9,2019/7/16,10,定義：,例1,解：,二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念,2019/7/16,11,定理2：,證明：,定理3：,2019/7/16,12,定理3：,證明：,2019/7/16,13,說明：,例2,下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？,解：,2019/7/16,14,第二節(jié) 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù),一、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù),定義：,稱表達(dá)式：,稱為級數(shù)的部分和,2019/7/16,15,二、冪級數(shù),1冪級數(shù)概念,定義：形如,2019/7/16,16,定理1：（阿貝爾定理）,阿貝爾定理告訴我們:,2019/7/16,17,證明：,充分性用反證可以證明（略）,必要性,2019/7/16,18,2收斂圓與收斂半徑,定義：,注意：,2019/7/16,19,例1,解：,冪級數(shù)的部分和,故級數(shù)發(fā)散.,2019/7/16,20,3收斂半徑的求法,定理2：（比值法）,證明：,2019/7/16,21,定理3：（根值法）,例1,求下列冪級數(shù)的收斂半徑,解：,2019/7/16,22,所以不能直接用公式,用比較審斂法:,2019/7/16,23,4冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì),（1）冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,2019/7/16,24,2019/7/16,25,（2）復(fù)合運(yùn)算,這個(gè)運(yùn)算具有廣泛的應(yīng)用，常用來將函數(shù)展為冪級數(shù),例2,解：,2019/7/16,26,（3）冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì),定理4：,逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分,2019/7/16,27,例3,試求給定冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù),解：,2019/7/16,28,第三節(jié) 泰勒級數(shù),前面已討論了已知冪級數(shù)，如何求收斂圓、和函數(shù)，并且知道和函 數(shù)在它的收斂圓內(nèi)是一個(gè)解析函數(shù)，下面研究與此相反的問題：即任何 一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？,2019/7/16,29,2019/7/16,30,2019/7/16,31,定理5：,2019/7/16,32,說明：,由此可見解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)，即展開式是唯一的,2019/7/16,33,一、利用直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù),例1,解：,2019/7/16,34,二、利用間接展開法將函數(shù)展開成冪級數(shù),借助于已知函數(shù)的展開式，利用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)， 以唯一性為理論依據(jù)得到函數(shù)的泰勒展開式,2019/7/16,35,例2,解：,例3,解：,2019/7/16,36,例4,解：,例4,2019/7/16,37,三、將函數(shù)展成的冪級數(shù),例5,解：,2019/7/16,38,例6,解：,2019/7/16,39,例7,解：,2019/7/16,40,第四節(jié) 洛朗級數(shù),2019/7/16,41,2019/7/16,42,2019/7/16,43,2019/7/16,44,一、直接展開法,定理6（洛朗定理）,證明：,證明：,2019/7/16,45,2019/7/16,46,2019/7/16,47,2019/7/16,48,2019/7/16,49,例1,解：,-直接展開法,2019/7/16,50,證明：,2019/7/16,51,二、間接展開法,根據(jù)由正、負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級數(shù)的唯一性，可通過代數(shù)運(yùn)算、變 量代換、函數(shù)求