數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入要點梳理復數(shù)的有關概念.ppt

13.6 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 要點梳理 1.復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的概念 形如a+bi (a,bR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a,b分 別是它的 和 .若 ，則a+bi為實數(shù), 若 ，則a+bi為虛數(shù),若 ，則a+bi 為純虛數(shù). (2)復數(shù)相等:a+bi=c+di (a,b,c,dR).,實部,虛部,b=0,b0,a=0且b0,a=c且b=d,基礎知識 自主學習,(3)共軛復數(shù):a+bi與c+di共軛 (a,b,c,dR). (4)復平面 建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面，叫做復平面. 叫做實軸， 叫做虛軸.實軸上的點都表示 ；除原點外，虛軸上的點都表示 ； 各象限內的點都表示 . (5)復數(shù)的模 向量 的模r叫做復數(shù)z=a+bi的模，記作 或 ，即|z|=|a+bi|= .,a=c,b=-d,x軸,y軸,實數(shù),純虛數(shù),非純虛數(shù),|z|,|a+bi|,2.復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)z=a+bi 復平面內的點Z(a,b) (a,bR). (2)復數(shù)z=a+bi (a,bR). 3.復數(shù)的運算 (1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設z1=a+bi,z2=c+di (a,b,c,dR),則 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= ; 減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ; 乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= ;,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)i,(ac-bd)+(ad+,bc)i,除法: = .(c+di0) (2)復數(shù)加法的運算定律 復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1、z2、z3C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .,z2+z1,z1+(z2+z3),基礎自測 1.(2009北京理，1)在復平面內,復數(shù)z=i(1+2i) 對應的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 z=i(1+2i）=-2+i,復數(shù)z在復平面內 對應的點為Z（-2，1），該點位于第二象限.,B,2.下列命題正確的是( ) (-i)2=-1;i3=-i;若ab,則a+ib+i; 若zC，則z20. A. B. C. D. 解析 虛數(shù)不能比較大小，故錯誤； 若z=i,則z2=-10,故錯誤.,A,3.（2008浙江理，1）已知a是實數(shù)， 是純虛 數(shù)，則a等于( ) A.1 B.-1 C. D.- 解析 因為該復數(shù)為純虛數(shù)，所以a=1.,A,4.（2009山東理，2）復數(shù) 等于( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 解析,C,5.設 為復數(shù)z的共軛復數(shù)，若復數(shù)z同時滿足 z- =2i， =iz，則z= . 解析 =iz,代入z- =2i，得z-iz=2i,-1+i,題型一 復數(shù)的概念及復數(shù)的幾何意義 已知復數(shù) 試求實數(shù)a分別取什么值時，z分別為： （1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù). 根據復數(shù)z為實數(shù)、虛數(shù)及純虛數(shù)的 概念,利用它們的充要條件可分別求出相應的a值. 解,題型分類 深度剖析,（2）當z為虛數(shù)時， a-1且a6且a1.a1且a6. 當a(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)時， z為虛數(shù). （3）當z為純虛數(shù)時，有 不存在實數(shù)a使z為純虛數(shù).,(1)本題考查復數(shù)集中各數(shù)集的分類， 題中給出的復數(shù)采用的是標準的代數(shù)形式，否則 應先化為代數(shù)形式，再依據概念求解. (2)若復數(shù)的對應點在某些曲線上，還可寫成代數(shù) 形式的一般表達式.如：對應點在直線x=1上，則z=1+bi（bR）;對應點在直線y=x上，則z=a+ai (aR)，在利用復數(shù)的代數(shù)形式解題時經常用到 這一點.,知能遷移1 已知mR，復數(shù) -3)i,當m為何值時,(1)zR；(2)z是純虛數(shù)； (3)z對應的點位于復平面第二象限；(4)z對應的 點在直線x+y+3=0上. 解 (1)當z為實數(shù)時,則有m2+2m-3=0且m-10 解得m=-3,故當m=-3時，zR. （2）當z為純虛數(shù)時,則有 解得m=0或m=2. 當m=0或m=2時，z為純虛數(shù).,（3）當z對應的點位于復平面第二象限時, 解得m-3或1m2，故當m-3或1m2時，z對應 的點位于復平面的第二象限. （4）當z對應的點在直線x+y+3=0上時, 當m=0或m=-1 時，z對應的點在直線x+y+3=0上.,題型二 復數(shù)相等 已知集合M=(a+3)+(b2-1)i，8，集合 N=3i,(a2-1)+(b+2)i同時滿足MNM，MN ，求整數(shù)a、b. 解 依題意得（a+3）+（b2-1）i=3i 或8=(a2-1)+(b+2)i 或a+3+(b2-1)i=a2-1+(b+2)i 由得a=-3,b=2, 經檢驗，a=-3,b=-2不合題意，舍去.,判斷兩集合元素的關系,列方程組,分別解方程組,檢驗結果是否符合條件,a=-3，b=2. 由得a=3,b=-2. 又a=-3,b=-2不合題意.a=3,b=-2. 由得 此方程組無整數(shù)解. 綜合、得a=-3,b=2或a=3,b=-2. 兩復數(shù)相等的充要條件是：實部與實部 相等，虛部與虛部相等.構建方程，解方程組體現(xiàn) 了方程的思想.本題中，復數(shù)與集合的知識相結合, 體現(xiàn)了題目的靈活性.,知能遷移2 已知復數(shù)z的共軛復數(shù)是 ，且滿足 z+2iz=9+2i.求z. 解 設z=a+bi (a,bR)，則 =a-bi, z +2iz=9+2i， （a+bi）（a-bi）+2i（a+bi）=9+2i 即a2+b2-2b+2ai=9+2i 由得a=1代入得b2-2b-8=0 解得b=-2或b=4. z=1-2i或z=1+4i.,題型三 復數(shù)的代數(shù)運算 計算(1) 利用復數(shù)的運算法則及特殊復數(shù)的運 算性質求解.,解,（3）方法一,方法二 （技巧解法）,復數(shù)代數(shù)形式的運算是復數(shù)部分的重 點，其基本思路就是應用運算法則進行計算.復數(shù) 的加減運算類似于實數(shù)中的多項式的加減運算 （合并同類項），復數(shù)的乘除運算是復數(shù)運算的 難點，在乘法運算中要注意i的冪的性質，區(qū)分 (a+bi)2=a2+2abi-b2與(a+b)2=a2+2ab+b2;在除法運 算中，關鍵是“分母實數(shù)化”（分子、分母同乘以 分母的共軛復數(shù)），此時要注意區(qū)分(a+bi）(a- bi)=a2+b2與(a+b)(a-b)=a2-b2,防止實數(shù)中的相關 公式與復數(shù)運算混淆，造成計算失誤.,知能遷移3 計算：,解,題型四 復數(shù)的幾何意義 (12分)如圖所示,平行四邊形 OABC，頂點O，A，C分別表示0， 3+2i,-2+4i，試求： (1) 所表示的復數(shù)； (2)對角線 所表示的復數(shù); (3)求B點對應的復數(shù). 結合圖形和已知點對應的復數(shù)，根據 加減法的幾何意義，即可求解.,解,4分,8分,12分,根據復平面內的點、向量及向量對應 的復數(shù)是一一對應的，要求某個向量對應的復數(shù), 只要找出所求向量的始點和終點,或者用向量相等 直接給出結論.,知能遷移4 設復數(shù)z的共軛復數(shù)為 ，且4z+2 =3 +i,=sin -icos ,復數(shù)z-對應復 平面內的向量為 求z的值和 的取值范圍. 解 設z=a+bi (a,bR)，則 =a-bi, 由4z+2 =3 +i得 4(a+bi)+2(a-bi)=3 +i， 即6a+2bi=3 +i,根據復數(shù)相等的充要條件有,思想方法 感悟提高 方法與技巧 1.復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除 及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過程. 2.在復數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應向量的 三角形法則的方向是應注意的問題，平移往往 和加法、減法相結合. 3.要記住一些常用的結果，如i、 的有關 性質等可簡化運算步驟提高運算速度.,失誤與防范 1.判定復數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的， 還需考慮它的實部是否有意義. 2.對于復系數(shù)（系數(shù)不全為實數(shù)）的一元二次方 程的求解，判別式不再成立.因此解此類方程 的解，一般都是將實根代入方程，用復數(shù)相等 的條件進行求解. 3.兩個虛數(shù)不能比較大小. 4.利用復數(shù)相等a+bi=c+di列方程時，注意a,b,c, dR的前提條件. 5.z20在復數(shù)范圍內有可能成立，例如:當z=3i時 z2=-90.,一、選擇題 1.（2009陜西理，2）已知z是純虛數(shù)， 是實數(shù)，那么z等于( ) A.2i B.i C.-i D.-2i 解析 設z=bi(bR,b0),D,定時檢測,2.復數(shù) （i是虛數(shù)單位）的實部是( ) A. B. C. D. 解析,A,3.已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù) 對應的點位 于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析,C,4.（2009遼寧理，2）已知復數(shù)z=1-2i,那么 ( ) A. B. C. D. 解析,D,5.在復平面內,若z=m2(1+i)-m(4+i)-6i所對應的點 在第二象限,則實數(shù)m的取值范圍是 ( ) A.（0，3） B.（-，-2） C.（-2，0） D.（3，4） 解析 整理得z=（m2-4m）+(m2-m-6)i，對應 點在第二象限，則,D,6.已知a是實數(shù)， 是純虛數(shù)，則a等于 ( ) A.1 B.-1 C. D.- 解析,A,二、填空題 7.已知z1=2+i,z2=1-3i,則復數(shù) 的虛部為 . 解析,-1,8.已知復數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i，z3=3-2i，它們所對應的 點分別為A，B，C.若 則x+y的值 是 . 解析 得（3-2i）=x(-1+2i) +y(1-i)=(-x+y)+(2x-y)i，,5,9.（2009福建理，11）若 (i為虛 數(shù)單位，a,bR)，則a+b= . 解析 1+i=a+bi,a=1,b=1,a+b=2.,2,三、解答題 10.計算： =i+（-i）1 602 =i+i2=i-1=-1+i.,解,11.已知x,y為共軛復數(shù)，且（x+y）2-3xyi=4-6i， 求x,y. 解 設x=a+bi (a,bR)，則y=a-bi,