Matlab的學習資料第5章.ppt

第5章 符號計算 (1),MATLAB 7.X程序設計,2/44,主要內(nèi)容：,創(chuàng)建符號常量和變量； 符號多項式的運算； 符號微積分的計算； 符號積分變換的計算； 符號微分方程和代數(shù)方程的求解。,MATLAB 7.X程序設計,3/44,5.1 符號計算基礎,5.1.1 概述 符號計算的特點： 1）符號計算定義在符號變量的基礎上，符號表達式計算前必須定義符號變量。 2）符號計算是精確計算。 3）符號計算的計算速度較慢。 4）符號計算的運算符和基本數(shù)學函數(shù)與數(shù)值計算中的運算符和基本數(shù)學函數(shù)幾乎完全相同。,MATLAB 7.X程序設計,4/44,5.1.2 創(chuàng)建符號常量,sym函數(shù)創(chuàng)建符號常量，格式1為： sym(常量),例5-1 創(chuàng)建符號常量。 b=sym(pi) %創(chuàng)建符號常量,MATLAB 7.X程序設計,5/44,sym函數(shù)的格式2為： sym(常量,參數(shù)) 功能：把常量按參數(shù)的格式要求轉(zhuǎn)換為符號常量。其中參數(shù)的含義： d 返回最接近的十進制數(shù)(默認位數(shù)為32位) f 返回該符號值最接近的浮點表示 r 返回該符號值最接近的有理數(shù)型(為系統(tǒng)默認方式)，可表示為p/q、p*q、10q、p/q、2q和sqrt(p)形式之一 e 返回最接近的帶有機器浮點誤差的有理值,MATLAB 7.X程序設計,6/44,5.1.3 創(chuàng)建符號變量,sym(變量,參數(shù)) 功能：把變量定義為符號對象。其中參數(shù)用來設置限定符號變量的數(shù)學特性，有三種選擇： positive 表示為“正、實”符號變量， real 表示為“實”符號變量， unreal 表示為“非實”符號變量。如果不限定則參數(shù)可省略。,MATLAB 7.X程序設計,7/44,syms函數(shù)的格式為： syms(arg1, arg2, ,參數(shù)) syms arg1 arg2 參數(shù) 功能：創(chuàng)建多個符號變量。,例5-2 創(chuàng)建符號復數(shù)變量a+bi。,MATLAB 7.X程序設計,8/44,5.2 符號表達式的基本操作,5.2.1 符號表達式的基本運算 1 算術(shù)運算、關(guān)系運算 2 常用的函數(shù) 1) 三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 2) 指數(shù)和對數(shù)函數(shù) 3) 矩陣分析函數(shù),MATLAB 7.X程序設計,9/44,例5-3 創(chuàng)建符號矩陣，并求逆、對角陣、行 列式和秩。,例5-4 求線性方程組的解。,如果求解前3個方程所構(gòu)成的“欠定”方程組呢？,MATLAB 7.X程序設計,10/44,4) 取整函數(shù) 5）復數(shù)函數(shù),例5-5 創(chuàng)建符號復數(shù)常量，并求其共軛、實 部 、虛部和模。,MATLAB 7.X程序設計,11/44,5.2.2 符號數(shù)值精度控制,三種不同的算術(shù)運算： 1) 數(shù)值型 MATLAB的浮點運算。 2) 有理數(shù)型 Maple的精確符號運算。 3) VPA型 Maple的任意精度運算。,MATLAB 7.X程序設計,12/44,第3種運算的精度可以任意設置,由digits和vpa函數(shù)實現(xiàn)。 digits(n) 功能：設定計算精度和改變默認的有效位數(shù)函數(shù)。 其中n為所期望的有效位數(shù)，默認值為32位。 Vpa 的格式為： S=vpa(s,n) 功能：將s表示為n位有效位數(shù)的符號對象。,MATLAB 7.X程序設計,13/44,例5-6 應用digits和vpa函數(shù)設置運算精度。,a=sym(2*sqrt(5)+pi) %創(chuàng)建符號對象 digits %顯示默認的有效位數(shù) vpa(a) %用默認的位數(shù)計算并顯示 vpa(a,20) %按指定的精度計算并顯示 digits(15) %改變默認的有效位數(shù) vpa(a) %按digits指定的精度計算并顯示,MATLAB 7.X程序設計,14/44,5.2.3 符號對象轉(zhuǎn)換為數(shù)值對象,double(S) 功能：把符號矩陣S轉(zhuǎn)換為雙精度浮點數(shù)矩陣。 single(S) 功能：把符號矩陣S轉(zhuǎn)換為單精度浮點數(shù)矩陣。,MATLAB 7.X程序設計,15/44,例5-7 建立符號常數(shù)矩陣，并轉(zhuǎn)換 為數(shù)值矩陣。,s=sym(1/3 5/7;sqrt(3) 8/9) %建立符號常數(shù)矩陣s single(s) %把s轉(zhuǎn)換為數(shù)值矩陣,MATLAB 7.X程序設計,16/44,5.2.4 自由變量的確定,符號表達式允許使用自由變量。確定自由變量的原則： 1）小寫字母i和j不能作為自由變量。 2）符號表達式中如果有多個字符變量，則按照以下順序選擇自由變量： 首先選擇x作為自由變量；如果沒有x，則選擇在字母順序中最接近x的字符變量；如果與x相同距離，則在x后面的優(yōu)先。 3）大寫字母比所有的小寫字母都靠后。,MATLAB 7.X程序設計,17/44,findsym的格式為： findsym(EXPR,n) 功能：確定EXPR中的自由變量。 其中EXPR可以是符號表達式或符號矩陣；n為按順序得出符號變量的個數(shù)，當n省略時，則不按順序給出EXPR中所有的符號變量。,MATLAB 7.X程序設計,18/44,例5-8 創(chuàng)建符號表達式，然后確定符 號變量。,f1=sym(a*x2+B*x+c) %創(chuàng)建符號表達式a*x2+ B*x+c findsym(f1) %確定B, a, c, x為符號變量 findsym(f1,1) %確定x為符號變量 findsym(f1,2) %確定x,c為符號變量 findsym(f1,3) %確定x,c,a為符號變量 findsym(f1,4) %確定x,c,a,B為符號變量,MATLAB 7.X程序設計,19/44,5.2.5 變量置換,subs (S) 功能：用MATLAB工作空間中的變量替換S符號表達式中的所有變量。,subs (S,NEW) 功能：用變量NEW替換符號表達式S中的自由變量。,subs (S,OLD,NEW) 功能：用變量NEW替換符號表達式S中的變量OLD。,MATLAB 7.X程序設計,20/44,例5-9 根據(jù)subs的置換規(guī)則，分析下 列語句的功能。,syms a b x; %創(chuàng)建符號變量a， b，和 x f=a*sin(x)+b; %創(chuàng)建符號表達式 f1=subs(f,a,sym(2) %以符號常量2替換符號變量a f2=subs(f,a,b,sym(2),sym(3) %分別以符號常量2、3替換符號變量a、b f3=subs(f,a,b,3,2) %分別以標量2、3替換符號變量a、b,MATLAB 7.X程序設計,21/44,f4=subs(f,sin(x),sym(y) %以符號變量y替換符號表達式sin(x) f5=subs(f,a,b,x,2,2,sym(pi/3) %分別以標量2、3替換符號變量a、b，以符號常量pi/3替換符號變量x f6=subs(f,a,b,x,2,2,pi/3) %分別以標量2、3 、pi/3替換符號變量a、b、x,MATLAB 7.X程序設計,22/44,5.2.6 反函數(shù)和復合函數(shù),finverse(f,v) 功能：對指定自變量v的函數(shù)f(v)求反函數(shù)。當v省略時，則對默認的自由符號變量求反函數(shù)。,compose(f,g,x,z) 功能：返回值為f(g(z)。其中f和g是符號表達式,x和z是符號變量。,MATLAB 7.X程序設計,23/44,例5-11 求tex的反函數(shù)。 f=sym(t*ex)%原函數(shù) g=finverse(f) %對默認自由變量x求反函數(shù) g=finverse(f,t)%對t求反函數(shù),例5-10 求y=x2的反函數(shù)。 syms x;f=x2;g=finverse(f) fg=compose(g,f) %驗算g(f(x)是否等于x,MATLAB 7.X程序設計,24/44,應該注意的是如果先定義t為符號變量，則參數(shù)t的單引號可去掉： syms t g=finverse(f,t),例5-12 求sinx和lnx的反函數(shù)。,MATLAB 7.X程序設計,25/44,5.3 符號多項式函數(shù),5.3.1 合并同類項 collect (S,v) 功能：合并多項式S的同類項。其中S是符號表達式，v是合并同類項的變量。 collect (S) 功能：以findsym確定的變量合并多項式S的同類項。 函數(shù)pretty可給出多項式的易讀形式。,MATLAB 7.X程序設計,26/44,例5-13 合并多項式 的同類項。,x=sym(x); f=(x3+x+1)*(x2+1); g=collect(f),MATLAB 7.X程序設計,27/44,例5-14 合并多項式 的同類項。,s=sym(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t); e1=collect(s) %合并關(guān)于x的同類項系數(shù) e2=collect(s,exp(-t) %合并關(guān)于exp(-t)的同類項系數(shù) e3=collect(s,t) %合并關(guān)于t的同類項系數(shù),MATLAB 7.X程序設計,28/44,例5-15 創(chuàng)建符號多項式，并應用函數(shù) sym2poly，poly2str和poly2sym 進行各種形式間的轉(zhuǎn)換。,syms x;f=x3+2*x2-3*x+5; sy2p=sym2poly(f) %由符號多項式產(chǎn)生數(shù)值系數(shù)行向量 p2st=poly2str(sy2p,x) %把系數(shù)行向量變成易讀表示式 p2sy=poly2sym(sy2p) %把數(shù)值系數(shù)行向量再轉(zhuǎn)換為符號多項式 pretty(f,x) %顯示符號多項式的易讀表示形式,MATLAB 7.X程序設計,29/44,5.3.2 因式分解,factor(s) 功能：把符號表達式S轉(zhuǎn)換為多個因式相乘的形式，各多項式的系數(shù)均為有理數(shù)。 horner(s) 功能：將符號多項式s轉(zhuǎn)換為嵌套形式表示，即用多層括號的形式表示。,MATLAB 7.X程序設計,30/44,例5-16 分解因式,syms x a;f=factor(x3-a3) ; pretty(f,x) 執(zhí)行結(jié)果如下： ans = 2 2 -(a - x) (a + a x + x ),MATLAB 7.X程序設計,31/44,例5-17 將符號矩陣表達式的各個元素 分解為多個因式,syms x b; f=x3+b3 x4-1;x5-1 x6-1; factor(f),MATLAB 7.X程序設計,32/44,例5-18 將多項式表示為嵌套形式。,syms x; horner(x6-x4-5*x3+5*x2+5*x-6),MATLAB 7.X程序設計,33/44,例5-19 將數(shù)字1025分解為正整數(shù)之積。,factor(1025) 執(zhí)行結(jié)果如下： ans = 5 5 41 分析：由執(zhí)行結(jié)果可以看出1025=5541，恰巧是素數(shù)之積。,MATLAB 7.X程序設計,34/44,求全部兩位數(shù)的素數(shù)的程序如下：,sushu=; for ii=10:99 x=factor(ii); if x=ii sushu=sushu ii; end end sushu,MATLAB 7.X程序設計,35/44,例5-20 問入取何值時，齊次方程組有非 0解？,MATLAB 7.X程序設計,36/44,5.3.3 分子、分母的提取,N,D = numden (S) 提取有理多項式的分子、分母多項式。其中S是符號表達式，N為符號表達式S的分子，D為符號表達式S的分母。,MATLAB 7.X程序設計,37/44,例5-21 求出 的分子、分母,syms x; f=1/(x3)+6/x/x+12/x+8；n,d=numden(f),MATLAB 7.X程序設計,38/44,例5-22 求出符號矩陣 各元素的分子、分母多項式。,syms x; A=3/x/x/x+1 x2/(2*x-1);4/x2-1/x 1/(x+4); n,d=numden(A),MATLAB 7.X程序設計,39/44,5.3.4 化簡,simplify（s） simple(s) 功能：返回符號表達式s的簡化形式。,MATLAB 7.X程序設計,40/44,例 5-23 化簡,方法1： syms x; f=x/(x2+x+1)+1/(x-1); simple(f),方法2： syms x; f=x/(x2+x+1)+1/(x-1); simplify(f),MATLAB 7.X程序