離散控制系統(tǒng)及Z變換補充.ppt

離散控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)(basic theory) Z變換及Z反變換(Z transform & Z inverse transform) 差分方程(difference equation) 脈沖傳遞函數(shù)（pulse transfer function） 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)(stability criterion),第四章 離散控制系統(tǒng)及Z變換 discrete control system and Z transform）,4.1 離散控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ) 一、 信號的基本形式(basic form of signal) 1)連續(xù)信號 (continuous ) 2）采樣信號sampling,3）采樣保持信號(sampling holding),因此，一個計算機控制系統(tǒng)包括四種信號：連續(xù)信號、采樣信號、采樣保持信號、數(shù)字信號。,4）數(shù)字信號(digital)：用量化單位q來度量采樣信號幅值后所得的信號。如圖d,量化,圖d,整個計算機控制系統(tǒng)信號變換過程如下：,模擬信號,采樣信號,數(shù)字信號,采樣,采樣保持信號,模擬信號,-,+,模擬信號,采樣信號,數(shù)字信號,數(shù)字信號,模擬信號,量化、保持功能由A/D轉(zhuǎn)換器完成，采樣開關(guān)為軟開關(guān)，由程序的脈沖序列完成，故整個計算機控制系統(tǒng)信號變換過程等效如下：,經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換器量化,經(jīng)采樣開關(guān),經(jīng)保持,經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換,二、信號的數(shù)學(xué)表示(math form of signal ) 1、理想采樣開關(guān)的數(shù)學(xué)表示,單位脈沖函數(shù)是一個幅值為1，寬度為0的脈沖量，圖形表示如右， 其數(shù)學(xué)表達式為,由于理想采樣開關(guān)的閉合時間很短，所以圖中其波形看作是一個有強度、無寬度的脈沖序列，其數(shù)學(xué)表達式為,其中,2、采樣信號的數(shù)學(xué)表示 連續(xù)信號用 表示，采樣信號用 表示。,由采樣過程知，連續(xù)信號與采樣信號分別是采樣開關(guān)的輸入/輸出信號，則有,3、零階保持器的數(shù)學(xué)表示(zero-order holder) 保持器有零階保持器、一階保持器、二階保持器等。實際中，用的最多的是零階保持器。其圖如下 由圖得，零階保持器的數(shù)學(xué)表示為：,三、 數(shù)字控制系統(tǒng)中采樣周期T的確定,1、理論依據(jù) 香農(nóng)采樣定理：為了使采樣信號能不失真的反映連續(xù)信號 的變化規(guī)律，采樣頻率 至少應(yīng)該是 頻譜的最高頻率 的兩倍,即,采樣定理給出了采樣周期的上限值： 2、實際過程中T的選擇因素,(采樣周期:sampling period),理論上，采樣周期越小，離散信號復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號的精度越高，但在實際操作中，采樣周期不應(yīng)小于設(shè)備輸入/輸出及計算機執(zhí)行程序消耗的時間 ，即 T太?。涸黾佑嬎銠C的計算負(fù)擔(dān)；同時，采樣間隔太短，偏差變化不大且調(diào)節(jié)過于頻繁，使得執(zhí)行機構(gòu)不能及時響應(yīng)。 T太大：調(diào)節(jié)時間隔長，干擾輸入得不到及時調(diào)節(jié)，系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)變壞，對某些系統(tǒng)，過大的采樣周期可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。 因此， 實際操作中，選擇采樣周期時，要綜合考慮系統(tǒng)的下列因素。,系統(tǒng)動態(tài)指標(biāo)（dynamic criterion） 一般取 (settling time)為過渡時間（調(diào)節(jié)時間）:被控量進入偏離穩(wěn)態(tài)值的誤差為5(或2)的范圍并且不再越出這個范圍所需的時間。 2、系統(tǒng)的動態(tài)特性（dynamic character） 若對象為 ，一般取 若對象為 ，,3、給定值的變化頻率（variety frequency） 若加到被控對象上的給定值變化頻率越高，采樣頻率也應(yīng)越高以使給定值的改變得到快速反映。 4、執(zhí)行機構(gòu)的類型(actuator type) 若執(zhí)行機構(gòu)動作慣性大，則采樣周期可相應(yīng)大一些，反之則可小些。 5、計算機的運算速度(operation speed) 采樣周期必須保證計算機執(zhí)行控制算法的足夠時間。各回路可選擇不同的采樣周期。,6、被控量的性質(zhì)(quality of object) 如溫度對象，熱慣性較大，反映較慢，調(diào)節(jié)不宜過于頻繁，可選擇較大的采樣周期，而對于流量對象，變化迅速，反映快，則選擇較小的采樣周期。 常見被控對象的采樣周期經(jīng)驗值如下表：,研究一個實際的物理系統(tǒng)，首先要解決它的數(shù)學(xué)模型和分析工具問題，計算機控制系統(tǒng)是一種采樣控制系統(tǒng)，即離散系統(tǒng)。 離散系統(tǒng)的研究方法有很多是與連續(xù)系統(tǒng)相對應(yīng)的。,4.2 Z變換及Z反變換 (Z transform & Z inverse transform),4.2.1 Z變換(Z transform） 一、定義（definition） 由前面得，采樣信號得數(shù)學(xué)表達式為：,對上式兩邊取拉氏變換，令 則,令 ，解得 ，則,定義：,幾點說明： 1、Z變換定義是關(guān)于z的冪級數(shù)。只有當(dāng)級數(shù)收斂時，才稱為采樣函數(shù)的Z變換。 2、Z變換是針對采樣函數(shù) 而言。即是說Z變換由采樣函數(shù)決定，它只對采樣點有意義，反映的是采樣時刻的信息，對非采樣時刻不關(guān)心。,故Z變換與采樣函數(shù)是一一對應(yīng)的。 上述關(guān)系說明：一個采樣函數(shù) 對應(yīng)一個Z變換，一個Z變換對應(yīng)一個采樣函數(shù), 但是由于一個采樣函數(shù) 可對應(yīng)無窮多的連續(xù)函數(shù) ,因為采樣函數(shù)只是考查得一些離散點的值。如下圖所示：,3、Z變換的物理意義表現(xiàn)在延遲性上。,上式中，通項 ，由 決定幅值， 決定時刻，稱 為位移(延遲)算子,n為位移量。,二、Z變換的性質(zhì)(character) 1、線性性質(zhì),2、延遲性質(zhì),3、超前性質(zhì),4、初值定理(initial value theorem),5、終值定理(finial value theorem),常見函數(shù)的Z變換表如下,三、Z變換的求法(Z transform methods ) 1、級數(shù)求和法(series summing) (1)展開采樣函數(shù)(expanding),(2)求拉氏變換(transforming),(4)然后按級數(shù)的性質(zhì)寫出級數(shù)的和函數(shù),(3)令,例1 求單位階躍函數(shù) 的Z變換,解：因,故,例2 求 的Z變換,求拉氏變換得,令,令,解：因,2、部分分式法(partial fraction decomposition) 方法：已知 的表達式，將其化成部分分式之和，再查拉氏變換表,例1 已知 ， 求,解：,查表得,得,用部分分式法求Z變換時，系數(shù)求法一般采用以下兩種方法： 1、湊（適用于展開項數(shù)不多的場合） 2、留數(shù)法（適用于任何場合）,設(shè)傳遞函數(shù)的一般表達式為：,重根系數(shù)的求法,單根系數(shù)求法,當(dāng) 時 也即特征方程有重根,例：求,的Z變換,4.2.2 Z反變換(Z inverse transform) 一、定義(definition) 根據(jù) 求采樣函數(shù) 或離散函數(shù) 的過程稱為Z反變換。記為,也可利用MATLAB中的命令residue進行部分分式展開，命令格式為： r,p,k=residue(num,den),二、求法(methods) 求Z反變換的方法有長除法和部分分式法 1、長除法（冪級數(shù)展開法series expansion) 方法：將 展開成如下形式,式中以 的升冪順序排列，然后求出對應(yīng)的 即可。,先將分子分母分別按 的升冪排列，然后通過分子除以分母得到其冪級數(shù)的展開式。,若 為兩個有理多項式之比表示,即,例1 設(shè),求,解：分子除以分母得,例2 求 的Z反變換,寫出前五項,分子分母同除以 得,解：按要求整理得,長除后得,則,特點：此種方法在實際中應(yīng)用較為方便，只需要計算有限項就夠了，缺點是得到 的一般表達式較難。,2、部分分式法(partial fraction decomposition) 方法：將 展開成部分分式之和的形式，然后通過查表求出各部分分式的Z反變換。 需要指出的是：參照z變換表可以看到，所有z變換函數(shù)在其分子上都有因子z。因此，先把 除以z，將 作為一個整體進行部分分式展開，然后將所得結(jié)果每項乘以z得 的部分分式。最后查表即可。 下面按照f(z)的特征方程無重根和有重根兩種情況舉例說明。,若其一般表達式如下：,則按部分分式展開，得,系數(shù)c的求法：,（1）當(dāng) 時，也即f(z)無重根時。,例1 求 的Z反變換,解：將上式變形得,從而有,特征方程 的解為,則有,解得,所以,故有,查表得,所以,所以,（2）當(dāng) 時 也即特征方程有重根,重根系數(shù)的求法,單根系數(shù)求法,令分母為0得,分解因式,得重根,單根,則,例3 求 的Z反變換,則,故,查表得,4.3 用Z變換求線性常系數(shù)差分方程的解 一、定義 1.差分:相鄰兩個采樣值的差(一階差分). 后向差分:本次采樣值與前一次采樣值的差.基于現(xiàn)在和過去值 前向差分:本次采樣值與后一次采樣值的差.基于現(xiàn)在和未來值 二階差分:對一階差分再取一次差分. 差分在離散系統(tǒng)中的作用與( )在連續(xù)系統(tǒng)中的作用相同，當(dāng)兩個采樣點無限接近時，差分即為（ ）。 2.差商 一階差商：一階差分除以采樣周期的商,二、思想 用z變換求解差分方程與連續(xù)系統(tǒng)用拉氏變換求解微分方程類似。 其思想是：首先通過Z變換，將離散時域問題轉(zhuǎn)化到z 域中考慮，將差分運算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運算，然后通過Z反變換求得離散解,3.差分方程(difference equation) 反映各采樣時刻輸出與輸入之間的關(guān)系的方程。如：,差商在離散系統(tǒng)中的作用與（ ）在連續(xù)系統(tǒng)中的作用相同，當(dāng)兩個采樣點無限接近時，差商即為（ ）。,步驟：先對差分方程進行Z變換，然后寫出 最后求 的Z反變換,例 用Z變換求 的解，已知初始條件為,超前性質(zhì),延遲性質(zhì),將初始條件代入得,解：對上述差分方程兩邊Z變換，利用超前性質(zhì),得,查表得,總結(jié)： 關(guān)于Z變換以及Z反變換的求法重點掌握部分分式法和差分方程求解法。,1 求 的Z變換,習(xí)題：,2 求 的Z反變換,3 用Z變換求 的解，已知初始條件為,4.4 脈沖傳遞函數(shù)(pulse transfer function) 一、定義 連續(xù)系統(tǒng)的對象描述方式有：微分方程、結(jié)構(gòu)方框圖、傳遞函數(shù)等。 離散系統(tǒng)對象描述方式：差分方程、結(jié)構(gòu)方框圖 及脈沖傳遞函數(shù)。,二 開環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù),三、串連環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù) 離散系統(tǒng)串連時其z傳遞函數(shù)的求法與采樣位置有關(guān)。,結(jié)論： （1）當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)由多個線性環(huán)節(jié)串連而環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)隔開時，開環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z變換。 （2）當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)由多個線性環(huán)節(jié)串連而環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時，開環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)z傳遞函數(shù)之乘積,四、并聯(lián)環(huán)節(jié)z傳遞函數(shù),五、閉環(huán)z傳遞函數(shù),-,+,舉例：一個計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下所示，求其脈沖閉環(huán)傳遞函數(shù),利用Z變換線性性質(zhì)及延遲性質(zhì)得,總結(jié)：以后可以直接將廣義傳遞函數(shù)中的 項移到Z變換符號之外變成 ,其余部分按照前面的Z變換方法求得。,4.5 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 一、s域到z域的變換 根據(jù)Z變換的定義有 ,當(dāng),s平面上虛軸上的所有點對應(yīng)在z平面的單位圓上,當(dāng),s平面的左半平面上的所有點對應(yīng)在z平面的單位圓內(nèi),s平面的右半平面上的所有點對應(yīng)在z平面的單位圓外,當(dāng),二、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件 連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)（勞斯判據(jù)）：系統(tǒng)的閉環(huán)極點全部在s平面的左半平面內(nèi)即,小結(jié)： s平面的左右平面上的點對應(yīng)z平面的單位圓內(nèi)外。 注意：從s平面到z平面的映射是唯一的，但從z平面到s平面的映射是多值的。,根據(jù)s平面與z平面的映射關(guān)系:連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定條件s平面左半平面上的所有點對應(yīng)離散系統(tǒng)在z平面的單位圓內(nèi)。,結(jié)論：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，即：系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點都在z平面的單位圓內(nèi)。,三、離散系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù),判據(jù)：離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程經(jīng)過雙線性變換 后，若特征方程的根全部具有負(fù)實部，則系統(tǒng)穩(wěn)定。,證明：令,由,步驟如下：,當(dāng),z平面單位圓上所有點映射到w平面的虛軸上,當(dāng),z平面單位圓內(nèi)所有點映射到w平面的左半平面內(nèi),當(dāng),z平面單位圓外所有點映射到w平面的右半平面內(nèi),舉例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如右所示,先求出閉環(huán)特征方程 ; 再做雙線性變換,即將 代入 中,得到 ； 最后用勞斯判據(jù)判定 的根是否全部在左半平面內(nèi)。,已知,-,求使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K的范圍。,解：系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),將 代入特征方程整理得,特征方程,三、參數(shù)對穩(wěn)定性的影響,1.開環(huán)增益對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 由上面例子可以看出，開環(huán)增益K增大時，系統(tǒng)可能變得不穩(wěn)定，即增大K對系統(tǒng)穩(wěn)定性不利。 2.采樣周期對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響 舉例:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如右圖所示,證明：,-,當(dāng) 時,特征方程為,對上式作雙線性變換得,由系統(tǒng)穩(wěn)定條件得,同理,可計算出當(dāng) 時,系統(tǒng)穩(wěn)定范圍為,當(dāng) 時,系統(tǒng)穩(wěn)定范圍為,結(jié)論:增大采樣周期對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利,減小采樣周期對系統(tǒng)穩(wěn)定性有利,當(dāng)采樣周期為0時,系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng).既是說穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)采樣變成數(shù)字系統(tǒng)后不一定穩(wěn)定.(連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性優(yōu)于離散系統(tǒng)),分析:采樣周期由1s增大到2s,臨界開環(huán)增益由2.4減小到1.45,當(dāng)采樣周期減小到0.5s,臨界開環(huán)增益由2.4增大到4.36.,一、基本概念,總 結(jié),1、采樣：采樣、采樣時間、采樣周期、采樣定理 2、量化：量化、量化單位q得計算 3、保持：零階保持器及其傳遞函數(shù)、電路組成及原理 二、Z變換 1、Z變換定義、性質(zhì) 2、Z變換求法：級數(shù)求和法和部分分式法 3、Z反