前言(金融衍生品定價理論講義)

前 言衍生證券已經(jīng)有很長的歷史。期權和期貨是所有衍生證券里在交易所交易最活躍的衍生證券。十七世紀晚期，在荷蘭的Amsterdam股票交易所，就已經(jīng)有了期權這種形式的證券交易。到了18世紀，看漲和看跌期權開始在倫敦有組織的進行交易，但這些交易在有些場合是被明令禁止的。1973年建立的Chicago Board Options Exchange (CBOE) 大大帶動了期權的交易。1975年看跌期權開始在CBOE掛牌交易。19世紀出現(xiàn)有組織的期貨市場。期權定價理論是最成熟也是最重要的衍生證券定價理論。最早的期權定價理論可以追溯到1900年Bachelier (1900) 的博士論文，該論文對投機活動的定價進行了重要的理論研究，并利用法國交易所的數(shù)據(jù)進行了實證研究。Bachelier的工作標志著在連續(xù)時間下，數(shù)學科學中隨機過程理論和經(jīng)濟學中衍生證券定價理論的雙雙誕生。Bachelier的主要貢獻在于：發(fā)展了連續(xù)時間游走過程（受Louis Bachelier 工作的啟發(fā)，Kiyoshi It在二十世紀四、五十年代作出了隨機分析方面奠基性的工作，這套理論隨即成為金融學最本質的數(shù)學工具，也帶來了衍生證券定價理論革命性的飛躍。）。65年后，Samuelson（1965）用標的資產(chǎn)的價格服從幾何連續(xù)隨機游走運動的假設代替Bachelier的標的資產(chǎn)服從連續(xù)隨機游走運動的假設，重新考慮期權的定價問題。他利用標的資產(chǎn)的期望回報率對期權的終端支付進行折現(xiàn)，得到了接近于Black-Scholes-Merton期權定價公式的期權定價方法。但是，風險中性定價的概念直到Black-Scholes（1973）和Merton（1973）才得以突破。他們的工作使隨機分析和經(jīng)濟學達到了最優(yōu)美的結合，也給金融實際操作帶來了最具有影響力的沖擊。Scholes和Merton也由此獲得1997年諾貝爾經(jīng)濟學獎。由于許多權益都可以被視為偶發(fā)性權益（例如債務，股權，保險等），所以在他們以后，期權定價的技巧被廣泛的應用到許多金融領域和非金融領域，包括各種衍生證券定價、公司投資決策等。學術領域內(nèi)的巨大進步帶來了實際領域的飛速發(fā)展。期權定價的技巧對產(chǎn)生全球化的金融產(chǎn)品和金融市場起著最基本的作用。由于衍生資產(chǎn)在證券市場中具有分散風險、完備化市場等重要作用，近年來，從事金融產(chǎn)品的創(chuàng)造及定價的行業(yè)蓬勃發(fā)展，從而使得期權定價理論得到不斷的改進和拓展。所以，無論從理論還是從實際需要出發(fā)，期權定價的思想都具有十分重要的意義。從20世紀80年代開始，這一領域在思想上沒有大的突破。許多研究停留在完善和計算方面。我們可以把這些研究大致分為：復雜衍生證券的定價（例如MBS，奇異期權等）；數(shù)值計算（例如美式期權定價，亞式期權）；拓展模型來解釋Black-Scholes 模型不能解釋的現(xiàn)象（例如Volatility smile）；交易約束和交易成本對衍生證券套期保值和定價的影響。套利機會和套期保值、有效市場假設、均衡1 衍生證券定價的經(jīng)典理論 衍生證券定價的基本思想是，在完備市場中，通過自融資的動態(tài)證券組合策略來合成衍生證券，從而衍生證券的價格等于證券組合最初的成本。1.1 二項樹模型該模型由Sharpe（1978）提出， Cox, Ross and Rubinstein（1979）對它進行了拓展。盡管最初提出二項樹模型的目的是為了避開隨機分析來解釋Black-Scholes-Merton模型，但現(xiàn)在該模型已成為對復雜衍生證券進行定價的標準數(shù)值計算程序。假設標的資產(chǎn)的價格服從二項分布產(chǎn)生的過程，如圖所示=標的資產(chǎn)現(xiàn)在的價格=標的資產(chǎn)上漲的概率=無風險利率=標的資產(chǎn)上漲的幅度=標的資產(chǎn)下跌的幅度=衍生證券現(xiàn)在的價格=當標的資產(chǎn)價格為時衍生物的價格=當標的資產(chǎn)價格為時衍生物的價格 對的限制為，這是無套利條件，也是保證在套期保值過程中解的存在性的條件。直觀地可以看出，無論是（這時，無風險利率總比股票的風險回報率高）還是（這時，無風險利率總比股票的風險回報率低），都存在套利機會。 我們構造無風險套期保值證券組合：以價格買一份股票，買份以股票為標的物的衍生證券（稱為套期保值比率）。下圖說明了這個套期保值證券組合的到期支付。如果這個套期保值證券組合在每種狀態(tài)下的到期支付都相等，則這個證券組合是無風險的。套期保值證券組合的到期支付 讓支付相等，得到：從上式中解出衍生證券的份數(shù)： 因為套期保值證券組合是無風險的，它的終端支付應該等于它的現(xiàn)價乘以，即，從這個式子得出衍生證券的價格： 把套期保值比率代入得： 設，則。從而，我們得到： 這里定義的總是大于0而小于1，具有概率的性質，我們稱之為套期保值概率。從的定義可以看出，無套利條件成立當且僅當大于0而小于1（即，是概率），所以，在金融學里，我們又把稱為等價鞅測度。這兒所說的正是金融學的一個重要定理：無套利等價于存在等價鞅測度。我們也可從另外一個角度來解釋的意義：是當市場達到均衡時，風險中性者所認為的值，即，股票價格上漲的概率。作為風險中性者，投資者僅僅需要投資在風險股票上的回報率為無風險利率，因此，我們有：從中解出值，得到：所以，對一個風險中性者來說，=，而衍生證券的價格可以解釋為，在一個風險中性環(huán)境中，衍生證券的期望終端支付的折現(xiàn)值。 在求得衍生證券價格的過程中，有兩點是至關重要的，一是套期保值證券組合的存在性；二是無風險的套期保值證券組合的的回報率為無風險利率。無套利定價原理很容易推廣到多期二項樹股票價格過程。Cox, Ross and Rubinstein（1979）證明，當二項樹模型中每期的時間趨于0時，股票價格依分布收斂于對數(shù)狀態(tài)擴散過程，而期權價格公式收斂于Black-Scholes-Merton定價公式。1.2 Black-Scholes-Merton模型Black and Scholes (1973) 和Merton (1973) 利用隨機分析這種強有力的方法，第一次對期權定價問題提出了嚴格的解。 標的股票的價格服從如下的隨機微分方程，（1.2.1），這里， 為常數(shù)，稱為漂移項，可以視為股票的瞬時期望回報率， 為常數(shù)，稱為擴散項，可以視為股票的瞬時標準差， 為標準布朗運動， 為常數(shù)。 無風險債券的價格服從如下的方程， (1.2.2)這里，、為常數(shù)。對于給定的歐式看漲期權，由于它的到期日支付是標的股票的函數(shù)，我們假設期權的價格為標的股票價格的函數(shù)，這里，我們并不知道函數(shù)的具體形式，只知道它在是兩次連續(xù)可微的。 對函數(shù)利用It引理，我們得到， (1.2.3) 這里，。下面，我們利用套期保值的思想，希望通過股票和債券構造證券組合來模擬歐式看漲期權的價格。假設自融資交易策略=滿足此要求，這里，表示在時間購買的股票份數(shù)，表示在時間購買的債券的份數(shù)，則，。 （1.2.4）由(1.2.1)、(1.2.2)和上式，我們得到 ，（1.2.5）通過比較(1.2.3)與(1.2.4)兩式中與的系數(shù)，我們來確定滿足要求的自融資交易策略。首先，我們比較的系數(shù)，得到。由(1.2.4)，我們得到，從而。其次，我們比較的系數(shù)，得到，對于有 (1.2.6)為了(1.2.6)成立，只需滿足如下的偏微分方程， (1.2.7)，由歐式期權的到期日支付得邊界條件，。 (1.2.8)利用Feynman-Kac公式，通過解帶邊界條件(1.2.8)的偏微分方程(1.2.7)，我們得到Black-Scholes期權定價公式這里。具體的解過程由Smith (1976) 和Malliaris (1983) 給出。Smith非常系統(tǒng)的給出了期權定價方法的應用，Malliaris說明了隨機分析的本質作用。Duffie (1996) 給出了Black-Scholes-Merton定價公式的數(shù)學基礎以及金融解釋，同時還給出了期權定價的金融學解釋。上面給出的歐式期權的定價方法的基本假設是市場無套利機會，同時應滿足如下假設：股票價格服從常波幅的擴散過程；市場連續(xù)交易；常無風險利率；市場無摩擦。在上述假設下，期權定價這樣原始的問題被刻畫成金融思想和數(shù)學推導的完美結合。在本課程中，我們將看到無套利假設是衍生證券定價的靈魂思想。在開始本課程之前，我們可以通過Merton(1998) 和Scholes(1998) 在獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎時所作報告來全面了解在過去30年中相關領域的發(fā)展。1.3 衍生證券的一般定價方法直到1976年，利用復合的證券組合一直是期權定價的基礎。Cox and Ross (1976) 引入風險中性定價的概念，他們利用無風險利率代替股票價格過程的漂移項。在他們工作的基礎上，Harrison and Kreps (1979)， Harrison and Pliska (1981) 建立了系統(tǒng)的風險中性定價的理論框架以及與無套利的聯(lián)系。在1.2節(jié)中，我們已經(jīng)提到了風險中性概率的定義。無套利等價于存在等價概率測度，在等價概率測度下，期權和證券的價格以無風險利率折現(xiàn)后，是一個鞅過程。這是動態(tài)資產(chǎn)定價的基礎。根據(jù)資產(chǎn)定價的基本定理，對隨機過程而言，存在等價鞅測度本質上等價于無套利機會。換一種說法，如果資產(chǎn)的折現(xiàn)價格不存在套利機會，則資產(chǎn)定價定理說明原有的概率測度可以用一個新的概率測度代替，在新概率測度下，資產(chǎn)的折現(xiàn)價格過程是一個鞅過程。早期的風險中性定價工作是以貨幣市場帳戶作為計量單位的。事實上，計量單位的選取有很大的靈活性。Geman, El Karoui and Rochet (1995) 證明可以選取不同的計量單位。對于每一個計量單位，都有一個概率與其相對應，從而有不同的定價模型。純折現(xiàn)債券的價格，不同到期日的遠期合約都可以用來作為計量單位。計量單位的選取的靈活性產(chǎn)生了許多利率衍生證券的定價模型。1.4 隨機波幅模型Wiggins (1987) 推廣了Black-Scholes-Merton期權定價模型。假設（1.2.1）中的瞬時波幅服從一個擴散過程(1.4.1)這里是一個標準布朗運動，它和布朗運動的相關系數(shù)為。在這種市場中，因為有兩種風險根源和，所以不能通過股票和債券構造證券組合來模擬歐式看漲期權的價格。波幅風險的價格由市場均衡來確定，而一般來說，不存在期權價格閉形式解。Wiggins通過有限差分、Kalman 濾子和Monte Carlo 模擬計算方法來求解。在波幅風險價格是常數(shù)，波幅是同方差的O-U過程的假設下，Heston (1993)得到歐式看漲期權閉形式的解。2利率衍生證券、奇異期權和實物期權2.1 期貨期權和外匯期權期貨期權和外匯期權在二十世紀80年代初期開始在交易所交易。Black（1976）研究期貨合約與遠期合約之間的差別。在Black-Scholes-Merton模型的假設下，用期貨價格代替股票價格，并引入一個大小等于利率的假設紅利收益率，Black得到了期貨期權的價格。利用同樣的思想，Garman and Kohlhagen（1983）說明，在Black-Scholes-Merton模型的假設下，用外匯現(xiàn)貨價格代替股票價格，并引入一個大小等于外匯利率的假設紅利收益率，可以得到以現(xiàn)貨外匯為標的物的歐式看漲期權的價格。這兩篇文獻都說明了Black-Scholes-Merton模型的靈活性和廣泛應用性。2.2 利率衍生證券在交易所交易的最流行的利率衍生品種是以30年期國庫券為標的物的期貨合約。Black (1976) 模型通常被用來給以這種期貨合約為標的物的期權定價。為了給利率衍生證券定價，需要建立利率期限結構模型。Vasicek (1977) 提出第一個利率期限結構的無套利模型。他的工作是對現(xiàn)代利率期限結構理論貢獻最大的工作。假設表示到期日為的折現(xiàn)債券在時間的價格，。假設瞬時利率服從隨機微分方程這里是標準布朗運動。利用無套利假設，Vasicek 得到如下偏微分方程 (2.2.3)這里是利率風險價格。盡管無套利假設限制了函數(shù)，但是仍舊可以允許有廣泛的形式。Vasicek 證明上述偏微分方程能夠表示成一種積分形式這也是他在風險中性定價中的早期貢獻之一。在對一般模型加上如下假設的基礎上：利率風險價格是常數(shù)，現(xiàn)貨利率服從同方差的O-U過程是的仿射函數(shù)，是常數(shù)，Vasicek得到了債券價格閉形式的解。Vasicek模型的這種特殊形式稱為Vasicek模型。在Vasicek模型框架下，Jamshidiam (1989)得到以折現(xiàn)債券為標的物的歐式期權價格閉形式的解。Cox, Ingersoll and Ross （1985）特殊化Vasicek的一般模型：利率風險是常數(shù)，與現(xiàn)貨利率的平方根成比例。與Vasicek模型不同在于，該模型不允許利率是負的。Cox, Ingersoll and Ross得到了債券價格閉形式的解和以零息債券為標的物的歐式期權價格閉形式的解。Duffie and Kan (1996) 把Cox, Ingersoll and Ross模型推廣到多因子模型。和Cox, Ingersoll and Ross模型一樣，到期收益率是狀態(tài)變量的仿射函數(shù)。因此，到期收益率能夠作為狀態(tài)變量或者因子。因為到期收益率是可觀測的，所以該模型具有可觀測因子的優(yōu)勢。與利率期限結構仿射類模型相反，Constantinides (1992) 發(fā)展了利率期限結構模型，其中收益率是狀態(tài)變量的二次函數(shù)。這能夠刻畫更豐富的期限結構，并且債券和以債券為標的物的期權都有閉形式解。Ho and Lee (1986) 模型是對利率期限結構的餓一次創(chuàng)新。在二項樹模型的框架下，模型參數(shù)是時間的確定函數(shù)，該函數(shù)使得計算出的收益曲線和實際相吻合。 Black, Derman and Toy (1990) 模型 Hull and White (1990) 模型 Heath, Jarrow and Morton (1992)模型把Ho and Lee模型推廣到多因子的連續(xù)時間模型。2.3 奇異衍生證券奇異期權是非標準的期權，例如binary options, look-back option, barrier options。奇異期權的定價研究并沒有在定價思想上取得任何突破。絕大部分研究利用標準的定價理論來給奇異期權定價。新結果主要在計算方法上。Margrable (1978)： 交換期權Stulz (1982)：極值期權Geske (1979)：復合期權Goldman, Sossin and Gatto (1979)：歐式look-back 期權Conze and Viswanathan (1991)：美式look-back 期權Geman and Yor (1996)：障礙期權2.4 實物期權Brennan and Schwartz (1985) 自然資源投資定價Paddock, Siegel and Smith (1988) 海洋天然氣租賃合同定價Ingersoll and Ross (1992) 資本預算Constandinides (1984)Williams (1993)Grenadier (1996)3美式期權、計算方法和信譽風險3.1 美式期權定價Roll (1977) 利用三個歐式看漲期權的結合體來逼近以支付紅利股票為標的物的美式看漲期權。 Geske and Johnson (1984) 把美式看跌期權價格分析解表示成無窮序列的復合期權的價格。Barone-Adesi and Whaley (1987) 提出了在計算上非常有效的解決以商品和期貨合約為標的物的美式看漲和看跌期權的定價問題。Bensoussan (1984) 利用最優(yōu)停時問題來研究美式期權定價問題。3.2 數(shù)值方法Black-Scholes-Merton期權定價模型早期成功的部分原因在于給出了歐式看漲期權價格的閉形式解，并且容易計算。當原始模型的簡單假設被放松以后，我們往往求助于數(shù)值算法。Roll (1977)|、Geske and Johnson (1984) 和Barone-Adesi and Whaley (1987)介紹了當閉形式解不能得到的情況下定價方法。在衍生證券定價中，三種方法被證明是非常有效的：有限差分方法、Monte Carlo方法、二項樹方法。Brennan and Schwartz (1978) ，Das (1997)： 有限差分方法 Boyle (1977) , Boyle, Broadie, and Glasserman (1997) ：Monte Carlo方法Cox, Ross and Rubinstein（1979），Boyle (1988)：二項樹方法Broadie and Glasserman (1997) 對各種方法進行了評價。3.3 信譽風險衍生證券，特別是那些場外交易的證券，具有很大的違約風險。而場外衍生證券的快速增長，要求我們?nèi)ザ攘俊⒐芾?、交易和對沖違約風險。信譽衍生證券是一種合約，其支付依賴于標的固定收益證券的信譽等級，這些固定收益證券通常是債券或者銀行貸款。信譽衍生證券使得投資者可以把信譽風險和通常風險等分開，例如利率風險。與通常衍生證券不同在于，信譽衍生證券在信譽等級發(fā)生變化的時候進行支付。Longstaff and Schwartz (1995)公司風險債務定價。Jarrow and Turnbull (1995)考慮兩種信譽風險，一種是標的資產(chǎn)違約風險，一種是衍生證券寫者的違約風險。Leland (1998)Duffie and Singleton (1997)ReferencesBachelier, L.1900(1964), Theory 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