2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)精品課件（蘇教版）：第七單元第四節(jié)數(shù)列求和.ppt

第四節(jié) 數(shù)列求和,基礎(chǔ)梳理,數(shù)列求和的常用方法 （1）公式法 直接用等差、等比數(shù)列的求和公式. 掌握一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. (2)倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和就可用倒序相加法，如 等差 數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.,（3）錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如 等比 數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.,（4）裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.常見的拆項(xiàng)公式有： ,(5)分組求和法 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差，等比或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并，形如： an+bn,其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列； ,典例分析,題型一 利用錯(cuò)位相減法求和 【例1】(2008全國) 在數(shù)列an中，a1=1,an+1=2an+2n. (1)設(shè) ,證明:數(shù)列bn是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn. 分析 (1)求bn+1，觀察bn與bn+1的關(guān)系. （2）由an=n2n-1的特點(diǎn)可知，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和sn. 解（1）證明： 由已知an+1=2an+2n,得 又b1=a1=1,因此bn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.,（2）由(1)知 sn=1+221+322+n2n-1, 兩邊乘以2,得2sn=2+222+n2n, 兩式相減,得sn=-1-21-22-2n-1+n2n =-(2n-1)+n2n=(n-1)2n+1. 學(xué)后反思 (1)一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法.,（2）用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意： 要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形更值得注意；,在寫出“sn”與“qsn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”， 以便于下一步準(zhǔn)確寫出“sn-qsn”的表達(dá)式;,應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比q1這一前提條件，如果不能確定公比q是否為1,應(yīng)分兩種情況討論，這在以前高考中經(jīng)常考查.,舉一反三 1. (2010廣州綜測)已知數(shù)列 中， 且 (n2且nn*). (1)若數(shù)列 為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值； （2）求數(shù)列 的前n項(xiàng)和,解析: （1）方法一： , , 設(shè) ,由 為等差數(shù)列， 則有,綜上可知，當(dāng)=-1時(shí)，數(shù)列 為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列. （2）由(1)知， 即 令 , 則 , -，得 ,題型二 利用裂項(xiàng)相消法求和 【例2】 (2008江西)等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=3,前n項(xiàng)和為sn,bn為等比數(shù)列,b1=1,且b2s2=64,b3s3=960. (1)求an與bn; (2)求,分析 易求得sn=n(n+2),而 ,應(yīng)用裂項(xiàng)法就能求出 的值.,(2)sn=3+5+(2n+1)=n(n+2),所以,解 （1）設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則d為正數(shù)， an=3+(n-1)d,bn=qn-1, 依題意有 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.,學(xué)后反思 如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可轉(zhuǎn)化為f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂項(xiàng) 求和的方法.特別地，當(dāng)數(shù)列形如 ，其中an是等差數(shù)列時(shí)，可嘗試采用此法. 常用裂項(xiàng)技巧如：,使用裂項(xiàng)法，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)；要注意由于數(shù)列an中每一項(xiàng)an均裂成一正一負(fù)兩項(xiàng)，所以互為相反數(shù)的項(xiàng)合并為零后，所剩正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)必是一樣多的，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn).實(shí)質(zhì)上，正負(fù)項(xiàng)相消是此法的根源和目的.,舉一反三 2. 求數(shù)列,的前n項(xiàng)和sn.,解析：,題型三 倒序相加法求和 【例3】 設(shè)函數(shù) 圖象上有兩點(diǎn)p1(x1,y1),p2(x2,y2)，若p為p1p2的中點(diǎn)，且p點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 (1)求證：p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)值； （2）求,分析 （1）由已知函數(shù)圖象上兩點(diǎn)p1,p2,可得 設(shè)p(x,y),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式去求 (2)根據(jù)（1）的結(jié)論：若x1+x2=1,則由f(x1)+f(x2)=1.可以得到 ，利用倒序相加法進(jìn)行求解. 解 (1)p為p1p2的中點(diǎn)，x1+x2=1, 又,(2)由x1+x2=1,得,學(xué)后反思 本題在求和時(shí)，運(yùn)用了第（1）問所得等式f(x)+f(1-x)=1得到通項(xiàng)的特征，即 ，由于距首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)相加的和為定值，所以可以用倒序相加法求和.,舉一反三 3. 如果函數(shù)f(x)滿足:對任意的實(shí)數(shù)m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)且f(1 005)=2,求f(2)+f(4)+f(6)+f(2 008)的值.,解析： 由f(x)對任意實(shí)數(shù)m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)，得 f(1 005)+f(1 005)=f(2 010)=2+2=4; f(2)+f(2 008)=f(2 010)=4; f(1 004)+f(1 006)=4. 令s=f(2)+f(4)+f(6)+f(2 008), 則s=f(2 008)+f(2 006)+f(2), 于是2s=f(2)+f(2 008)+f(4)+f(2 006)+f(2 008)+f(2)= 41 004=4 016,故s= 4 016=2 008.,題型四 分組法求和 【例4】(14分)(2008陜西)已知數(shù)列an的首項(xiàng) (1)證明：數(shù)列 是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列 的前n項(xiàng)和sn. 分析 (1)由已知條件利用等比數(shù)列的定義證明，即根據(jù) ，從中得到 的等式關(guān)系. （2）充分利用（1）的結(jié)論得出 欲求數(shù)列 的前n項(xiàng)和sn, 可先求出 的值.,解 (1)證明：,學(xué)后反思 某些數(shù)列，通過適當(dāng)分組，可得出兩個(gè)或幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求和，從而得出原數(shù)列的和.拆項(xiàng)法是通過對數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)的分析研究，將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)能求和的新數(shù)列的差，從而求得原數(shù)列的和的一種求和方法.,4. 求和:,解析： 當(dāng)x1時(shí)， 當(dāng)x=1時(shí)， =4n.,易錯(cuò)警示,【例1】 求和,錯(cuò)解 ,錯(cuò)解分析 錯(cuò)解中在計(jì)算 時(shí)，沒注意到項(xiàng)數(shù)是n+1項(xiàng)，而不是n項(xiàng)，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.,正解 ,【例2】在等差數(shù)列 中， 是數(shù)列 的前n項(xiàng)和. 若 , ,求,錯(cuò)解 由 由 ，得n5.5. 設(shè) ,錯(cuò)解分析 忽略對n的討論，由于n的不同，數(shù)列 并不是等差數(shù)列，當(dāng)n5時(shí), ,當(dāng)n6時(shí)，,正解 由 由 ,得n5.5. 設(shè) 當(dāng)n5時(shí)， 當(dāng)n5時(shí)，,考點(diǎn)演練,已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和 ,求 的值.,解析: 當(dāng)n2時(shí)， 當(dāng)n=1時(shí)， 故 (nn*), 原式=,11. 已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和 (1)求證：數(shù)列 是等差數(shù)列； （2）若 ,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和,解析： (1)證明： 當(dāng)n2時(shí)， 又因?yàn)?適合上式,故 (nn*). 當(dāng)n2時(shí), 所以 是等差數(shù)列且d=4,(2) , , -得 ,12. (2009湖北)已知 是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足 , (1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列 和數(shù)列 滿足等式: (n為正整數(shù))，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和,解析： (1)設(shè)等差數(shù)列 的公差為d,則依題設(shè)d0, 由 ,得 . 由 ,得 . 由得 ,將其代入得 ,即 , 又d0,d=2,代入得 (2)令 ,則有 , 由(1)得 , ,則 (n2),即當(dāng)n2時(shí)， 又當(dāng)n=1時(shí)， , ,n=1, ,n2.,于是 即,第三節(jié) 等比數(shù)列,基礎(chǔ)梳理,1. 等比數(shù)列的定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 公比，通常用字母q表示. 2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 一般地，對于等比數(shù)列an的第n項(xiàng)an,有公式an= a1qn-1 ,這就是等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式，其中a1為首項(xiàng)，q為公比. 3. 等比中項(xiàng) 如果 a,g,b成等比數(shù)列 ，那么g叫做a與b的 等比中項(xiàng).,4. 等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am qn-m (n,mn*). (2)若an為等比數(shù)列，且k+l=m+n(k、l、m、nn*),則 akal= aman. (3)若an,bn（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則 (bn0)仍是等比數(shù)列.,5. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列an的公比為q(q0),其前n項(xiàng)和為sn，當(dāng)q=1時(shí)，sn=na1;當(dāng)q1時(shí)，sn= a1+a1q+a1qn-1，即,6. 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,則sn,s2n-sn,s3n-s2n仍成等比數(shù)列.,題型一 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 【例1】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，它的前n項(xiàng)和為40,前2n項(xiàng)和為3 280,且前n項(xiàng)中數(shù)值最大項(xiàng)為27,求數(shù)列的第2n項(xiàng). 分析 利用前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于a1與q的方程組，求出a1與q即可，但是需注意的是應(yīng)分q=1和q1兩種情況討論. 解 若q=1，則na1=40,2na1=3 280，矛盾.,得1+qn=82,qn=81. 將代入，得q=1+2a1. 又q0,qn=81,q1,an為遞增數(shù)列. an=a1qn-1=27. 由、得q=3,a1=1,n=4. a2n=a8=137=2 187. 學(xué)后反思 在等比數(shù)列求基本量的運(yùn)算中“知三求二”問題通常是利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式建立方程(組)，解之即可，同時(shí)利用前n項(xiàng)和公式時(shí)需對q進(jìn)行討論.,解析: a9+a10=a, a9(1+q)=a, 又a19+a20=b,a19(1+q)=b, 由 得 則a99(1+q)=x, 由 得 答案:,舉一反三 1.(2009濰坊模擬)在等比數(shù)列 中, (a0), 則 =_.,題型二 等比數(shù)列的判定 【例2】已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an+1(nn*). (1)求證：數(shù)列an+1是等比數(shù)列; (2)求通項(xiàng)公式an. 分析 利用等比數(shù)列的定義證明 為非零常數(shù)即可. 解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. (2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.,學(xué)后反思 等比數(shù)列的判定方法主要有： (1)定義法: (q是不為0的常數(shù)，nn*)； (2)通項(xiàng)公式法：an=cqn(c,q均是不為0的常數(shù)，nn*); (3)中項(xiàng)公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不為零，nn*); (4)前n項(xiàng)和公式法： 是常數(shù)，且q0,q1).,舉一反三 2. (2010合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ,數(shù)列 是公比為2的等比數(shù)列.求證：數(shù)列 成等比數(shù)列的充要條件是,證明：數(shù)列 是公比為2的等比數(shù)列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2 顯然，當(dāng)n2時(shí)， 充分性:當(dāng) 時(shí)， ,所以對nn*,都有 ,即數(shù)列 是等比數(shù)列. 必要性:因?yàn)?是等比數(shù)列，所以 ,即 ,解得,題型三 等比數(shù)列的性質(zhì) 【例3】 (1)在等比數(shù)列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值； (2)已知一個(gè)等比數(shù)列的前四項(xiàng)之積為 ,第2、3項(xiàng)的和為 ,求這個(gè)等比數(shù)列的公比.,分析 (1)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解. （2）注意4個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法. 解 （1）由等比數(shù)列的性質(zhì),知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比數(shù)列，則(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.,(2)依題意，設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,aq,aq2,aq3, 則 學(xué)后反思 在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題中，一般是建立a1、q滿足的方程組，求解方程組，但如果可利用等比數(shù)列的性質(zhì)，便可減少運(yùn)算量，提高解題速度，要注意挖掘已知，注意“隱含條件”.,舉一反三 3. (1)在等比數(shù)列an中，s4=1,s8=3,求a17+a18+a19+a20的值. (2)在等比數(shù)列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.,解析： （1）s4,s8-s4,s12-s8,s16-s12,s20-s16成等比數(shù)列，而s4=1，s8-s4=2， a17+a18+a19+a20=s424=124=16. （）a3a5=a24, a3a4a5=a34=8, a4=2. 又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32,題型四 等比數(shù)列的最值問題 【例4】(14分)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=2 008，公比. (1)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，求f(n)的表達(dá)式; (2)當(dāng)n取何值時(shí)，f(n)有最大值？,分析 （1）求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an，然后根據(jù)f(n)=a1a2a3an求f(n)的表達(dá)式. （2）先判斷f(n)的符號，然后根據(jù)|f(n)|的單調(diào)性，進(jìn)一步解決問題.,解,當(dāng)n=12時(shí)，f(n)有最大值為 學(xué)后反思 只要明確a1的正負(fù)，q與1的大小關(guān)系即可確定等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,但是對于求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題的方法有:一是用定義，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，則f(n)為最大值；二是用函數(shù)法.,舉一反三 4. （2009濰坊模擬）已知等比數(shù)列bn與數(shù)列an滿足bn= （nn*）. (1)判斷an是何種數(shù)列，并給出證明； (2)若a8+a13=m,求b1b2b20; (3)若b3b5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值. 解析: (1)證明:設(shè)bn的公比為q, bn=3an, 3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q, an是以a1為首項(xiàng)，log3q為公差的等差數(shù)列.,（2）a8+a13=m, 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a1+a20=a8+a13=m. (3)由b3b5=39,得a3+a5=9.,易錯(cuò)警示,【例1】(2010臨沂質(zhì)檢)已知數(shù)列 中， ,前n項(xiàng)的和為 ,對任意的自然數(shù)n2， 是 與 的等差中項(xiàng). （1）求 的通項(xiàng)公式; (2)求,錯(cuò)解(1)由已知得 , 又 ,得 , 兩式相減得 ,故 , 又 ,故 (2)由于 是首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列， 故,錯(cuò)解分析 錯(cuò)解(1)主要忽視了 成立的前提n2,只能說明數(shù)列從第2項(xiàng)起為等比數(shù)列，至于整個(gè)數(shù)列 an是否為等比數(shù)列還需驗(yàn)證 是否等于 ，這種在解答過程中忽視數(shù)列“定義域”限制而致錯(cuò)的題目頻率是非常高的，應(yīng)引起足夠的重