北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)函數(shù)與方程.docx

學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)與方程考點(diǎn)梳理一、考試內(nèi)容集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集。|ax+b|c(c0)型不等式。一元二次不等式。映射、函數(shù)。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式。函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性。反函數(shù)，互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系。指數(shù)函數(shù)。對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則。對(duì)數(shù)函數(shù)，換底公式。簡(jiǎn)單的指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程。二、考試要求1.理解集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念。了解空集和全集的意義。了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義。能掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，能正確地表示一些較簡(jiǎn)單的集合。2.理解|ax+b|c(c0)型不等式的概念，并掌握它們的解法。了解二次函數(shù)、一元二次不等式及一元二次方程三者之間的關(guān)系，掌握一元二次不等式的解法。3.了解映射的概念，在此基礎(chǔ)上理解函數(shù)及其有關(guān)的概念，掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系。4.理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，并能判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。能利用函數(shù)的奇偶性來描繪函數(shù)的圖像。5.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、根式的概念，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則。6.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)。7.掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其圖像和性質(zhì)，并會(huì)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程。三、考點(diǎn)簡(jiǎn)析1.函數(shù)及相關(guān)知識(shí)關(guān)系表2.集合（1）作用地位“集合”是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象之一。學(xué)習(xí)集合的概念，有助于理解事物的邏輯關(guān)系和對(duì)應(yīng)關(guān)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)的抽象特征的理解，也能提高使用數(shù)學(xué)語言的能力。高考試題中，對(duì)集合從兩個(gè)方面進(jìn)行考查：一方面是考查對(duì)集合概念的認(rèn)識(shí)和理解水平，主要表現(xiàn)在對(duì)集合的識(shí)別和表達(dá)上。如對(duì)集合中涉及的特定字母和符號(hào)，元素與集合間的關(guān)系，集合與集合間的比較，另一方面，則是考查學(xué)生對(duì)集合知識(shí)的應(yīng)用水平，如求方程組、不等式組及聯(lián)立條件組的解集，以及設(shè)計(jì)、使用集合解決問題等。（2）重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)是集合的概念和表示法及交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算。難點(diǎn)是集合運(yùn)算的綜合運(yùn)用，特別是帶有參數(shù)的不等式解集的討論。（3）有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系ab=aab；ab=bab；abc uac ub；acub =cuab；cuab=iab。（4）交、并集運(yùn)算的性質(zhì)aa=a，a=，ab=ba；aa=a，a=a，ab=ba；cu (ab)= cuacub，cu (ab)= cuacub；（5）有限子集的個(gè)數(shù)：設(shè)集合a的元素個(gè)數(shù)是n，則a有2n個(gè)子集，2n1個(gè)非空子集。3.函數(shù)的性質(zhì)（1）函數(shù)的概念：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)；（2）函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、有界性、極（最）值性、對(duì)稱性、周期性等；（3）函數(shù)對(duì)稱性與周期性的幾個(gè)結(jié)論：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閞，且滿足條件f(a+x)=f(bx)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱；定義在r上的函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意x有f(x+a)=f(xb)，則y=f(x)是以t=a+b為周期的函數(shù)；定義在r上的函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意x滿足條件f(x)=2bf(2ax)，則y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱；若y=f(x)既關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于x=b（ab）對(duì)稱，則y=f(x)一定是周期函數(shù)，且t=2|ab|是它的一個(gè)周期；若y=f(x)既關(guān)于直線x=a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,c)中心對(duì)稱，則y=f(x)一定是周期函數(shù)，且t=4|ab|是它的一個(gè)周期。（4）函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性：奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖像分別關(guān)于原點(diǎn)與y軸對(duì)稱；任意定義在r上的函數(shù)f(x)都可以惟一地表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。即f(x)= +若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b(0ab)上單調(diào)遞增（減），則f(x)在區(qū)間b,a上也是單調(diào)遞增（減）；若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b（0af(b)，則ab;函數(shù)f(x)在r上單調(diào)遞減，若f(a)f(b)，則a0時(shí)，f(x)在區(qū)間p,q上的最大值m，最小值m，令x0=(p+q)。若p，則f(p)=m,f(q)=m;若px0，則f()=m,f(q)=m;若x0q，則f(p)=m,f()=m;若q,則f(p)=m,f(q)=m。（3）二次方程的實(shí)根分布條件：二次方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;二次方程f(x)=0的兩根都大于r二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)f(q)0，或（檢驗(yàn)）或（檢驗(yàn)）。二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(pq)（4）二次不等式的轉(zhuǎn)化策略：二次不等式f(x)0的解集是：(,，+a0且f()=f()=0.當(dāng)a0時(shí)，f()|+|;當(dāng)a0時(shí)，f()f() |+|0時(shí)，二次不等式f(x)0在p,q上恒成立或或f(x)0恒成立或f(x)0時(shí)，函數(shù)圖像過點(diǎn)（1，1），（0，0），且在第一象限內(nèi)隨x增加，圖像上升；當(dāng)n1時(shí)，在r上是增函數(shù)。當(dāng)0a1時(shí)，在（0,+ ）上是增函數(shù)。當(dāng)0a1時(shí)，在(0,+ )上是減函數(shù)。6.對(duì)數(shù)運(yùn)算常用公式（1）a=n（2）logam+logan=loga(mn)（3）logamlogan=loga（4）logamn=nloga|m|（5）loga=loga|m|（6）loga=loga|m|（7）logbm=（8）（9）logablogbc=logac四、思想方法1.求函數(shù)解析式的方法：配方法與代入法。2.求值域的常用方法：觀察法，函數(shù)單調(diào)性法，求逆函數(shù)法，分離法，配方法，換元法，判別式法，不等式法等。3.函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，即先構(gòu)造函數(shù)，把給定問題轉(zhuǎn)化對(duì)輔助函數(shù)的性質(zhì)研究，得出所需的結(jié)論。方程思想，就是把對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)，歸納為對(duì)方程和方程組的認(rèn)識(shí)。對(duì)于函數(shù)思想，應(yīng)深刻理解一般函數(shù)y=f(x)、的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值和圖像變換）。熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基礎(chǔ)。函數(shù)方程思想常同數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想相互融合后才能充分發(fā)揮其具體解題的功效?！纠}解析】例1 （1）已知集合a=x|x2ax+a219=0，集合b=x|log2(x25x+8)=1，集合c=x|m=1,m0，|m|1滿足ab, ac=，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知集合p=x|x25x+40,q=x|x22bx+b+20滿足pq，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。解 （1）由條件即可得b=2，3，c=4，2，由ab，ac=，可知3a，2a。將x=3代入集合a的條件得：a23a10=0a=2或a=5當(dāng)a=2時(shí)，a=x|x2+2x15=0=5,3,符合已知條件。當(dāng)a=5時(shí),a=x|x25x+6=0=2，3，不符合條件“ac”=，故舍去。綜上得：a=2。（2）顯然p=x|1x4，記f(x)=x22bx+b+2若q為空集，則由0得：4b24(b+2)0 1b2。若q不是空集，則應(yīng)滿足 即解之得：2b綜上得：1g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值為36，最小值為9。（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有兩個(gè)解。而在1000，1000上有200個(gè)周期，至少有400個(gè)解。又f(1000)=0所以最少有401個(gè)解。且這401個(gè)解的和為200。注 題中（2）可根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性、函數(shù)的周期性，通過作圖得到f(x)= 一般地：當(dāng)x3，2時(shí)，4x2,7f(x)=f(4x)=(x2)2當(dāng)x3,7,f(x)=(x2)2故當(dāng)x3+10k,7+10k,x10k3,7f(x)= (x10k2)2(kz)f(x)= (x10k2)2 x3+10k,7+10k,（kz）例3 設(shè)a是正數(shù)，ax+y=2(x0,y0)，記y+3xx2的最大值是m(a)，試求：（1）m(a)的表達(dá)式；（2）m(a)的最小值。解 將代數(shù)式y(tǒng)+3xx2表示為一個(gè)字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立關(guān)于x的二次函數(shù)，逐步進(jìn)行分類求m(a)。（1）設(shè)s(x)=y+3xx2,將y=2ax代入消去y，得：s(x)=2ax+3xx2 =x2+(3a)x+2 =x(3a)2+(3a)2+2(x0)y0 2ax0而a0 0x下面分三種情況求m(a)(i)當(dāng)03a0)，即時(shí)解得 0a1或2a0)即時(shí)，解得：1a2，這時(shí)m(a)=s()=2a+3 =+(iii)當(dāng)3a0；即a3時(shí)m(a)=s(0)=2綜上所述得：m（a）=（2）下面分情況探討m(a)的最小值。當(dāng)0a1或2a2當(dāng)1a2時(shí)m(a)=+=2()2+1a21當(dāng)=時(shí)，m(a)取小值，即m(a)m（2）=當(dāng)a3時(shí)，m(a)=2經(jīng)過比較上述各類中m(a)的最小者，可得m(a)的最小值是2。注 解題經(jīng)驗(yàn)的積累，有利于解題思路的挖掘，對(duì)參數(shù)a的分類，完全依據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)3a是否在定義域區(qū)間0，內(nèi)，這樣就引出三種狀態(tài)，找出解題的方案。例4 已知函數(shù)f(x)=x(pz)在(0,+)上是增函數(shù)，且在其定義域上是偶函數(shù)。（1）求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x)的解析式。（2）對(duì)于（1）中求得的函數(shù)f(x)，設(shè)函數(shù)g(x)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，問是否存在實(shí)數(shù)q(q0。f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，p2+p+0解得：1p3,而pzp=0,1,2當(dāng)p=0或2時(shí)，有f(x)=x不是偶函數(shù)，故p=1，此時(shí),f(x)=x2。（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行探索求解。f(x)=x2g(x)=qx4+(2q1)x2+1假設(shè)存在實(shí)數(shù)q(q0)，使得g(x)滿足題設(shè)條件。設(shè)x1x2,則g(x1)g(x2)=qx14+(2q1)x12+qx24(2q1)x22=(x1+x2) (x2x1) q(x12+x22)(2q1)若x1,x2(,4，易知x1+x20,要使g(x)在(,4上是遞減函數(shù)，則應(yīng)有q(x12+x22)(2q1)0恒成立x132，而q0q( x12+x22)32q從而要使q( x12+x22)2q1恒成立，則必有2q132q即 q若x1,x2(4，)，易知(x1+x2) (x2x1)0恒成立4x10,4x20x12+x2232，而q32q要使q( x12+x22)2q1恒成立，則必有2q132q,即 q綜合以上兩方面，得q=故存在實(shí)數(shù)q=，使得g(x)在(,4上是減函數(shù)，且在(4,0)上是增函數(shù)。注 本例是一道綜合性較強(qiáng)的題目。對(duì)于第（2）小題，還可以從復(fù)合函數(shù)性質(zhì)方面來考慮，就有如下解法：設(shè)t=x2，由g(x)在(,4上是減函數(shù)，在(4,0)上是增函數(shù)，而t=x2在16，+和(0,16)上都是增函數(shù)，得h(t)=qt2+(2q1)t+1在（0，16）上是增函數(shù)，在16，+上是減函數(shù)，從而可得=16 q=例5 設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)閞，當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，且對(duì)任意x,yr，有f(x+y)=f(x)f(y)。（1）證明：f(0)=1;（2）證明：f(x)在r上是增函數(shù)；（3）設(shè)集合a=(x,y)|f(x2)f(y2)0時(shí)，f(x)1。則設(shè)x=0,y=1得：f(0+1)=f(0)f(1)，即f(1)=f(0)f(1)f(1)1 f(0)=1（2）證明f(x)在r上是增函數(shù)，即證明當(dāng)x1x2時(shí)，有f(x1)f(x2)。對(duì)x1,x2r,x10f(x2)=f(x1+x2x1)=f(x1)f(x2x1)中有f(x2x1)1故要證明f(x2)f(x1)，只要證明f(x1)0即可。事實(shí)上，當(dāng)x10時(shí)，f(x1)10當(dāng)x1=0時(shí)，f(x1)=10當(dāng)x11 0f(x1)0f(x2)=f(x1)f(x2x1)f(x1)，故命題得證。（3）解 a：f(x2+y2)f(1)，則由單調(diào)性知x2+y20，得f(x)=，證得f(x)0恒成立。且=f(x2)f(x1)=f(x2x1)1f(x2)f(x1)例6 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=bx，其中a、b、c滿足abc,a+b+c=0(a,b,cr)。（1）求證：兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)a、b；（2）求線段ab在x軸上的投影a1b1的長度的取值范圍。解 （1）證：由消去y，得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+)2+c2此證法不夠自然 abc ，c不同時(shí)為00，即兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)。（2）設(shè)方程ax22bx+c=0的兩根為x1和x2，則x1+x2=,x1x2=|a1b1|2=( x1x2)2=( x1+x2)24x1x2 =()2=4()2+1=4(+)2+abc，a+b+c=0，a0,c0，求證：（1）pf()0，所以，pf()0時(shí)，由（1）知f()0，則f(0)0，又()0 又f()0，所以f(x)=0在（,1）內(nèi)有解。當(dāng)p0),已知二次方程f(x)x=0的兩個(gè)根x1與x2滿足0x1x2。（1）證明：當(dāng)u(0,x1)時(shí)，uf(u)x1;（2）若f(x0x)=f(x0+x)，證明：2x0x1。證法一 （1）令f(x)=f(x)x，因?yàn)閤1,x2是方程f(x)x=0的根，所以可設(shè)f(x)=a(xx1)(xx2)當(dāng)u（0，x1）時(shí)， x10，又a0，得f(u)=a(ux1)(ux2)0，即uf(u)x1f(u)=x1(u+f(u) =(x1u)1+a(ux2)0ux1x20,1+a(ux2)=1+auax21ax20，得x1f(u)0。 f(u)x1故當(dāng)u（0，x1）時(shí)，uf(u)x1（2）依題意得x0=x1,x2是方程f(x)x=0的兩根，即x1,x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根，所以x1+x2=x0=ax21, x0=，即2x0x1。證法二 （1）方程f(x)x=0的兩根為x1,x2 f(x)x=a(xx1)(xx2)故欲證uf(u)x10f(u)ux1u0a(ux1)(ux2)x1u0a(x2u)0）0x2u0)又0ux2, 0x2u成立。故uf(u)x1成立。（2）由于方程x1,x2是方程f(x)x=0的根，也即ax2+(b1)x+c=0的兩根。x1+x2=+又0x2x1+x2=+x1又x0=，故2x00。（1）求f()及f();（2）證明f(x)是周期函數(shù)；（3）記an=f(2n+),求(lnan)。解 （1）f(1)=f(+)=f()f()=f2()=af()=又f()=f(+)=f2()0 f()=a 同理可得f()=a（2）f(x)是偶函數(shù)， f(x)=f(x)又f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱，f(x)=f(2x)f(x)=f(x)=f2(x)=f(2+x) （xr）這表明f(x)是r上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期。（3）對(duì)于x0，1，有0, f(x)=f(+)=f()f()0 （x0,1）（，其中，不能同時(shí)為0，）f()=f(n)=f+(n1)=f()f(n1)=f()f()f()=f()n又f()=a,f()=af(2n+)=f() an=a(lnan)= (lna)=0例10 已知a,b,c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b，當(dāng)1x1時(shí)，|f(x)| 1。（1）證明：|c|1;（2）證明：當(dāng)1x1時(shí)，|g(x)| 2;（3）設(shè)a0，當(dāng)1x1時(shí)，g(x)的最大值為2，求f(x)。解 （1）取x=01，1，由已知得：|c|=|f(0)| 1(2) 因?yàn)間(x)=ax+b是關(guān)于x的一次函數(shù)（也可能是常數(shù)函數(shù)），所以g(x)在區(qū)間1，1上單調(diào)（a0時(shí)，單調(diào)遞增；a0時(shí)，g(x)在1，1上是增函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取得最大值2，即2=g(1)=f(1)f(0)所以 1f(0)=f(1)212=1從而得：c=f(0)=1又當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)1=f(0)，表明二次函數(shù)f(x)在1，1上不單調(diào)，所以有1,1，且 f()=f(0)=1。又由二次函數(shù)極值的惟一性得：=0，即b=0,a=2，所以 f(x)=2x21。注 本題第（2）小題還可這樣證明：用f(1),f(0),f(1)表示出a,b,c。由解得：a=f(0),b=,c=f(0)故|g(x)|=|ax+b| =|f(0)x+| =|f(1)+ f(1)xf(0)| |f(1)|+|f（1）|+|x|f(0)| |+|+1 =+1 =2學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)與方程綜合能力訓(xùn)練【綜合能力訓(xùn)練】一、選擇題1.已知集合m=x|x2+6x160,n=x|(xk)(xk2)0,mn，則k的取值范圍是（ ）a.k0b.k2c.8k0d.k8或k02.已知集合m=x|x2=a2,ax|x是正實(shí)數(shù)，集合n=x|nx=a，a0，若nm，則n取值的集合是（ ）a.1b.1c.1,1d.1,0,13.已知函數(shù)f(x)=x2,集合a=x|f(x1) =ax,xr，且ax|x是正實(shí)數(shù)=x|x是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）a.（4,+）b.（，1c.（0,+）d.（,40,+4.函數(shù)y=x的值域是（ ）a.,+b.（，c.,+d.(, +)5.已知函數(shù)f(x)=4x2+4axa24a(a0)在區(qū)間0,1上有最大值12，則實(shí)數(shù)a的值為( )a.1b.2c.3d.66.函數(shù)f(x)=x22xsin+sin1(r)在區(qū)間0，1上的極小值為g(sin)，則g(sin)的最小、最大值是( )a.最小值1，最大值b.最小值3，最大值c.最小值2，最大值d.無最小值，最大值7.當(dāng)0x1時(shí)，函數(shù)y=ax+a1的值有正值也有負(fù)值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）a.a1c.a1d.ag(a)g(b)成立的是（ ）a.ab0b.ab0d.ab1（或x2，則a的取值范圍是（ ）a.(,1)(1,2)b.(0,)(1,2)c.(1,2)d.(0,)(2,+)二、填空題13.函數(shù)y=+logx的值域是 。14.已知f(x)=a(a為不等于1的正數(shù))，且f(lga)=，則a= 。15.x0是x的方程ax=logax(0a1)的解，則x0,1,a這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是 。16.若函數(shù)f(x)=ax+blog2(x+)+1在(,0)上有最小值3(a,b為非零常數(shù))，則函數(shù)f(x)在（0，+）上有最 值為 。三、解答題17.設(shè)f(x)是定義在（，+）上的函數(shù)，對(duì)一切xr均有f(x)+f(x+3)=0，且當(dāng)1x1時(shí)，f(x)=2x3，求當(dāng)20有意義，且滿足條件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非減函數(shù)。（1）證明f(1)=0;（2）若f(x)+f(x2)2成立，求x的取值范圍。20.設(shè)集合a=x|4x2x+2+a=0,xr。（1）若a中僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值集合b；（2）若對(duì)于任意ab，不等式x26xa(x2