北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)直線和圓.docx

學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：直線和圓【考點(diǎn)梳理】一、考試內(nèi)容1有向線段。兩點(diǎn)間的距離。線段的定比分點(diǎn)。2直線的方程。直線的斜率。直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程。直線方程的一般式。3兩條直線平行與垂直的條件。兩條直線所成的角。兩直線交點(diǎn)。點(diǎn)到直線的距離。4圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。二、考試要求1理解有向線段的概念。掌握有向線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。2理解直線斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式。熟練掌握直線方程的點(diǎn)斜式，掌握直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式、截距式以及直線方程的一般式。能夠根據(jù)條件求出直線的方程。3掌握兩條直線平行與垂直的條件，能夠根據(jù)直線的方程判定兩條直線的位置關(guān)系。會(huì)求兩條相交直線的夾角和交點(diǎn)。掌握點(diǎn)到直線的距離公式。4熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。能夠根據(jù)條件求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。掌握直線和圓的位置關(guān)系的判定方法。三、考點(diǎn)簡析1有向線段。有向線段是解析幾何的基本概念，可用有向線段的數(shù)量來刻劃它，而在數(shù)軸上有向線段ab的數(shù)量ab=xb-xa。2兩點(diǎn)間的距離公式。不論a(x1，y1)，b(x2，y2)在坐標(biāo)平面上什么位置，都有d=|ab|=，特別地，與坐標(biāo)軸平行的線段的長|ab|=|x2-x1|或|ab|=|y2-y1|。3定比分點(diǎn)公式。定比分點(diǎn)公式是解決共線三點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x，y)之間數(shù)量關(guān)系的一個(gè)公式，其中的值是起點(diǎn)到分點(diǎn)，分點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量之比。這里起點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn)的位置是可以任意選擇的，一旦選定后的值也就隨之確定了。若以a為起點(diǎn)，b為終點(diǎn)，p為分點(diǎn)，則定比分點(diǎn)公式是。當(dāng)p點(diǎn)為ab的中點(diǎn)時(shí)，=1，此時(shí)中點(diǎn)公式是。4直線的傾斜角和斜率的關(guān)系（1）每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率。（2）斜率存在的直線，其斜率k與傾斜角之間的關(guān)系是k=tan。5確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90的直線不能用此式點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上已知點(diǎn)，k斜率傾斜角為90的直線不能用此式兩點(diǎn)式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個(gè)已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式截距式+=1a直線的橫截距b直線的縱截距過（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式ax+by+c=0，分別為斜率、橫截距和縱截距a、b不能同時(shí)為零6平面上直線與二元一次方程是一一對(duì)應(yīng)的。7兩條直線的夾角。當(dāng)兩直線的斜率k1，k2都存在且k1k2 -1時(shí)，tan=，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可結(jié)合圖形判斷。另外還應(yīng)注意到：“到角”公式與“夾角”公式的區(qū)別。8怎么判斷兩直線是否平行或垂直？判斷兩直線是否平行或垂直時(shí)，若兩直線的斜率都存在，可以用斜率的關(guān)系來判斷；若直線的斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來判斷。（1）斜率存在且不重合的兩條直線l1y=k1x+b1， l2y=k2x+b2，有以下結(jié)論：l1l2k1=k2l1l2k1k2= -1（2）對(duì)于直線l1a1x+b1y+c1=0， l2a2x+b2y+c2=0，當(dāng)a1，a2，b1，b2都不為零時(shí)，有以下結(jié)論：l1l2=l1l2a1a2+b1b2 = 0l1與l2相交l1與l2重合=9點(diǎn)到直線的距離公式。（1）已知一點(diǎn)p（x0，y0）及一條直線l：ax+by+c=0，則點(diǎn)p到直線l的距離d=；（2）兩平行直線l1:ax+by+c1=0， l2:ax+by+c2=0之間的距離d=。10確定圓方程需要有三個(gè)互相獨(dú)立的條件。圓的方程有兩種形式，要注意各種形式的圓方程的適用范圍。（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，其中（a，b）是圓心坐標(biāo)，r是圓的半徑；（2）圓的一般方程：x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2-4f0），圓心坐標(biāo)為（-，-），半徑為r=。11直線與圓的位置關(guān)系的判定方法。（1）法一：直線：ax+by+c=0；圓：x2+y2+dx+ey+f=0。一元二次方程（2）法二：直線:ax+by+c=0；圓：(x-a)2+(y-b)2=r2，圓心（a，b）到直線的距離為d=12兩圓的位置關(guān)系的判定方法。設(shè)兩圓圓心分別為o1、o2，半徑分別為r1，r2，|o1o2|為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：|o1o2|r1+r2兩圓外離；|o1o2|=r1+r2兩圓外切；| r1-r2|o1o2| r1+r2兩圓相交；| o1o2 |=| r1-r2|兩圓內(nèi)切；0| o1o2|0，x20由解得 k23。由雙曲線左準(zhǔn)線方程 x=-1且e=2，有|am1|bm1|=e|x1+1|e|x2+1|=4x1x2+(x1+x2)+1=4(+1)=100+k2-30，|am1|bm1|100又當(dāng)直線傾斜角等于時(shí)，a(4，y1)，b(4，y2)，|am1|=|bm1|=e(4+1)=10|am1|bm1|=100故 |am1|bm1|100。例2 如圖9-1，已知圓c：（x+4）2+y2=4。圓d的圓心d在y軸上且與圓c外切。圓 d與y軸交于a、b兩點(diǎn)，點(diǎn)p為(-3，0)。（1）若點(diǎn)d坐標(biāo)為（0，3），求apb的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)d在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求apb的最大值；（3）在x軸上是否存在定點(diǎn)q，當(dāng)圓d在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，aqb是定值？如果存在，求出點(diǎn)q坐標(biāo)；如果不存在，說明理由。解 （1）|cd|=5，（o為原點(diǎn)）且圓d與圓c外切，圓d半徑r=5-2=3，此時(shí)，a、b坐標(biāo)分別為（0，0）、（0，6），pa在x軸上，且bp的斜率k=2，tanapb=2。（2）如圖9-2，設(shè)d的坐標(biāo)為(0，a)，圓d的半徑為r，則(r+2)2=16+a2。設(shè)pa、pb的斜率為k1、k2，又a、b的坐標(biāo)分別為(0，a-r)、(0，a+r)。則k1=，k2=，tanapb=由解出a2代入，得tanapb=+，而8r-6為單調(diào)增函數(shù)，r2，+。tanapb(，apb的最大值為arttan。（3）假設(shè)存在q點(diǎn)，設(shè)q(b，0)，qa、qb的斜率分別為k1，k2，則k1=，k2=，tanaqb=|=|=|將a2=(r+2)2 16代入上式，得tanaqb=|=|欲使aqb大小與r無關(guān)，則應(yīng)有b2=12，即b=2，此時(shí)tanaqb=，aqb=60。存在q點(diǎn)，當(dāng)圓d變動(dòng)時(shí)，aqb為定值60，這q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）。例3 設(shè)正方形abcd（a、b、c、d順時(shí)針排列）的外接圓方程為x2+y2-6x+a=0（a9），c、d點(diǎn)所在直線l的斜率為。（1）求外接圓圓心m點(diǎn)的坐標(biāo)及正方形對(duì)角線ac、bd的斜率；（2）如果在x軸上方的a、b兩點(diǎn)在一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程；（3）如果abcd的外接圓半徑為2，在x軸上方的a、b兩點(diǎn)在一條以x軸為對(duì)稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程。解 （1）由(x-3)2+y2=9-a(a0)，由于a，b兩點(diǎn)在拋物線上， 解出：r=，p=。得拋物線方程為y2=x。由此可知a點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），且a點(diǎn)關(guān)于m(3，0)的對(duì)稱點(diǎn)c的坐標(biāo)是(5，-1)，直線l的方程為y -（-1）=(x-5)，即x-3y-8=0。（3）將圓方程(x-3)2+y2=(2)2分別與ac、bd的直線方程：y= -(x-3)，y=2(x-3)聯(lián)立，可解得a(-1，2)，b(5，4)。設(shè)拋物線方程為y2=a(x-m) (*)將a(-1，2)、b(5，4)的坐標(biāo)代入(*)，得解得：a=2，m= -3，拋物線的方程為y2=2(x+3)。a(-1，2)點(diǎn)關(guān)于m(3，0)的對(duì)稱點(diǎn)為c(7，-2)，故直線l的方程為y-(-2)=(x-7)，即x-3y-13=0。例4 如圖9-3，已知：射線oa為y=kx(k0，x0)，射線ob為y= -kx(x0)，動(dòng)點(diǎn)p(x，y)在aox的內(nèi)部，pmoa于m，pnob于n，四邊形onpm的面積恰為k.（1）當(dāng)k為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)p的縱坐標(biāo)y是橫坐標(biāo)x的函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)y=f(x)的解析式；（2）根據(jù)k的取值范圍，確定y=f(x)的定義域。解 （1）設(shè)m(a，ka)，n(b，-kb)，(a0，b0)。則|om|=a，|on|=b。由動(dòng)點(diǎn)p在aox的內(nèi)部，得0y0，y=（2）由0ykx，得0kx (*)當(dāng)k=1時(shí)，不等式為0。當(dāng)0k1時(shí)，由不等式得x2，x，(*)x1時(shí)，由不等式得x2，且但垂足n必須在射線ob上，否則o、n、p、m四點(diǎn)不能組成四邊形，所以還必須滿足條件yx，將它代入函數(shù)解析式，得x解得x1)，或xk（0；當(dāng)0k1時(shí)，定義域?yàn)閤|x1時(shí)，定義域?yàn)閤|x。例5 已知函數(shù)f(x)=x2-1(x1)的圖像為c1，曲線c2與c1關(guān)于直線y=x對(duì)稱。（1）求曲線c2的方程y=g(x)；（2）設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)閙，x1，x2m，且x1x2，求證|g(x1)-g(x2)|x1-x2|;（3）設(shè)a、b為曲線c2上任意不同兩點(diǎn)，證明直線ab與直線y=x必相交。解 （1）曲線c1和c2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)。y=x2-1，x2=y+1，又x1x=則曲線c2的方程為g(x)= (x0)。（2）設(shè)x1，x2m，且x1x2。則x1-x20。又x10， x20，|g(x1)-g(x2)|=| -|=|x1-x2|（3）設(shè)a(x1，y1)、b（x2，y2）為曲線c2上任意不同兩點(diǎn)。x1，x2m，且x1x2，由（2）知，|kab|=|=0)，圓心o在拋物線x2=2py上運(yùn)動(dòng)，mn為圓o截x軸所得的弦，令|am|=d1，|an|=d2，man=。（1）當(dāng)o點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|mn|是否有變化？并證明你的結(jié)論；（2）求+的最大值，并求取得最大值的值。解 (1)設(shè)o(x0，y0)，則x02=2py0 (y00)，o的半徑|oa|=，o的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x2-2x0x+x02-p2=0，解得xm=x0 p，xn=x0+p，|mn|=| xn xm|=2p為定值。（2）m(x0-p，0) ，n(x0+p，0) d1=，d2=，則d12+d22=4p2+2x02，d1d2=，+=2=22=2當(dāng)且僅當(dāng)x02=2p2，即x=p，y0=p時(shí)等號(hào)成立，+的最大值為2。此時(shí)|ob|=|mb|=|nb|（b為mn中點(diǎn)），又om=on，omn為等腰直角三角形，mon=90，則=mon=45。例7 已知函數(shù)y=log2(nn)。（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，把已知函數(shù)的圖像和直線y=1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次記為a1， a2， a3，求證a1+ a2+ a3+ an1；（2）對(duì)于每一個(gè)n的值，設(shè)a n、b n為已知函數(shù)的圖像上與x軸距離為1的兩點(diǎn)，求證n取任意一個(gè)正整數(shù)時(shí)，以a n b n為直徑的圓都與一條定直線相切，并求出這條定直線的方程和切點(diǎn)的坐標(biāo)。解 原函數(shù)可化為：y=logx。（1）y=1時(shí)，可求得x=()n，即an=()n=（）n-1，an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。a1+ a2+ a3+ an=1-0)內(nèi)不為圓心的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=a2與該圓的位置關(guān)系是（ ）a相切b相交c相離d相切或相交5圓x2+2x+y2+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點(diǎn)共有（ ）a1個(gè)b2個(gè)c3個(gè)d4個(gè)6直線x+y-1=0沿y軸正方向平移1個(gè)單位再關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，所得直線的方程是（ ）ax+y+2=0bx-y-2=0cx+y-2=0dx-y+2=07已知兩點(diǎn)a(-2,0),b(0,2)，點(diǎn)c是圓x2+y2-2x=0上的任意一點(diǎn)，則abc的面積最小值是（ ）a3-b3+cd8已知三條直線l1：y=x-1, l2：y=1, l3：x+y+1=0。設(shè)l1與l2的夾角為，l1與l3的夾角為，則+等于（ ）a45b75c105d1359直線（t為參數(shù)）上到點(diǎn)a(-2,3)的距離等于的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）a(-2,3)b(-4,5)c(-2-,3+)d(-3,4)10將直線x+y=1繞(1,0)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，再向上平移1個(gè)單位與圓x2+(y-1)2=r2相切，則r的值是( )abcd111若曲線x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0關(guān)于直線y-x=0對(duì)稱的圖形仍是其本身，則實(shí)數(shù)a=( )abc或-d-或12若圓(x-1)2+(y+1)2=r2上有僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x+3y=11的距離等于1，則半徑r的取值范圍是（ ）ar1br3c1r0，得m5。（2）設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2)，由omon得x1x2+ y1y2=0。將直線方程x+2y-4=0與曲線c：x2+y2-2x-4y+m=0聯(lián)立并消去y得5x2-8x+4m-16=0，由韋達(dá)定理得x1+x2=,x1x2=，又由x+2y-4=0得y= (4-x), x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1) (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。將、代入得m=.20.解 作mcab交pq于點(diǎn)m，則mc是兩圓的公切線，|mc|=|mq|，|mc|=|mp|，即m為pq的中點(diǎn)。設(shè)m(x,y)，則點(diǎn)c，o1，o2的坐標(biāo)分別是(x,0),( ,0)（，0）。連o1m，o2m，由平幾知識(shí)得：o1mo2=90，有|o1m|2+|o2m|2=|o1o2|2，即：(x-)2+y2+(x-)2+y2=(-)2,化簡得x2+4y2=9。又點(diǎn)c(x,0)在線段ab上，且ac，bc是圓的直徑