正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的推廣本科畢業(yè)論文.doc

第 18 頁(yè) 共 18頁(yè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法的推廣摘要：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法在級(jí)數(shù)的收斂法中占有極其重要的地位常見(jiàn)的判別法有比較判別法，達(dá)朗貝爾比值判別法，柯西判別法，高斯判別法,柯西積分判別法等對(duì)于上述判別法，它們都有一定的條件限制，為了找到更簡(jiǎn)單，適用條件更廣的判別法，國(guó)內(nèi)外學(xué)者或者在一般判別法的基礎(chǔ)上做了推廣或者提出了一些新的判別法近幾年，關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法又有了一些新的研究，主要是針對(duì)一些新判別法的適用條件進(jìn)行了討論本文主要分兩部分對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法進(jìn)行了推廣，第一部分對(duì)比值判別法進(jìn)行了推廣，給出了比值判別法在失效情況下的判別方法，這也是本文的主要部分，第二部分對(duì)比較判別法進(jìn)行了推廣這些推廣的新的判別法解決了原判別法的條件限制，使其更具一般性，適用性更廣關(guān)鍵詞：正項(xiàng)級(jí)數(shù)；收斂性；發(fā)散性；判別法a generalization of convergence criterion for positive progressionsyang rui(0301 mathematics and applied mathematics school of science )the instructor: song wen-qingabstract: convergence criterion for positive progressions holds the extremely important status in the progression the common criterions include the comparison distinction law, reaches the bright bell ratio distinction law, west the tan oak distinguishes the law, gauss distinguishes the law, west the tan oak the integral distinction law and so on, but these distinction laws all have the certain condition limit in order to find out more simply and more widely-used distinction laws, domestic and foreign scholars have made some promotion or worked out some new distinction laws in recent years, there are several new researches about positive progressions astringency distinguished the law mainly aiming at discussing applicable requirements of new distinction law this article was mainly divided in 2 parts to carry on the promotion of the series of positive progressions distinction law the first part promotes specific value distinction law as well as shows distinguishable methods when it doesnt work it is also the main part of this workthe second part carries on the promotion of the comparison distinction law and it uses the corresponding distinction law to judge the series of positive progressions astringency these new distinction laws have solved the require mental limits of the original distinction laws making them more general, making their serviceability broaderkeywords: positive progression series; convergence; divergence; criterion1 引言正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法在級(jí)數(shù)的收斂法中占有極其重要的地位常見(jiàn)的判別法有比較判別法，達(dá)朗貝爾比值判別法，柯西判別法，高斯判別法，柯西積分判別法等由于條件的限制，在判斷某些類型的題目時(shí)會(huì)失效，所以必須要尋找一些新的判別法來(lái)解決這些題本文主要對(duì)比較判別法、達(dá)朗貝爾判別法進(jìn)行了推廣下面先介紹比較判別法、達(dá)朗貝爾判別法以及正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的相關(guān)定理定理 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有界，即存在某正數(shù)m，對(duì)一切正整數(shù)n有n都有 ，(i)若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；(ii)若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散定理設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在某正整數(shù)及常數(shù)q（0q,成立不等式 則級(jí)數(shù)收斂(ii)若對(duì)一切n,成立不等式 則級(jí)數(shù)發(fā)散定理若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則 (i)當(dāng)q1或q=時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 2達(dá)朗貝爾判別法的推廣與應(yīng)用21達(dá)朗貝爾判別法的一類推廣與應(yīng)用由達(dá)朗貝爾判別法判別法極限形式知，當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，我們無(wú)法直接用達(dá)朗貝爾判別法判別法判斷其斂散性，此時(shí)這種判別法失效，為了解決這一問(wèn)題，給出新的判別法新的判別法適用條件更廣，運(yùn)算更簡(jiǎn)潔211達(dá)朗貝爾判別法判別法的第一種推廣引理正項(xiàng)級(jí)數(shù)若，且則(i) 當(dāng)p時(shí)，則級(jí)數(shù)發(fā)散定理1 若，則級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂（其中m是大于1的正整數(shù)）證明：（1）設(shè)則( )+()+()+() =所以若級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)也發(fā)散由（1）（2）得，級(jí)數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)收斂對(duì)于一般項(xiàng)收斂較慢的級(jí)數(shù)，定理1給出了一個(gè)判別法，觀其條件還可以進(jìn)行推廣，得到更一般的形式，用定理的形式敘述如下：定理2：正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，存在，使得，則（1）當(dāng)p時(shí)，則級(jí)數(shù)發(fā)散證明：令，由定理知 與同收斂，與同收斂，所以與同收斂所以 即 =當(dāng) 當(dāng) 時(shí)，,故級(jí)數(shù)收斂，從而收斂;當(dāng) 時(shí)，故級(jí)數(shù)發(fā)散，從而發(fā)散證明完畢212應(yīng)用舉例例1：考察級(jí)數(shù)是否收斂解: 由定理，取，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散例2：考察級(jí)數(shù)是否收斂解：又因?yàn)?=1而 即所以級(jí)數(shù)發(fā)散例3：討論級(jí)數(shù)的斂散性解：本題利用達(dá)朗貝爾判別法無(wú)法判斷，并且不容易積分，所以利用積分判別法也不能解決，由定理，取，則所以，該級(jí)數(shù)收斂22達(dá)朗貝爾判別法的第二種推廣與應(yīng)用221達(dá)朗貝爾判別法的第二種推廣定理兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和，如果從某項(xiàng)起下列不等式成立： （1） 則級(jí)數(shù)收斂那么級(jí)數(shù)一定收斂，級(jí)數(shù)發(fā)散那么級(jí)數(shù)一定發(fā)散證明： 任取一自然數(shù)，使得p=,設(shè)引理中的不等式（1）對(duì)于任意的恒成立，可以把引理中的不等式（1）變形為：,即 （i=0, 1，2，）令 ，則(1) 當(dāng)時(shí)，成立(2) 當(dāng)時(shí)，可將n寫(xiě)成，則其中一定有若時(shí)，則成立若時(shí)，則可將寫(xiě)成，其中，使得，若，不成立，則要繼續(xù)進(jìn)行下去，經(jīng)過(guò)有限次總能得到使得從而得到：成立因此 ，恒有成立由比較判別法知：若級(jí)數(shù)收斂，那么級(jí)數(shù)一定收斂，若級(jí)數(shù) 發(fā)散，那么級(jí)數(shù) 一定發(fā)散證明完畢下面根據(jù)定理1，推廣出一個(gè)關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法，以定理的形式敘述如下：定理2 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則(1) 當(dāng)p時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散證明：（1）當(dāng)p1）級(jí)數(shù)收斂，且當(dāng)n充分大時(shí)有 成立又因?yàn)?，顯然 對(duì)n充分大時(shí)有 和那么根據(jù)引理2，級(jí)數(shù)收斂（2）當(dāng)p時(shí)，對(duì)于正整數(shù)使，當(dāng)時(shí)，有 和 令， 則 ，而 ，故 和 成立又 是發(fā)散的，由定理1得 發(fā)散將定理2推廣到一般的形式，敘述如下：定理3 關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)與，若存在自然數(shù)n，當(dāng)nn時(shí)，不等式成立，則(1) 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；(2) 若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散證明：由條件知，若存在自然數(shù)n，當(dāng)時(shí)，不等式成立，不妨取自然數(shù)，并令m=，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則唯一存在一個(gè)自然數(shù),使，故若p,則唯一存在一個(gè)自然數(shù)，使，其中，于是且由于，經(jīng)過(guò)有限步，假設(shè)第s步,必有，于是所以當(dāng)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散證明完畢定理3的推論：推論1 給定正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則 （1）時(shí)，收斂； （2）時(shí)，發(fā)散證明：（1）當(dāng)時(shí)，令 ，則存在實(shí)數(shù)r1，使得，令 ，于是 ，當(dāng) 時(shí)，有因?yàn)榧?jí)數(shù) 收斂，由定理知，級(jí)數(shù)收斂（2）當(dāng) 時(shí)，令，于是 ，當(dāng)時(shí)，有又因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，定理知級(jí)數(shù)發(fā)散222應(yīng)用舉例例1論是否收斂解：當(dāng)x=e時(shí)，用達(dá)朗貝爾判別法不能斷定級(jí)數(shù)的斂散性利用 此時(shí) 當(dāng)x=e時(shí)，由定理2得，級(jí)數(shù)發(fā)散例2：討論是否收斂解 令 ， 則根據(jù)定理2得到，收斂例3 證明級(jí)數(shù)收斂證明：令 因?yàn)?，所以不能用達(dá)朗貝爾判別法來(lái)證明是否收斂 ， 所以級(jí)數(shù)收斂例4 證明級(jí)數(shù)收斂證明： 因?yàn)?所以級(jí)數(shù) 收斂23達(dá)朗貝爾判別法的第3種推廣與應(yīng)用231達(dá)朗貝爾判別法的第三種推廣引理 給定兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)（a）和（b），若從某項(xiàng)起（如nn時(shí)），不等式成立，則級(jí)數(shù)（b）收斂蘊(yùn)含級(jí)數(shù)（a）收斂；級(jí)數(shù)（a）發(fā)散蘊(yùn)含級(jí)數(shù)（b）發(fā)散引理 給定正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則（1）當(dāng)p時(shí)，則級(jí)數(shù)發(fā)散下面將引理2推廣到如下形式定理：給定正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若對(duì)一固定自然數(shù)，有， 則 （1）時(shí)，收斂； （2）時(shí)，發(fā)散證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)充分大的，存在，使即 故對(duì)任意的自然數(shù) ，有 將上式再關(guān)于求和，得即 令 ，則上式可以變成：移項(xiàng)整理得：即 =m由于的部分和有界，所以級(jí)數(shù)收斂當(dāng)時(shí)，對(duì)充分大的，存在，使 即 同上，先對(duì)n從到n求和，再對(duì)i從1到k求和，則有 若收斂，上式中令，則有即 又 則有 即 與 矛盾，故級(jí)數(shù)發(fā)散232應(yīng)用舉例例1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)中，試討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性解：利用定理，取k=2，則 故級(jí)數(shù)收斂3比較判別法的推廣與應(yīng)用31比較判別法的推廣定理（比較原則的推論）設(shè) + + 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若 則 (i)當(dāng)01使得存在，則級(jí)數(shù)收斂下面對(duì)定理2進(jìn)行推廣，以定理的形式敘述如下：定理3 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，令，為當(dāng)x=n時(shí)由某一函數(shù)所確定的值，連且續(xù)有直到m階的有限導(dǎo)數(shù)：如果對(duì)的m階導(dǎo)數(shù)存在一冪函數(shù)，使得， ，那么當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散證明：運(yùn)用羅必塔法則m次可得， 由于當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)發(fā)散，則由定理1，和級(jí)數(shù)同收斂，所以當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散證明完畢32應(yīng)用舉例例1 討論級(jí)數(shù)是否收斂解： 令，則 ，存在，使得 由于這里 ，所以級(jí)數(shù)收斂例2 判斷級(jí)數(shù)是否收斂解： 令則 ，存在，使得 因?yàn)?，所以?jí)數(shù)發(fā)散4 結(jié)束語(yǔ)文中列舉的幾種推廣的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法，解決了某些題目用達(dá)朗貝爾判別法失效的問(wèn)題，同時(shí)也簡(jiǎn)化了一些題目的求解步驟，這是有利的方面；但是在判斷條件是否適合利用這些推廣的時(shí)候，會(huì)帶來(lái)一些煩瑣的計(jì)算和證明所以在判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),要認(rèn)真分析題目，找出最簡(jiǎn)潔的判別方法致謝感謝我的導(dǎo)師宋文青副教授宋老師成為我的畢業(yè)論文的導(dǎo)師那天起，她就告訴我如何搜集材料；告訴我如何快捷地找到相關(guān)論文；告訴我學(xué)校的哪個(gè)網(wǎng)站有本專業(yè)碩士、博士論文；還定期的和我聯(lián)系論文的進(jìn)度情況和定期指導(dǎo)我的論文怎么寫(xiě)才好本論文的完成，離不開(kāi)她的悉心知道和孜孜不倦地教誨感謝我的班主任張穎老師，在大學(xué)四年中給予我無(wú)微不至的照顧幫助使我在大學(xué)四年中不段的成長(zhǎng)在論文即將完成之際，我的心情無(wú)法平靜，從開(kāi)始進(jìn)入課題到論文順利完成，有多少可敬的師長(zhǎng)、同學(xué)、朋友給了我無(wú)言的幫助，在這里請(qǐng)接受我最誠(chéng)摯的謝意！參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析(下) (第三版) m 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non-integer number of terms, and how to produce unusual