例題與探究（5.2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法）

高手支招3綜合探究 進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算的步驟 利用復(fù)數(shù)的除法定義:把滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di0)的復(fù)數(shù) x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商,記作(a+bi)(c+di)或,從而利用復(fù)數(shù)相等求得x,y的值即可.(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得解這個(gè)方程組得于是有(a+bi)(c+di)=.在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí),通常先把(a+bi)(c+di)寫成的形式,再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)c-di,化簡(jiǎn)后,也可以得出上面的結(jié)果.高手支招4典例精析【例1】已知=1-ni,其中m、n是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則m+ni=（ ）A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i思路分析:可先將=1-ni去分母后展開(kāi)化簡(jiǎn),再利用復(fù)數(shù)相等解之.本題也可將等式左邊分母實(shí)數(shù)化,再利用復(fù)數(shù)相等解之.將=1-ni兩邊同乘以1+i,得m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,由復(fù)數(shù)相等法則,得從而所以m+ni=2+i.答案:C【例2】復(fù)數(shù)=( )A.i B.-I C.2-I D.-2+i思路分析:此題可以直接進(jìn)行分母“有理化”(即分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)),化簡(jiǎn)解得,或由觀察得出:將分子化簡(jiǎn)后,分母乘以i則可以得到分子,從而解得.原式=.答案:A【例3】 若復(fù)數(shù)z=+i,則1+z+z2+z3+z2 006( )A.0 B.+i C.-i D.-i思路分析:由于z=+i正好是的一個(gè)值,故具有特性,即1+z+z2=0,利用此式,原式即可化簡(jiǎn).1+z+z2+z3+z2 006中連續(xù)三項(xiàng)的和均為零,由于1+z+z2+z3+z2 006的項(xiàng)數(shù)2 007項(xiàng)正好是3的倍數(shù)項(xiàng),故所求的和式為零.答案:A【例4】 如果復(fù)數(shù)(m2+i)(1+mi)是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)m等于( )A.1 B.-1 C. D.-思路分析:要使一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù),那只需要一個(gè)條件:虛部為0.將原式(m2+i)(1+mi)展開(kāi),得m2+m3i+i+mi2=(m2-m)+(m3+1)i,令其虛部為零,即m3+1=0,即m=-1.答案:B【例5】若復(fù)數(shù)(1+bi)(2+i)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位,b是實(shí)數(shù)),則b等于( )A.-2 B. C. D.2思路分析:(1+bi)(2+i)=（2-b)+(2b+1)i，依題意2-b=0b=2.答案:D【例6】設(shè)a是實(shí)數(shù),且是實(shí)數(shù),則a等于A. B.1 C. D.2思路分析:先化簡(jiǎn),因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，故其虛部為零，即=0，從而得a=1.答案:B【例7】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i,則z等于 ( )A.-2+i B.-2-I C.2-I D.2+i思路分析:由=i，得z=2-i.答案:C【例8】設(shè)x、y為實(shí)數(shù),且,則x+y=_.思路分析:先將原式兩邊的分母實(shí)數(shù)化,然后再利用復(fù)數(shù)相等即可求得x+y的值.將原式分母實(shí)數(shù)化,得(1+i)+(1+2i)=(1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件得x+y=4.答案：4【例9】 計(jì)算下列各式:(1)i2 006+(+i)8-()50;(2)(i)6.思路分析:(1)充分利用(1i)2=2i及i4n+k=ik將高次冥化為低次冥.(2)利用的性質(zhì)解答.解:(1)i2 006+(+i)8-()50=i4501+2+2(1+i)24-25=i2+(4i)4-()25=-1+256-i25=255-i;(2)=+i,-i=-,(-i)6=(-)6=(3)2=1.【例10】 已知復(fù)數(shù)z=,若z2+az+b=1+i,試求實(shí)數(shù)a、b的值.思路分析:要求實(shí)數(shù)a、b的值,需先確定復(fù)數(shù)z的值,而要確定復(fù)數(shù)z,需對(duì)復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡(jiǎn),主要通過(guò)復(fù)數(shù)乘方,加減運(yùn)算,最后通過(guò)分母實(shí)數(shù)化,從而化得結(jié)果.解:z=1+i,z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(2+a)i,由已知z2+az+b=1+i,實(shí)數(shù)a、b的值分別為-1,2.【例11】 已知f(z)=2z+-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.思路分析:需要先利用已知式求出z,再將-z代入f(z)=2z+-3i中計(jì)算.解:f(z)=2z+-3i,f(+i)=2(+i)+-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i,又知f(+i)=6-3i,2+z-2i=6-3i,即2+z=6-i,設(shè)z=a+bi,則=a-bi,于是有2(a-bi)+a+bi=6-i,所以,解得a=2,b=1,z=2+i,f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.【例12】 計(jì)算:(i)12+()8.思路分析: i=i(+i),1-i=(-2)(+i)，由此,原式可以化簡(jiǎn).“師”之概念，大體是從先秦時(shí)期的“師長(zhǎng)、師傅、先生”而來(lái)。其中“師傅”更早則意指春秋時(shí)國(guó)君的老師。說(shuō)文解字中有注曰：“師教人以道者之稱也”。“師”之含義，現(xiàn)在泛指從事教育工作或是傳授知識(shí)技術(shù)也或是某方面有特長(zhǎng)值得學(xué)習(xí)者?！袄蠋煛钡脑獠⒎怯伞袄稀倍稳荨皫煛??！袄稀痹谂f語(yǔ)義中也是一種尊稱，隱喻年長(zhǎng)且學(xué)識(shí)淵博者?！袄稀薄皫煛边B用最初見(jiàn)于史記，有“荀卿最為老師”之說(shuō)法。慢慢“老師”之說(shuō)也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師”當(dāng)然不是今日意義上的“教師”，其只是“老”和“師”的復(fù)合構(gòu)詞，所表達(dá)的含義多指對(duì)知識(shí)淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學(xué)以“道”，但其不一定是知識(shí)的傳播者。今天看來(lái)，“教師”的必要條件不光是擁有知識(shí)，更重于傳播知識(shí)。解:原式=i12(+i)12+=11+=1+16(+i)=-7+8i.【例13】 已知復(fù)數(shù)z1=i(1-i)3.(1)求|z1|;(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.思路分析:(1)求模應(yīng)求出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，再利用|a+bi|= 得出.(2)是考查復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.解:(1)z1=i(1-i)3i(-2i)(1-i)=2(1-i),|z1|.(2)|z|=1可看成半徑為1、圓心為(,)的圓,而點(diǎn)Z1可看成在坐標(biāo)系中的點(diǎn)(2,-2),|z-z1|的最大值可以看成點(diǎn)(2,-2)到圓上點(diǎn)距離的最大值,由右圖可知|z-z1|max=2+1.【例14】 證明:在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),方程|z|2+（1-i）-（1+i）z=(i為虛數(shù)單位)無(wú)解.思路分析:將已知條件化簡(jiǎn)后再由復(fù)數(shù)相等來(lái)解.證明：原方程化簡(jiǎn)為|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.設(shè)z=x+yi(x、yR）,代入上述方程得x2+y2-2xi-2yi=1-3i.將(2)代入(1),整理得8x2-12x+5=0.=-160,方程f(x)無(wú)實(shí)數(shù)解,原方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解.“教書先生”恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的門館、私塾到晚清的學(xué)堂，“教書先生”那一行當(dāng)怎么說(shuō)也算是讓國(guó)人景仰甚或敬畏的一種社會(huì)職業(yè)。只是更早的“先生”概念并非源于教書，最初出現(xiàn)的“先生”一詞也并非有傳授知識(shí)那般的含義。孟子中的“先生何為出此言也？”；論語(yǔ)中的“有酒食，先生饌”；國(guó)策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”為父兄或有學(xué)問(wèn)、有德行的長(zhǎng)輩。其實(shí)國(guó)策中本身就有“先生長(zhǎng)者，有德之稱”的說(shuō)法?？梢?jiàn)“先生”之原意非真正的“教師”之意，倒是與當(dāng)今“先生”的稱呼更接近?？磥?lái)，“先生”之本源含義在于禮貌和尊稱，并非具學(xué)問(wèn)者的專稱。稱“老師”為“先生”的記載，首見(jiàn)于禮記?曲禮，有“從于先生，不越禮而與人言”，其中之“先生”意為“年長(zhǎng)、資深之傳授知識(shí)者”，與教師、老師之意基本一致。高手支招5思考發(fā)現(xiàn)1.利用某些特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果,如(1i)2=2i,(i)3=1,=-i,=i,=-i,i的冪的周期性,對(duì)于簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)的運(yùn)算大有好處,在計(jì)算上經(jīng)常用的結(jié)論最好能熟記,以便加快解題速度.2.在化簡(jiǎn)運(yùn)算中,要注意運(yùn)用i、的性質(zhì),如當(dāng)=+i時(shí)有:單靠“死”記還不行,還得“活”用,姑且稱之為“先死后活”吧。讓學(xué)生把一周看到或聽(tīng)到的新鮮事記下來(lái),摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實(shí)感,篇幅可長(zhǎng)可短,并要求運(yùn)用積累的成語(yǔ)、名言警句等,定期檢查點(diǎn)評(píng),選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即鞏固了所學(xué)的材料,又鍛煉了學(xué)生的寫作能力,同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力、思維能力等等,達(dá)到“一石多鳥(niǎo)”的效果。=2，3=1，=，n+n+1+n+2=0(nN*),in+in+1+in+2+in+3=0(nN*一般說(shuō)來(lái)，“教師”概念之形成經(jīng)歷了十分漫長(zhǎng)的歷史。楊士勛（唐初學(xué)者，四門博士）春秋谷梁傳疏曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也”