概率論第二章隨機(jī)變量及其分布.ppt

2.1 隨機(jī)變量及其分布 2.2 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 2.3 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差 2.4 常用離散分布 2.5 常用連續(xù)分布 2.6 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 2.7 分布的其他特征數(shù),第二章 隨機(jī)變量及其分布,2.1 隨機(jī)變量及其分布,(1) 擲一顆骰子， 出現(xiàn)的點數(shù) X 1，2，6. (2) n個產(chǎn)品中的不合格品個數(shù) Y 0，1，2，n (3) 某商場一天內(nèi)來的顧客數(shù) Z 0，1，2， (4) 某種型號電視機(jī)的壽命 T : 0, +),2.1.1 隨機(jī)變量的定義,定義2.1.1 設(shè) =為某隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間， 稱定義在上的實值函數(shù)X=X()為隨機(jī)變量.,注 意 點 (1),(1) 隨機(jī)變量X()是樣本點的函數(shù)，,其定義域為 ，其值域為R=(，),若 X 表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)， 則 X=1.5 是不可能事件.,(2) 若 X 為隨機(jī)變量，則 X = k 、 a X b 、 均為隨機(jī)事件.,即 a X b =；a X() b ,注 意 點 (2),(3) 注意以下一些表達(dá)式：,X = k= X kX k；,a X b = X bX a；, X b = X b.,(4) 同一樣本空間可以定義不同的隨機(jī)變量.,若隨機(jī)變量 X 可能取值的個數(shù)為有限個或 可列個，則稱 X 為離散隨機(jī)變量. 若隨機(jī)變量 X 的可能取值充滿某個區(qū)間 a, b，則稱 X 為連續(xù)隨機(jī)變量. 前例中的 X, Y, Z 為離散隨機(jī)變量； 而 T 為連續(xù)隨機(jī)變量.,兩類隨機(jī)變量,定義2.1.2 設(shè)X為一個隨機(jī)變量，對任意實數(shù) x， 稱 F(x)=P( X x) 為 X 的分布函數(shù). 基本性質(zhì)： (1) F(x) 單調(diào)不降； (2) 有界：0F(x)1，F(xiàn)()=0，F(xiàn)(+)=1； (3) 右連續(xù).,2.1.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù),設(shè)離散隨機(jī)變量 X 的可能取值為： x1，x2，xn， 稱 pi=P(X=xi)， i =1, 2, 為 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示：,X x1 x2 xn ,P p1 p2 pn ,分布列的基本性質(zhì),(1) pi 0， (2),(正則性),(非負(fù)性),注 意 點 (1),求離散隨機(jī)變量的分布列應(yīng)注意：,(1) 確定隨機(jī)變量的所有可能取值;,(2) 計算每個取值點的概率.,注 意 點 (2),對離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)應(yīng)注意：,(1) F(x)是遞增的階梯函數(shù);,(2) 其間斷點均為右連續(xù)的;,(3) 其間斷點即為X的可能取值點;,(4) 其間斷點的跳躍高度是對應(yīng)的概率值.,例2.1.1,已知 X 的分布列如下：,X 0 1 2,P 1/3 1/6 1/2,求 X 的分布函數(shù).,解：,X 0 1 2,P 0.4 0.4 0.2,解：,例2.1.2,已知 X 的分布函數(shù)如下,求 X 的分布列.,2.1.4 連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù),連續(xù)隨機(jī)變量X的可能取值充滿某個區(qū)間 (a, b). 因為對連續(xù)隨機(jī)變量X，有P(X=x)=0， 所以無法仿離散隨機(jī)變量用 P(X=x) 來描述連續(xù)隨機(jī)變量X的分布. 注意離散隨機(jī)變量與連續(xù)隨機(jī)變量的差別.,定義2.1.4,設(shè)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為F(x),則稱 X 為連續(xù)隨機(jī)變量，,若存在非負(fù)可積函數(shù) p(x) ，滿足：,稱 p(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).,密度函數(shù)的基本性質(zhì),滿足(1) (2)的函數(shù)都可以看成某個連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).,(非負(fù)性),(正則性),注意點(1),(1),(2) F(x) 是 (, +) 上的連續(xù)函數(shù); (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0;,(4) PaXb = PaXb = PaXb = PaXb = F(b)F(a).,注意點(2),(5) 當(dāng)F(x) 在x點可導(dǎo)時, p(x) =,當(dāng)F(x) 在x點不可導(dǎo)時, 可令p(x) =0.,連續(xù)型,密度函數(shù) X p(x) ( 不唯一 ),2.,4. P(X=a) = 0,離散型,分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ),2. F(x) =,3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).,4. 點點計較,5. F(x)為階梯函數(shù)。,5. F(x)為連續(xù)函數(shù)。,F(a0) = F(a).,F(a0) F(a).,例2.1.3,設(shè) X ,求 (1) 常數(shù) k. (2) F(x).,(1) k =3.,(2),解：,例2.1.4,設(shè) X ,求 F(x).,解：,設(shè)X與Y同分布，X的密度為,已知事件 A = X a 和 B = Y a 獨立，,解: 因為 P(A) = P(B),P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B),從中解得,且 P(AB)=3/4,求常數(shù) a .,且由A、B 獨立，得,= 2P(A) P(A)2 = 3/4,從中解得: P(A)=1/2,由此得 0a 2 ,因此 1/2 = P(A) = P( X a ),例2.1.5,設(shè) X p(x)，且 p(x) = p(x)，F(xiàn)(x)是 X 的分布函數(shù)， 則對任意實數(shù) a0，有( ) F(a) =1 F(a)= F(a) = F(a) F(a) = 2F(a) 1,課堂練習(xí),2.2 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,分賭本問題(17世紀(jì)) 甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元. 無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注. 當(dāng)甲贏2局、乙贏1局時，中止了賭博. 問如何分賭本?,兩種分法,1. 按已賭局?jǐn)?shù)分： 則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/3 2. 按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望” 分： 因為再賭兩局必分勝負(fù)，共四種情況： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4,2.2.1 數(shù)學(xué)期望的概念,若按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望” 分， 則甲的所得 X 是一個可能取值為0 或100 的隨機(jī)變量，其分布列為：,X 0 100,P 1/4 3/4,甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.,2.2.2 數(shù)學(xué)期望的定義,定義2.2.1 設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為 P(X=xn) = pn, n = 1, 2, . 若級數(shù),絕對收斂，則稱該級數(shù)為X 的,數(shù)學(xué)期望，記為,連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,定義2.2.2 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x), 若積分,絕對收斂，則稱該積分為X 的,數(shù)學(xué)期望，記為,例2.2.1,則,E(X) =,10.2+00.1+10.4+20.3 = 0.8.,X 1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.4 0.3,數(shù)學(xué)期望簡稱為期望. 數(shù)學(xué)期望又稱為均值. 數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均.,注 意 點,2.2.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),定理2.2.1 設(shè) Y=g(X) 是隨機(jī)變量X的函數(shù)， 若 E(g(X) 存在，則,例2.2.2 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為,求 E(X2+2).,= (02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4,= 1+3/4+6/4 = 13/4,解: E(X2+2),X 0 1 2,P 1/2 1/4 1/4,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),(1) E(c) = c,(2) E(aX) = aE(X),(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X),例2.2.3,設(shè) X ,求下列 X 的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.,(1) 2X1, (2) (X 2)2,解: (1) E(2X 1) = 1/3,(2) E(X 2)2 = 11/6.,2.3 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差,數(shù)學(xué)期望反映了X 取值的中心. 方差反映了X 取值的離散程度.,2.3.1 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義,定義2.3.1 若 E(XE(X)2 存在，則稱 E(XE(X)2 為 X 的方差，記為,Var(X)=D(X)= E(XE(X)2,(2) 稱,注 意 點,X = (X)=,(1) 方差反映了隨機(jī)變量相對其均值的偏離程度. 方差越大, 則隨機(jī)變量的取值越分散.,為X 的標(biāo)準(zhǔn)差.,標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與隨機(jī)變量的量綱相同.,2.3.2 方差的性質(zhì),(1) Var(c)=0. 性質(zhì) 2.3.2,(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性質(zhì) 2.3.3,(3) Var(X)=E(X2)E(X)2. 性質(zhì) 2.3.1,例2.3.1 設(shè) X , 求 E(X), Var(X).,解: (1) E(X)=,= 1,(2) E(X2) =,= 7/6,所以,Var(X) = E(X2)E(X)2,= 7/6 1 = 1/6,課堂練習(xí),問題：Var(X) = 1/6, 為什么？,隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化,設(shè) Var(X)0, 令,則有 E(Y)=0, Var(Y)=1.,稱 Y 為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化.,2.3.3 切比雪夫不等式,設(shè)隨機(jī)變量X的方差存在(這時均值也存在), 則 對任意正數(shù)，有下面不等式成立,例2.3.2 設(shè) X,證明,證明:,E(X) =,= n+1,E(X2) =,= (n+1)(n+2),所以,Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1,(這里, = n+1),由此得,定理 2.3.2,Var(X)=0,P(X=a)=1,2.4 常用離散分布,2.4.1 二項分布 記為 X b(n, p). X為n重伯努里試驗中“成功”的次數(shù),當(dāng)n=1時，稱 b(1, p) 為 0-1分布.,試驗次數(shù)為 n=4,“成功”即取得合格品的概率為 p=0.8,所以, X b(4, 0.8),思考： 若 Y 為不合格品件數(shù)，Y ？,Y b(4, 0.2),一批產(chǎn)品的合格率為0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 則取得合格品件數(shù) X 服從二項分布.,例2.4.1 設(shè)X b(2, p)， Y b(4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1).,解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9.,由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0),所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2，,從而解得: p = 2/3.,= 1- (1p)4 = 80/81.,若隨機(jī)變量 X 的概率分布為,則稱 X 服從參數(shù)為 的泊松分布,記為 X P().,2.4.2 泊松分布,泊松定理,定理2.4.1,(二項分布的泊松近似),在n重伯努里試驗中，記 pn 為一次試驗中 成功的概率.,若 npn ，則,記為 X h(n, N, M).,超幾何分布對應(yīng)于不返回抽樣模型 ：,N 個產(chǎn)品中有 M 個不合格品，,從中抽取n個，不合格品的個數(shù)為X .,2.4.3 超幾何分布,記為 X Ge(p),X 為獨立重復(fù)的伯努里試驗中， “首次成功”時的試驗次數(shù).,幾何分布具有無記憶性，即：,P( X m+n | X m ) = P( X n ),2.4.4 幾何分布,負(fù)二項分布(巴斯卡分布),記為X Nb(r, p).,X 為獨立重復(fù)的伯努里試驗中， “第 r 次成功”時的試驗次數(shù).,注 意 點,(1) 二項隨機(jī)變量是獨立 0-1 隨機(jī)變量之和.,(2) 負(fù)二項隨機(jī)變量是獨立幾何隨機(jī)變量之和.,常用離散分布的數(shù)學(xué)期望,幾何分布Ge(p) 的數(shù)學(xué)期望 = 1/p,0-1 分布的數(shù)學(xué)期望 = p,二項分布 b(n, p)的數(shù)學(xué)期望 = np,泊松分布 P() 的數(shù)學(xué)期望 = ,常用離散分布的方差,0-1 分布的方差 = p(1p),二項分布 b(n, p)的方差 = np(1p),泊松分布 P() 的方差= ,幾何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2,2.5 常用連續(xù)分布,正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、 伽瑪分布、貝塔分布。,記為X N(, 2),其中 0， 是任意實數(shù)., 是位置參數(shù)., 是尺度參數(shù).,2.5.1 正態(tài)分布,y,x,O,正態(tài)分布的性質(zhì),(1) p(x) 關(guān)于 是對稱的.,p(x),x,0,在 點 p(x) 取得最大值.,(2) 若 固定, 改變,(3) 若 固定, 改變,大,p(x)左右移動,形狀保持不變., 越大曲線越平坦;, 越小曲線越陡峭.,p(x),x,0,x,x,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1),密度函數(shù)記為 (x),分布函數(shù)記為 (x).,(x) 的計算,(1) x 0 時, 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表.,(2) x 0時, 用,若 X N(0, 1), 則 (1) P(X a) = (a); (2) P(Xa) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 則 P(|X|a) = P(aXa) = (a)(a) = (a) 1 (a) = 2(a)1,例2.5.1 設(shè) X N(0, 1), 求 P(X1.96) , P(|X|1.96),= 1 (1.96),= 1(1 (1.96),= 0.975 (查表得),= 2 (1.96)1,= 0.95,= (1.96),解: P(X1.96),P(|X|1.96),= 2 0.9751,設(shè) X N(0, 1), P(X b) = 0.9515, P(X a) = 0.04947, 求 a, b.,解: (b) = 0.9515 1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66,而 (a) = 0.0495 1/2, 所以 a 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65,例2.5.2,一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化,定理2.5.1 設(shè) X N(, 2),則 Y N(0, 1).,推論:,若 X N(, 2), 則,若 X N(, 2), 則 P(Xa) =,設(shè) X N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X10|2).,解: P(10X13) = (1.5)(0),= 0.9332 0.5,P(|X10|2) =,P(8X12),= 2(1)1,= 0.6826,= 0.4332,例2.5.3,設(shè) X N(, 2), P(X 5) = 0.045, P(X 3) = 0.618, 求 及 .,例2.5.4, = 1.76 =4,解:,已知 X N(3, 22), 且 PXk = PXk, 則 k = ( ).,3,課堂練習(xí)(1),設(shè) X N(, 42), Y N(, 52), 記 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 則( ) 對任意的 ，都有 p1 = p2 對任意的 ，都有 p1 p2,課堂練習(xí)(2),設(shè) X N( , 2), 則隨 的增大， 概率 P| X | ( ) 單調(diào)增大 單調(diào)減少 保持不變 增減不定,課堂練習(xí)(3),正態(tài)分布的 3 原則,設(shè) X N(, 2), 則,P( | X | ) = 0.6828.,P( | X | 2 ) = 0.9545.,P( | X | 3 ) = 0.9973.,記為X U(a, b),2.5.2 均勻分布,X U(2, 5). 現(xiàn)在對 X 進(jìn)行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于 3 的概率.,解：,記 A = X 3 ,則 P(A) = P( X 3) = 2/3,設(shè) Y 表示三次獨立觀測中 A 出現(xiàn)的次數(shù),則 Y b(3, 2/3)，所求概率為,P(Y2) =,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,例2.5.5,2.5.3 指數(shù)分布,記為 X Exp(),其中 0.,特別：指數(shù)分布具有無憶性，即：,P( X s+t | X s )=P( X t ),2.5.4 伽瑪分布,記為 X Ga(, ),其中 0， 0.,為伽瑪函數(shù).,稱,注意點,(1),(1) = 1, (1/2) =,(n+1) = n!,(2),Ga(1, ) = Exp(),Ga(n/2, 1/2) = 2(n),2.5.5 貝塔分布,記為 X Be(a, b),其中a 0，b 0.,稱,為貝塔函數(shù).,注意點,(1),(2),B(a, b) =B(b, a),B(a, b) =(a)(b) /(a+b),(3),Be(1, 1) = U(0, 1),常用連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望,均勻分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2,指數(shù)分布 Exp() : E(X) = 1/,正態(tài)分布 N(, 2) : E(X) = ,伽瑪分布 Ga(, ) : E(X) = /,貝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b),常用連續(xù)分布的方差,均勻分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12,指數(shù)分布 Exp() 的方差= 1/2,正態(tài)分布 N(, 2) 的方差= 2,例2.5.6 已知隨機(jī)變量 X 服從二項分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 則參數(shù) n, p 的值為多少？,例2.5.7 設(shè) X 表示 10 次獨立重復(fù)射擊命中目標(biāo) 的次數(shù),每 次射中目標(biāo)的概率為0.4, 則 E(X2)的值為多少？,解：從 2.4= np, 1.44 = np(1p) 中解得,解：因為 E(X) = np = 4, Var(X)= 2.4, 所以,n=6, p=0.4.,E(X2) = Var(X)+(E(X)2= 2.4+16=18.4,設(shè) E(X)=，Var(X)=2，則對任意常 數(shù) C， 必有（ ）.,課堂練習(xí),2.6 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,問題：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。,例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 .,當(dāng) X 為離散隨機(jī)變量時， Y = g(X) 為離散隨機(jī)變量.,將g(xi) 一一列出, 再將相等的值合并即可.,2.6.1 離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布,2.6.2 連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布,定理2.6.1 設(shè) X pX(x)，y = g(x) 是 x 的嚴(yán)格 單調(diào)函數(shù)，記 x = h(y) 為 y = g(x) 的反函數(shù), 且h(y)連續(xù)可導(dǎo)，則Y = g(X)的密度函數(shù)為:,例2.6.1 設(shè) X ,求 Y =eX 的分布.,y = ex 單調(diào)可導(dǎo),反函數(shù) x = h(y) = lny,所以當(dāng) y 0 時,由此得,解：,正態(tài)變量的線性不變性,定理2.6.2 設(shè) X N (, 2)，則當(dāng)a 0 時