格林公式例題與習(xí)題.ppt

,區(qū)域 D 分類(lèi),單連通區(qū)域 ( 無(wú)“洞”區(qū)域 ),多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 ),規(guī)定：域 D 邊界L 的正向: 域的內(nèi)部靠左,定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線(xiàn) L 圍成,則有,( 格林公式 ),函數(shù),在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或,一、 格林公式,推論: 正向閉曲線(xiàn) L 所圍區(qū)域 D 的面積,格林公式,例如, 橢圓,所圍面積,定理1,例1.,設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線(xiàn), 證明,證: 令,則,利用格林公式 , 得,例2. 計(jì)算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 .,解: 令, 則,利用格林公式 , 有,二、平面上曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件,定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線(xiàn) L , 有,(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線(xiàn) L, 曲線(xiàn)積分,(3),(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有,與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān).,函數(shù),則以下四個(gè)條件等價(jià):,在 D 內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,即,說(shuō)明:,根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域D內(nèi),則,注： 求曲線(xiàn)積分時(shí),若積分路徑不是閉曲線(xiàn)，且難計(jì)算，則可添加輔助線(xiàn)后，利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算。,2) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):,及動(dòng)點(diǎn),或,則原函數(shù)為,取定點(diǎn),1) 計(jì)算曲線(xiàn)積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;,定理2,3) 若已知 d u = P dx + Q dy ,則對(duì)D內(nèi)任一分段光滑曲,定理2,注: 此式稱(chēng)為曲線(xiàn)積分的基本公式(P213定理4).,它類(lèi)似于微積分基本公式:,例4. 計(jì)算,其中L 為上半,從 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 為了使用格林公式, 添加輔助線(xiàn)段,它與L 所圍,原式,圓周,區(qū)域?yàn)镈 , 則,例5. 驗(yàn)證,是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求,出這個(gè)函數(shù)及,證: 設(shè),則,由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使,例6. 驗(yàn)證,在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函,數(shù) , 并求出它.,證: 令,則,由定理 2 可知存在原函數(shù),或,例7. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng),作用下沿曲線(xiàn) L :,由,移動(dòng)到,求力場(chǎng)所作的功W,解:,令,則有,可見(jiàn), 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān).,思考: 積分路徑是否可以取,取圓弧,為什么？,注意, 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑,無(wú)關(guān) !,內(nèi)容小結(jié),轉(zhuǎn)內(nèi)容小結(jié),內(nèi)容小結(jié),1. 格林公式,2. 等價(jià)條件,在 D 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).,在 D 內(nèi)有,對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線(xiàn) L 有,在 D 內(nèi)有,設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一