2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章數(shù)列第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項和教學(xué)案.docx

第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和考綱傳真1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為q(nN*，q為非零常數(shù))(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項即G是a與b的等比中項a，G，b成等比數(shù)列G2ab.2等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)通項公式：ana1qn1.(2)前n項和公式：3等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，則amanapaqa.(3)若數(shù)列an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，a，anbn，(0)仍然是等比數(shù)列(4)在等比數(shù)列an中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(5)當(dāng)q1時，數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比數(shù)列1“G2ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件2若q0，q1，則Snkkqn(k0)是數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件，此時k.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)滿足an1qan(nN*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列( )(2)G為a，b的等比中項G2ab.( )(3)若an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列( )(4)數(shù)列an的通項公式是anan，則其前n項和為Sn.( )答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)等比數(shù)列an中，a312，a418，則a6等于( )A27 B36 C. D54C公比q，則a6a4q218.3(教材改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為_27,81設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439q3，q327，q3.插入的兩個數(shù)分別為9327,27381.4在單調(diào)遞減的等比數(shù)列an中，若a31，a2a4，則a1_.4由題意知消去a1得q，解得q或q2.又0q1，故q，此時a14.5在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項和若Sn126，則n_.6a12，an12an，數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列又Sn126，126，解得n6.等比數(shù)列基本量的運算1(2019太原模擬)已知公比q1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a11，S33a3，則S5( )A1 B5 C. D.D由S33a3得a1a22a3，1q2q2，解得q或q1(舍)S5，故選D.2(2017江蘇高考)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3，S6，則a8_.32設(shè)an的首項為a1，公比為q，則解得所以a8272532.3(2018全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和若Sm63，求m.解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.規(guī)律方法解決等比數(shù)列有關(guān)問題的兩種常用思想方程的思想等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解.分類討論的思想等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q1時，an的前n項和Snna1；當(dāng)q1時，an的前n項和Sn(1qn)(q1)或Sn(qn1)(q1).等比數(shù)列的判定與證明【例1】(2018全國卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求an的通項公式解(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.將n2代入得，a33a2，所以，a312.從而b11，b22，b34.(2)bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.規(guī)律方法等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若(q為非零常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列.(2)等比中項法：若數(shù)列an中，an0，且aoal(2,n1)anan2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列.(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列.(4)前n項和公式法：若數(shù)列an的前n項和Snkqnk(k為常數(shù)且k0，q0，1)，則an是等比數(shù)列.說明：前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法，后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定. (2016全國卷)已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求.解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得15，即.解得1.等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用考法1等比數(shù)列項的性質(zhì)【例2】(1)若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.(2)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，則S5_.(1)50(2)31(1)因為a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5a2a664，于是由且an0，q1，得a34，a516，所以解得所以S531.考法2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)【例3】(1)等比數(shù)列an中，前n項和為48，前2n項和為60，則其前3n項和為_(2)數(shù)列an是一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和是偶數(shù)項之和的4倍，前三項之積為64，則此數(shù)列的通項公式an_.(1)63(2)12(1)法一：設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.因為S2n2Sn，所以q1，由前n項和公式得，得1qn，所以qn.將代入，得64.所以S3n6463.法二：設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，因為an為等比數(shù)列，所以Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比數(shù)列，所以(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即S3nS2n6063.法三：設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，因為S2nSnqnSn，所以qn，所以S3nS2nq2nSn604863.(2)設(shè)此數(shù)列an的公比為q，由題意，知S奇S偶4S偶，所以S奇3S偶，所以q.又a1a2a364，即a1(a1q)(a1q2)aq364，所以a1q4.又q，所以a112，所以ana1qn112.規(guī)律方法應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時的兩個關(guān)鍵點(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若mnpq，則amanapaq”，可以減少運算量，提高解題速度.(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形.此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用. (1)已知等比數(shù)列an的公比q0，且a5a74a，a21，則a1( )A. B. C. D2(2)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1a2a34，a4a5a68，則S12等于( )A40 B60 C32 D50(1)B(2)B(1) a 5a7a4a，a62a4，則q22.q，從而a1，故選B.(2)S12(a1a2a3)(a4a5a6)(a7a8a9)(a10a11a12)48163260.等差、等比數(shù)列的綜合問題【例4】(1)已知等比數(shù)列an的各項都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是( )A. B.C. D.A設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故q2q10，解得q或q(舍去)，由，故選A.(2)(2018北京高考)設(shè)an是等差數(shù)列，且a1ln 2，a2a35ln 2.求an的通項公式；求ea1ea2ean.解設(shè)an的公差為d.因為a2a35ln 2，所以2a13d5ln 2.又a1ln 2，所以dln 2.所以ana1(n1)dnln 2.因為ea1eln 22，eln 22，所以數(shù)列ean是首項為2，公比為2的等比數(shù)列所以ea1ea2ean22(2n1)規(guī)律方法等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題，涉及的知識面很寬，題目的變化也很多，但是萬變不離其宗，只要抓住基本量a1，d(q)充分運用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，合理調(diào)用相關(guān)知識，就不難解決這類問題. 在公差不為零的等差數(shù)列an中，a11，a2，a4，a8成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn2an，Tnb1b2bn，求Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則依題意有解得d1或d0(舍去)，an1(n1)n.(2)由(1)得ann，bn2n，2，bn是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，Tn2n12.1(2015全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a1，a3a54(a41)，則a2( )A2 B1 C. D.C法一：a3a5a，a3a54(a41)，a4(a41)，a4a440，a42.又q38，q2，a2a1q2，故選C.法二：a3a54(a41)，a1q2a1q44(a1q31)，將a1代入上式并整理，得q616q3640，解得q2，a2a1q，故選C.2(2014全國卷)等差數(shù)列an的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則an的前n項和Sn( )An(n1) Bn(n1)C. D.A由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n22nn2nn(n1)3(2017全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21，a1a33，則a4_.8設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1a21，a1a33，a1(1q)1，a1(1q2)3.，得1q3，q2.a11，a4a1q31(2)38.4(2017全國