人教版講義九年級第二十四章圓24.3 正多邊和圓

合作探究探究點1 正多邊形的概念知識講解（1）正多邊形各邊相等.各角也相等的多邊形是正多邊形。（2）注意:邊數(shù)n3的多邊形必須同時滿足“各邊相等”和“各角相等”兩個條件，才能判定它是正多邊形，缺不可，只有邊數(shù)n一3的多邊形，即正三角形特殊，它滿足任何一個條件都可以判定其是正三角形，除三角形外，一般在多邊形中，“各邊相等”與“各角相等”這兩個條件是各自獨立的，并不能互相推出。典例剖析例1 下列命題中正確的有(1)各邊相等的三角形是正三角形:(2)各角相等的三角形是正三角形:(3)各邊相等的多邊形是正多邊形:(4)各角相等的多邊形是正多邊形，A.1個B.2個C.3個D.4個解析判斷一個圈形是否是正多邊形，要結合定義中的“各邊相等“各角相等”。注意正三角形的特殊性，“各邊相等”=“各角相等”.(1)(2)是正確的。(3)與正多邊形的定義不符，如菱形的各邊相等，但各角不一定相等。(4)各角相等的多邊形也不一定是正多邊形，如短形的各角相等，但長、寬不一定相等，所以(1)(2)正確，(3)(4)錯誤.選擇B答案 B 類題突破1 如右圖，ABC是正三角形，將各邊三等分，設分點分別為E,F,G,H,K,L,求證：六邊形EFGHKL為正六邊形。答案 ABC為正三角形，A=60，AB=AC。又E,L分別為AB,AC的三等分點。AE=AL. AEL為等邊三角形，AEL=ALE=60,EL=AE,1=2=120.同理可證3=4=5=6=120，F(xiàn)G=BF,HK=CH.六邊形EFGHKL為正邊形。點撥由條件可證明AF2.ABGF.OHKC均為正三角形，可得到六邊形EFGHK2的六個邊都相等。再利于等邊三角形的角都為60，可證明六邊形EFGHKL的六個內角也都相等，可得結論。探究點2正多邊形與圓的關系知識講解正多邊形與圈的關系非常密切，把圖分成m(n是大于2的自然數(shù))等份.依次連接各分點所得的多邊形是這個圈的內按正邊形，這個圈就是這個正多邊形的外接圓。另外，正多邊形與圓的關系可以這樣表述:把圈分成n(n3)等份依次連接各分點，所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形，利用這個結論可以判定一個多邊形是否是正多邊形或作出一個正多邊形，但注意要“依次連接”，不能亂連，內、外是指兩個圖形的位置關系，如正多邊形的外接圈，是以正多邊形為準，國在正多邊形外，圈的內接正多邊形，則是以因為準.正多邊形在圈內。正多邊形的邊長，半徑、邊心距、中心角可以在右圖中表示出來，圖中AB是正多邊形的邊,OA是正移邊形的半徑,OM是正名邊形的邊心距，ZAOB是正多邊形的中心角.由圖知正多邊形的半徑邊心距邊長的半構成直角三角形的三邊，即,利用這個關系可以進行相關量的計算。典例剖析例2如右圖所示，六邊形ABCDEF內接于O,且AB=BC=CD=DE=EF=EA 求證:六邊形ABCDEF為正六邊形，解析 本題只需證其六個頂點等分O即可，另外，說明一個多邊形是正多邊形必須同時滿足各邊相等，各角也相等。答案因為六邊形ABCDEF內接于O,又AB=BC=CD=DE=EF=FA所以所以A.B.C,D.E,F六等分O.所以六邊形ABCDEF是正六邊形。 類題突破2如圖所示，正六邊形ABCDEF內接于O,則ADB的度數(shù)是( ) A.60 B.45 C.30 D.22.5答案C點撥連接OB，由多邊形是正六邊形可求出AOB的度教，再根據(jù)國周角定理即可求出ADB的度數(shù).探究點3與正多邊形有關的概念知識詳解(1)概念(如圖)中心:一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊開的中心。正多邊形的半徑:外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。中心角:正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.邊心距:中心到正多邊形的一條邊的距離叫做正多邊形的邊心距(2)性質正多邊形的一個內角等于。正多邊形的中心角等于。正多邊形的中心角與外角相等，注意正多邊形的求解問題常利用半徑，邊心距及邊的一年所組成的直角三角形求解.典例剖析例3已知正六邊形的半徑為R,求正六邊形的邊長，邊心距和面積。解析正六邊形的中心角為60”，作邊心ROM(如圖)，在RIAOM中，利用30角的性質及勾股定理求解。答案如圖，正六邊形邊長=AB,半徑0A=R,作OMAB于M，設邊心距OM=r,在RtAOM中， 正六邊形的中心角為60，AOM=30，OA=2AM,而AB=2AM,AB=OA=R.正六邊形的面積類題突破3有一個邊長為4的正n邊形，它的一個內角為120，則其半徑為 （ ） A.4 B.4 C.2D.2答案B點撥根據(jù)正幾邊形的特，點，構造直角三角形，利用勾股定理求解。 探究點4畫正多邊形知識詳解(1)用最角器面正多邊形方法一:由于在同圓中相等的圓心角所對的弧相等，因此作相等的圈心角可以等分圓。方法二:先用量角器畫一個等于的圓心角，這個角所對的孤就是圓的，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等分點，順次連接各等分點即得此圓的內接正n邊形 (2)用尺規(guī)等分圓正四邊形的作法; 如右圖所示，在OO中,用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑,把00四等分，從而作出正四邊形ABCD.再逐次平分各邊所對的弧，則可作出正A八邊形、正十六邊形等邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六邊形的作法:如下圖所示，任意作一直徑AB,再分別以A,B為圓心，以O的半徑為半徑作弧，與O交于C,D和E.F,則A,C,E,B,F,D為O的六等分點，順次連接各等分點，得到正六邊形ACEBFD. 典例剖析 例4用量角器畫一個半徑為1.1cm的正五邊形，再作這個正五邊形的各條對角線，畫一個五角星. 解析 用量角器把圓周五等分.答案 如右圖所示(1)畫一個以任意點O為圓心，以1.1cm長為半徑的圓;(2)用量角器畫一個等于的圓心角，得此角所對的弧;(3)在圓上依次截取這條弧的等弧，得圓的五等分點;(4)順次連接各等分點得此圓的內接正五邊形;(5)作這個正五邊形的各條對角線得五角星方法歸納本題用的是方法二，依次作一個圓心角所對的弧的等弧來等分圓。也可以用第一種方法。類題突破4如圖，已知半徑為R的O,用多種工具多種方法作出圓內接正三角形。答案方法一:1.用量角器畫圓心角A0B=120，BOC=120 2.連接AB,BC,CA,則ABC為圓內接正三角形，(如圖(1)所示)方法二:L用量角器畫圓心角BOC=120.2. 在O上用圓規(guī)截取3.連接AC,BC,AB,則ABC為圓內接正三角形，(如圖(2)所示）方法三:1.作直徑AD.2.以D為圓心，以OA為半徑畫弧，交O于點B.C.3.連接AB,BC,CA，則ABC為圓內接正三角形。(如圖(3)所示)點撥選擇工具有直尺、圓規(guī)、量角器，依據(jù)正多邊形與國的關系，可平分弧或作中心角，先作正六邊形，再作正三角形，重點難點重難點 正多邊形的證明和有關計算（1)正邊形的內角和是(n-2)180,它有n個相等的內角.因此，正n邊形每個內角的度數(shù)是.正n邊形有n個相等的中心角，面這些中心角的和是360，因此，正n形每個中心角的度數(shù)是正邊形有n個相等的外角，而這些外角的和是360.因此，正n邊形每個外角的度數(shù)是,很容易看出：正n邊形的中心角與它的外角大小相等，正n邊形的其他計算，都歸結到直角三角形中進行(2) 正n邊形的半輕和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形.這樣就把正n邊形問題轉化成了直角三角形問題了。例 如下圖.M.N分別是0的內接正三角形ABC、正方形ABCD.正五邊形ABCDE.正n邊形ABCDEF.的邊AB.BC上的點，且BM=CN,連接OM.ON.(1)求圖(1)中MON的度數(shù):(2)圖(2)中MON的度數(shù)是_,圖(3)中MON的度數(shù)是_.(3)試探究MON的度數(shù)與正邊形邊數(shù)n的關系(直接寫出答案).解析從圓的旋轉不變性考慮，連接OB.OC.則OMB旋特120后一定會與CONC重合的，它的旋轉角應該等于中心角，答案 (1)解法一:連接OB.0C。正ABC內接于O,OBA=OCN+30,BOC=120又BM=CN,OB=OC,OBMOCN.BOM=CON.MON=BOC=120解法二：連接OA,OB.正ABC內接于O，AB=BC,OBN=30,AOB=120又BM=CN,AM=BN又OA=OB,AOMBON.AOM=BON.MON=AOB=120.(2)90 72(3)MON=.類題突破 正大邊形的兩條平行邊之間的距離為1.則它的邊長為A.B.C. D.答案D易錯指導易錯點1 正多邊形的面積計算錯誤例1 一個正方形和一個正六邊形的外接圓半徑相等，求此正方形與正六邊形的面積之比，錯解 正方形和正六邊形的外接圓半徑相等，設兩正多邊形的外接圓半徑為R,則正方形被對角線分成兩直角邊都為R的四個直角三角形，所以正方形的面積為四個三角形的面積的和，即為;同理，正六邊形也被分成兩直角邊都為R的六個直角三角形，其面積為，故它們的面積比為2：3. 錯因分析誤認為正六邊形的分割圖與正方形的分割圖都是等腰直角三角形。 正解正方形的外接圓半徑為R.則共面積為四個直角邊為R的等腰三角形的面積和，即；正六邊形的面積為六個邊長為R的等邊三角形的面積和，即,所以正方形與正六邊形的面積之比為;糾錯心得 正方形的外接