人教版講義九年級(jí)第二十五章概率初步25.3用頻率估算概率

合作探究探究點(diǎn)用頻率估計(jì)概率知識(shí)講解在相同條件下，大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，根據(jù)一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)，可以估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率.注意（1)用頻率估計(jì)概率時(shí)，試驗(yàn)一定要在相同的條件下進(jìn)行,試驗(yàn)次數(shù)越多，得到的頻率就越準(zhǔn)確，規(guī)律就越明顯，此時(shí)可以用頻率穩(wěn)定值估計(jì)事件發(fā)生的概率.(2)當(dāng)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率. (3)用頻率估計(jì)得到的概率是個(gè)近似值，是大量重復(fù)試驗(yàn)基礎(chǔ)上的頻率的集中趨勢(shì)值.典例剖析例 從一副沒(méi)有大小王的52張撲克牌中毎次抽出1張，然后放回洗勻再抽，在抽牌試驗(yàn)中得到下表中部分?jǐn)?shù)據(jù)：試驗(yàn)次數(shù) 50100150200250300350400出現(xiàn)紅桃的頻數(shù)1330355160769098出現(xiàn)紅桃的頻率26.0%30.0%2A.0%25.3%24.5%24.5%(1)請(qǐng)將數(shù)據(jù)表補(bǔ)充完整(所得結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)宇；(2)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，出現(xiàn)紅桃的頻率逐漸穩(wěn)定為多少(精確到1%)?（3）你能估計(jì)從52張牌中任意抽出1張師紅桃的概率師多少嗎？解析用頻率枯計(jì)概率時(shí)，般是觀(guān)察所計(jì)算的各頻率教值的變化趨勢(shì)，即觀(guān)察各數(shù)值主要集中在哪個(gè)常數(shù)的附近，這個(gè)常數(shù)就是所求概率的估計(jì)值.答案（1)從左到右，依次填入23. 3%,25.5%,25.7%.(2)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，出現(xiàn)紅桃的頻宇逐漸穩(wěn)定為 25%.(3)根據(jù)題意,可知從52張牌中任意抽出1張是紅桃的概棗為 0.25.類(lèi)題突破 某出版社對(duì)其發(fā)行的雜志的寫(xiě)作風(fēng)格進(jìn)行了 5次“讀者問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果如下：被調(diào)査人數(shù)/n100015002 00025003000滿(mǎn)意人數(shù)/m99614961 99624962998滿(mǎn)意頻率/mn(1)計(jì)算表中的各個(gè)頻率；(2)讀各對(duì)該雜志滿(mǎn)意的概率約是多少？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)一位）答案 （1)0.996 0. ,997 0.998 0.998 0.999(2)由第（1)題的結(jié)果知出版社5次“讀者問(wèn)卷調(diào)査”中，收到的反饋信息是:讀者對(duì)該雜志滿(mǎn)意的概率約是0.9點(diǎn)撥（1)直接根據(jù)頻車(chē)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)頻率與概率的關(guān)系回答。(3)你能估計(jì)從52張牌中任意抽出1張是紅桃的概率是多率與概率的關(guān)系回答重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn) 用頻率估計(jì)概率的應(yīng)用1.大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定數(shù)值左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率,這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件發(fā)生的概率.2.用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來(lái)越精確.例 在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20個(gè)，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001 000摸到白球的 次數(shù)m5896116295484601摸到白球的 次數(shù)mn0.580.640.580.590. 6050. 601(1)請(qǐng)估計(jì):當(dāng)m很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近.(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位)(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是_，摸到黑球的概率是_;(3)試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少個(gè)；(4)解決了上面的問(wèn)題，小明同學(xué)猛然頓悟，過(guò)去一個(gè)懸而未決的問(wèn)題有辦法了，這個(gè)問(wèn)題是:在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的情況下,如何估計(jì)白球的個(gè)數(shù)(可以借助其他工具及用品)？請(qǐng)你應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與概率的思想和方法解決這個(gè)問(wèn)題，寫(xiě)出解決這個(gè)問(wèn)題的主要步驟及估算方法. 解析 通過(guò)試驗(yàn)來(lái)估計(jì)不確定事件發(fā)生的概率大小，通常是在試驗(yàn)次數(shù)越多，事件發(fā)生的頻率值逐漸穩(wěn)定時(shí)，才可以將這個(gè)頻率的穩(wěn)定值作為該事件發(fā)生的概率.答案（1)由上表可知，當(dāng)n500時(shí)，頻率值穩(wěn)定在0.6左右，由此可知，當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.6.(2)摸到白球的概率是0. 6,這時(shí)摸到黑球的概率為1 一0.6=0 4.白球個(gè)數(shù):200.3=12個(gè)，黑球個(gè)數(shù):200.4=8(個(gè))或 2012=8(個(gè)).（4）方案一：添加：向口袋中添加一定數(shù)目的黑球,并充分?jǐn)噭?；試?yàn):進(jìn)行大S次數(shù)的摸球試驗(yàn)(有返回），記錄摸到黑球和白球的次數(shù).分別計(jì)算頻率，由頻率估計(jì)概率；估算:黑球個(gè)數(shù)摸到黑球的概率=球的總個(gè)數(shù)；球的總個(gè)數(shù)摸到白球的概率=白球個(gè)數(shù)方案二：標(biāo)記:從口袋中摸出一定數(shù)目的白球做上標(biāo)記，然后放回口袋并充分?jǐn)噭颍粚?shí)驗(yàn)：進(jìn)行大量次數(shù)的摸球?qū)嶒?yàn)（有返回），記錄摸到有標(biāo)記球的次數(shù)，計(jì)算頻率，由頻率估計(jì)概率；估算：有標(biāo)記球的個(gè)數(shù)摸到有標(biāo)記球的概率=白球的個(gè)數(shù)。點(diǎn)撥 問(wèn)題(4)給出了用頻率估計(jì)概率，再利用概率估計(jì)數(shù)量的方法，這是曰常生活中較常用的方法，如估計(jì)水塘中魚(yú)的總量等問(wèn)題，可以解決沒(méi)法數(shù)，但又需要知道大約數(shù)量的實(shí)際問(wèn)題.類(lèi)題突破 王老漢為了與客戶(hù)簽訂購(gòu)銷(xiāo)合同，對(duì)自己池塘中魚(yú)的總質(zhì)量進(jìn)行估計(jì)，第一次撈出100條，將每條魚(yú)做上記號(hào)放人水中；當(dāng)它們完全混合于魚(yú)群后,又撈出200條,稱(chēng)得質(zhì)量為416 kg,且?guī)в杏浱?hào)的魚(yú)為20條，估計(jì)王老漢的池塘中有多少條魚(yú)，共多少千克？解析 池塘里每一條魚(yú)被撈出來(lái)的機(jī)會(huì)是一樣的，做了記球的次數(shù)，計(jì)算頻率，由頻率估計(jì)概率;記號(hào)的魚(yú)占魚(yú)群的比例和撈出的做記號(hào)的魚(yú)與撈出魚(yú)教的比值應(yīng)當(dāng)一致，由此可估計(jì)池塘中的魚(yú)數(shù)，從而得出總質(zhì)董.答案 因?yàn)閾瞥龅?00條魚(yú)中帶有記號(hào)的魚(yú)為20條，所以，做記號(hào)的魚(yú)被撈出的頻率為20200= 0.1.而池塘中共有100條做記號(hào)的魚(yú)，所以池塘中總共約有100+0. 1 = 1 000 條魚(yú).每條魚(yú)的平均質(zhì)量為416 + 200=2. 08 (kg),所以池塘中魚(yú)的總質(zhì)量約為1000X2. 08=2 080 (kg).易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn) 誤以為事件發(fā)生的頻率就是概率例 小穎和小紅兩位同學(xué)在學(xué)“概率”時(shí)，做投擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體）的試驗(yàn)，她們共做了 60次試驗(yàn)，試驗(yàn)的結(jié)果如下表：朝上的點(diǎn)數(shù)123456出現(xiàn)的次數(shù)79682010(1)計(jì)算出現(xiàn)“3點(diǎn)朝上”的頻率和出現(xiàn)“5點(diǎn)朝上”的概率；(2)小穎說(shuō):“根據(jù)試驗(yàn)知，一次試驗(yàn)中出現(xiàn)“5點(diǎn)朝上，的概率最大.”小紅說(shuō):“如果投擲600次，那么出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上，的次數(shù)正好是100.”小穎、小紅的說(shuō)法正確嗎？為什么？錯(cuò)解 出現(xiàn)“3點(diǎn)朝上”的頻率是660=110，出現(xiàn)“5點(diǎn)朝上”的概率是2060=13 (2)都正確.因?yàn)槌霈F(xiàn)“5點(diǎn)朝上”的概率是2060=13,最大,所以一次試驗(yàn)中出現(xiàn)“5點(diǎn)朝上”的概率最大；因?yàn)?0次試驗(yàn)中有10次出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”,所以投擲600次出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上，的次數(shù)正好是600=16600=100次。錯(cuò)因分析 本題出鍺的根本原因是混淆了頻率和概率，誤以為某次試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率就是概率.只有當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)足夠多時(shí)，該事件發(fā)生的頻率才會(huì)穩(wěn)定在該事件發(fā)生的概率附近，另一個(gè)錯(cuò)誤原因是忽視了隨機(jī)事件的發(fā)生具有隨機(jī)性.正解（1)出現(xiàn)“3點(diǎn)朝上”的頻率是660=110,因?yàn)轺蛔淤|(zhì)地均勻，所以出現(xiàn)“5點(diǎn)朝上”的概率是16 (2)小穎的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，因?yàn)槌霈F(xiàn)“5點(diǎn)朝上”的頻率最大并不能說(shuō)明出現(xiàn)“5點(diǎn)朝上”這一事件發(fā)生的概率最大，只有試驗(yàn)的次數(shù)夠多時(shí)，該事件發(fā)生的頻率才會(huì)穩(wěn)定在該事件發(fā)生的概率附近