人教版選修21第三章平面的法向量與平面的向量表示講義

案例（二）-精析精練課堂 合作 探究重點難點突破知識點一 平面的法向量 1.平面法向量的定義 (1)定義:已知平面a如果向量n的基線與平面a垂直,則向量n叫做平面a的法向量或說向量n與平面a正交. (2)平面法向量的性質(zhì):平面a的一個法向量垂直于與平面a共面的所有向量;一個平面的法向量有無數(shù)個,一個平面的所有法向量互相平行. 2.平面的法向量的求法 方法一:找到一條與已知平面垂直的直線,則該直線的任意方向向量都是該平面的法向量 方法二:待定系數(shù)法,即若要求出一個平面的法向量的坐標,一般要建立空間直角坐標系,然后用待定系數(shù)法求解,一般步驟如下:設出平面的法向量為n=(x,y,x)；找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)；根據(jù)法向量的定義,建立關于x,y,z的方程組解方程組,取其中的一個解,即得法向量. 這里需要說明的是:方法二必須建立空間直角坐標系,而方法一卻不一定要建立空間直角坐標系,視具體情況而定;在求平面的法向量時,要先找有沒有和平面垂直的直線,若沒有則用待定系數(shù)法;在利用方法二求解平面的法向量時,方程組有無數(shù)多個解,只需給x,y,之中的一個變量賦予一個特值,即可確定平面的一個法向量.賦予的值不同,所求平面的法向量就不同,但它們是共線向量. 3.平面法向量的作用 詳解:設n1,m2分別是平面a,的法向量,m是直線l的方向向量,則有:a或amn1mn1=0；amn1；a或a與重合n1n2；a=n1n2n1n2=0. 知識點二 三垂線定理及其逆定理. 三垂線定理及逆定理實際上反映的是斜線和射影的關系. 三垂線定理的符號描述 如右圖,PO、PA分別是平面a的垂線、斜線,OA是PA在a內(nèi)的射影,aa,且aOA,則aPA.三垂線定理的逆定理的符號描述如上圖,PO、PA分別是平面a的垂線、斜線,OA是PA在a內(nèi)的射影,aa,且aPA,則aOA.關于定理的應用,首先是找出平面的垂線,至于射影則是由垂足,斜足來確定的,因而是第二位的,由此,我們可以得出三垂線定理證明ab的一個程序:一垂、二射、三證,即:第一:找平面及平面的垂線;第二:找射影線(或斜線),這時a,b便成為平面內(nèi)的一條直線及一條斜線(或射影);第三:證明射影(或斜線)與直線a垂直,從而得出a,b垂直. 典型例題分析 題型1 求平面的法向量 【例1】已知平面a經(jīng)過三點A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),試求平面a的一個法向量.解析 用待定系數(shù)法求解平面a的法向量.答案 因為A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),所以=(1,-2,-4),=(2,-4,-3).設平面a的法向量為n=(x,y,z),依題意,應有n=0,n=0,即有解得令y=1,則x=2,所以平面a的一個法向量為n=(2,1,0方法指導 用待定系數(shù)法求解平面的法向量,關鍵是在平面內(nèi)找兩個不共線的向量,然后列出方程組,方程組有無數(shù)解取其中的一個解即可,但要注意在取方程組的一組解時,不能都取零,否則得到零向量,而零向量的方向不能確定,不能作為法向量.【變式訓練1】 已知點A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的一個單位法向量答案 因為A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),所以=(-3,4,0),=(-3,0,5).設平面ABC的法向量為n=（x,y,z)依題意，應有n=0,n=0,即有解得,即平面A的法向量為n(x，x,x),所以平面ABC的單位向量為n0=(,)或n0=-=(-,-,-). 【例2】 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的法向量n和單位法向量n0.解析 首先建立空間直角坐標系,再用待定系數(shù)法求解平面的法向量.答案 建立空間直角坐標系,如圖,則A(1,0,0),C(0,1,0).設平面ACD1的法向量n=(x,y,1).得=(-1,1,0),=(-1,0,1).又n面ACD,得n,n,所以有得n=(1,1,1),n0=.方法指導 用待定系數(shù)法求解平面的法向量,應該說是個基本方法,它具有操作簡單的特點,應切實掌握其實,對于本題來說,卻未必是一個好的方法,這是因為我們可以利用三垂線定理得出直線DB1AD1,DB1CD1,從而DB1平面ACD1,所以就是平面ACD1的一個法向量. 【變式訓練2】 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,在BC,DD1上是否存在點E,F,使是平面ABF的法向量?若存在,請證明你的結(jié)論,并求出點E,F滿足的條件;若不存在,請說明理由.答案 建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,1),B(1,1,1),B1(1,1,0).設F(0,0,h),E(m,1,1),則=(0,1,0),=(m-1,0,1),=(1,0,1-h).=0,ABB1E.若是平面ABF的法向量,則=m-1+1-h=m-h=0,h=m即E,F滿足D1F=CE時,是平面ABF的法向量.所以存在,且E,F滿足D1F=CE. 題型2 三垂線定理及其逆定理的應用 【例3】 如下圖,下列5個正方體圖形中,線段是正方體的條對角線,點M、N、P分別為其所在棱的中點,能得出面MNP的圖形的序號是 .(寫出所有符合要求的圖形序號)解析 本題以正方體為依托,主要考查直線與平面垂直的判定,比較深刻地考查了空間想象能力.為了得到本題答案,必須對5個圖形逐一進行判別.對于給定的正方體,位置固定,截面MNP變動,與面MNP是否垂直,可以從正、反兩方面進行判斷,MN、NP、MP三條線中,若有一條不垂直,則可斷定與面MNP不垂直；若有兩條相交直線與都垂直,則可斷定面MNP. 答案 解法一:如果記正方體對角線所在的對角線截面為a,各圖可討論如下: 在圖中,MN、NP在平面a上的射影為同一直線,且與垂直故面MNP.事實上,還可這樣考慮:在上底面的射影是MP的垂線,故MP；在左側(cè)的射影是MN的垂線,故MN,從而面MNP. 在圖中,由MP面a,可證明MN在平面a上的射影不是的垂線,故不垂直于MN.從而不垂直于面MNP. 在圖中,點M在a上的射影是的中點,點P在a上的射影是上底面的中點,知MP在a上的射影不是的垂線,得不垂直于面MNP. 在圖中,平面a平分線段MN,故MN,又在左側(cè)面的射影(即側(cè)面正方形的一條對角線)與MP垂直,從而MP,故平面MNP. 在圖中,點N在平面a上的射影是對角線的中點,故M、P在平面a上的射影分別是下、下底面對角線的4等分點,三個射影在同一條直線上,且與這一直線垂直從而面MNP. 至此,得為本題答案.解法二：建立空間直角坐標系O-xyz,設正方體的棱長為2,則對角線的方向向量可取為=(2,2,-2). 對圖,有=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0), =(0,0,-1)-(1,0,0)=(-1,0,-1), 由=0,=0,得面MNP. 對圖,有=(2,2,-1)-(1,0,-2)=(1,2,1), 由0知與面MNP不垂直. 對圖,有=(0,1,0)-(2,0,-1)=(-2,1,1), 由0知與面MNP不垂直. 對圖,有=(1,0,-2)-(2,0,-1)=(-1,0,-1), =(0,2,-1)-(2,0,-1)=(-2,2,0), 由=0,=0,得面MNP. 對圖,有=(2,1,0)-(1,0,-2)=(1,1,2), =(0,2,-1)-(1,0,-2)=(-1,2,1), 由=0,=0,得面MNP 綜合得本題答案為. 方法指導 從解法二可以看到:應用向量法討論兩直線是否垂直十分方便,操作也比較簡單,無須多動腦筋,只需要計算正確即可. 【變式訓練3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分別是棱AB、BC、BB1上的點,且BE=BF=BG,求證:BD1平面EFG. 答案 如下圖所示,因為四邊形ABCD是正方形,BE=BF,所以EFAC,又因為ACBD,所以EFBD.因為BD為BD1在平面AB上的射影,所以BD1EF(三垂線定理). 同理BD1EG,故BD1平面EFG.【例4】 如右圖,P是ABC所在平M面外一點,且PA平面ABC,若O,Q分別是ABC和PBC的垂心,求證:OQ平面PBC. 解析 欲證線面垂直,只須證明OQ垂直于面PBC中的兩條相交線,據(jù)重心,結(jié)合PA面ABC,利用三垂線定理其逆定理及求解 答案. 因為OQ平面PAE,所以OQBC,因為PA平面ABC,BFC平面ABC所以BFPA,又因為O是ABC的垂心,所以BFAC,所以BF平面PAC,則FM是BM在平面PAC上的射影. 因為BMPC,根據(jù)三垂線定理的逆定理,可得FMPC,從而PC平面BFM,又OQ平面BFM,所以OQPC,又PCBC=C,所以OQ平面PBC.方法指導 三垂線定理及其逆定理是證明線線垂直,特別是異面直線垂直的常用工具.利用三垂線定理及其逆定理證明線線垂直的問題時,解決問題的關鍵是找準“一面三線”.【變式訓練4】如下左圖,在正三棱柱ABC=A1B1C1中,AB1BC1,求證:A1CBC1.答案 如上右圖,取BC、B1C1的中點分別為D、D1,由正三棱柱的性質(zhì)知AD面BCC1B1,A1D1面BCC1B1,所以B1D、CD1分別為AB1、A1C在面BCC1B1上的射影.因為AB1BC1,所以B1DBC1(三垂線定理的逆定理)又D、D1分別為BC、B1C1的中點,所以B1DCD1,所以CD1BC1,所以BC1A1C(三垂線定理). 題型3 利用法向量證明平行與垂直 【例5】已知正方體OABC-O1A1B1C1的棱長為1,E是C1O1上的點,且C1E=EO1,F是CC1上的點,且C1F=FC. (1)求平面A1BC1的一個法向量； (2)證明EF平面A1BC1. 解析 一建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,用待定系教法求出平面A1BC1的一個法向量n,然后證明n. 答案 建立如右圖所示的空間直角坐標系,則B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1). (1)設n=(x,y,z)是平面A1BC1的一個法向量,則n,n,從而n=0,n=0=(0,-1,1),=(-1,0,1),x=z=y.取x=y=z=1,則n=(1,1,1)為平面A1BC1的一個法向量.(2) 要證明EF平面A1BC1只要證明n.E(0,1)F(0,1,),=(0,-).n=-=0,n,E平面A1BC1.又EF不在平面A1BC1內(nèi),EF平面A1BC1.方法指導 由于有了第(1)小題,所以產(chǎn)生了上面第(2)小題的證明方法對于第(2)小題的證明也可以由=-=(-)=(-)=,得,平面A1BC1,又EF平面A1BC1,故EF平面A1BC1.或由=(0,-),=(0,1,-1)=3來證明. 【變式訓練5】 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E、F分別是BB1、DD1的中點,求證: (1)FC1平面ADE； (2)平面ADE平面B1C1F.答案 如下圖,建立空間直角坐標系D-xyz,則有D(0,0，0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、C1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1),所以=(0,2,1)、=(2,0,0)、=(0,2,1). 設n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分別是平面ADE、平面B1C1F的法向量,則n1,n1, 取y=1.則n1=(0,1,-2).同理可求n2=(0,1,-2).(1) n1=(0,1,-2)(0,2,1)=0,n1,又FC1平面ADE,FC1平面ADE.(2) n1n2,平面ADE平面B1C1F. 【例6】 在正方體ABCD一A1B1C1D1中,E是棱BC的中點,試在棱CC1上求一點P,使得平面A1B1P平面C1DE.解析 若要在棱CC1上求一點P,使得平面A1B1P平面C1DE,需建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,并設出點P的坐標,求出平面A1B1P與平面C1DE的法向量,建立方程求出點P的坐標,確定點P的位置. 答案 如右圖,以D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,則P(0,1,a),A1(1,0,1),B1(1,1,1)E(,1,0),C1(0,1,1)=(0,1,0,=(-1,1,a-1),=(,1,0)=(0,1,1). 設平面A1B1P的一個法向量為n1=(x,y,z),則令z=1,則得x=a-1,所以平面A1BD的一個法向量為n1=(a-1,0,1).設平面C1DE的一個法向量為n2=(x,y,z),則令y=1,則得x=-2,z=-1,所以平面CB1D1的一個法向量為n2=(-2,1,-1).因為平面A1B1P平面C1DE,所以n1n2=0,-2(a-1)-1=0,解得a=,所以當P為CC1的中點時,平面A1B1P平面C1DE. 規(guī)律總結(jié) 此題是確定點P的位置,但考查的是兩個平面垂直的充要條件,解決本題的關鍵是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,求出兩個平面的法向量.這里法向量的坐標一個都不能求錯,否則將得到錯誤答案. 【變式訓練6】 如下圖,ABC是一個正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點. 求證:平面DEA平面ECA. 答案 不妨設CA=2,則CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),=(,1,-2),=(0,0,2),=(0,2,-1),設面CEA與面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1)、n2=(x2,y2,z3),所以得不妨取n1=(1,-3,0),n2=(3,1,2)從而計算得n1n2=0,所以兩個法向量相互垂直,兩個平面就相互垂直. 規(guī)律 方法 總結(jié) (1)求平面法向量的方法: 求一個平面的法向量的坐標的方法步驟: 建立空間直角坐標系,設出平面的法向量為n=(x,y,z) 找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標 a=(a0,b1,c1),b=(a2,b2,c2). 根據(jù)法向量的定義建立關于x、y、x的方程組 解方程組,取其中的一個解,即得法向量.由于一個平面的法向量有無數(shù)個,故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量. (2)用空間向量證明平行問題,主要是運用直線的方向向量和平面的法向量,借助空間中已有的一些關于平行的定理,再通過向量運算來解決. (3)用空間向量證明垂直問題,主要是運用直線的方向向量和平面的法向量,借助空間中已有的一些關于垂直的定理,再通過向量運算來解決.定時 鞏固 檢測基礎訓練1. 下列說法中不正確的是 （ ） A.平面a的法向量垂直于與平面a共面的所有向量 B一個平面的所有法向量互相平行 C.如果兩個平面的法向量垂直,那么這兩個平面也垂直 D.如果a,b與平面a共面,且na,nb,那么n就是平面a的一個法向量【答案】 D(點撥:a與b所在直線必須為相交直線時,n才是平面a的一個法向量,否則不是.)2. 給定下列命題:若n1,n2分別是平面a，的法向量,則n1n2a；若n1,n2分別是平面a,的法向量,則an1n2=0；若n是平面a的法向量,且向量a與平面a共面,則an=0；若兩個平面的法向量不垂直,則這兩個平面定不垂直其中正確命題的個數(shù)是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 C(點拔:正確,中ap=mnm,)3. 給定下列命題:若a是平面a的斜線,直線b垂直于a在平面a內(nèi)的射影,則ab;若a是平面a的斜線,平面內(nèi)的條直線b垂直于a在平面a內(nèi)的射影,則ab;若a是平面a的斜線,直線ba,且b垂直于a在平面內(nèi)的射影,則ab；若a是平面a的斜線,直線ba,且b垂直于a在平面a內(nèi)的射影,則ab.其中,正確命題的個數(shù)是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.3【答案】 B(點撥:根據(jù)三垂線定理及其逆定理判斷只有正確.)4. RtABC的斜邊BCC平面a,頂點Aa,則ABC的兩條直角邊在平面a內(nèi)的射影與斜邊所成的圖形只能是 ( ) A.一條線段或一個直角三角形 B一條線段或一個銳角三角形 C.一條線段或一個銳角三角形 D.一個銳角三角形或一個直角三角形 【答案】 C(點撥:當平面ABC平面a時,RtABC在平面內(nèi)的射影是一條線段.當平面ABC與平面a斜交時,如右圖所示,過A作AOa,連接BO,CO,在BOC中,AB2一AO2=BO2,在RtAOC中,AC2-AO2=CO2,在RtABC中,AB2+AC2=BC2,在RtABC中,cosBOC=,將代入,得cosBOC=0,所以BOC是鈍角,所以BOC是鈍角三角形.)5. 設A是空間任意一點,n為空間任一非零向量,則適合條件n=0的點M的軌跡是 . 【答案】 過點A且與向量n