人教版八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形 第15講_正方形 講義（無(wú)答案）

初中八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第15講：正方形一：知識(shí)點(diǎn)講解知識(shí)點(diǎn)一：正方形的定義 定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形 正方形的定義有三個(gè)條件：有一組鄰邊相等；有一個(gè)角是直角；是平行四邊形，這三個(gè)條件必須同時(shí)具備，缺一不可 正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的菱形、特殊的矩形，它們的關(guān)系如圖所示例1：下列命題錯(cuò)誤的是（ ）A.有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形B.有一組鄰邊相等的矩形是正方形C.有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形D.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形知識(shí)點(diǎn)二：正方形的性質(zhì) 性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì) 邊：對(duì)邊平行，四條邊都相等 角：四個(gè)角都是直角 對(duì)角線：兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 對(duì)稱性：正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸。 正方形的面積=邊長(zhǎng)的平方 正方形的面積=對(duì)角線乘積的一半例2：如下圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若AO=2，求1) ABD的度數(shù)2) BD的長(zhǎng)3) 正方形ABCD的面積知識(shí)點(diǎn)三：正方形的判定 有一組鄰邊相等的矩形是正方形（先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形是菱形） 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形（先判定一個(gè)四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形是矩形）例3：如下圖所示，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EA=EC。1) 求證：四邊形ABCD是菱形2) 若DAC=EAD+AED，求證：四邊形ABCD是正方形二：知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一：正方形的定義1. 已知，在四邊形ABCD中，A=B=C=90，如果添加一個(gè)條件即可推出該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是（ ）A.D=90B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD知識(shí)點(diǎn)二：正方形的性質(zhì)2. 正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，則圖中的等腰三角形有（ ）A.4個(gè)B.6個(gè)C.8個(gè)D.10個(gè)3. 如下圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在CD、BC上，且BF=CE，連接BE、AF相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論不正確的是（ ）A.BE=AFB.DAF=BECC.AFB+BEC=90D.AGBE4. 如下圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于E、F，則陰影部分的面積是 。知識(shí)點(diǎn)三：正方形的判定5. 在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的條件是（ ）A.AC=BD，AB與CD平行且相等B.ADBC，A=CC.AO=BO=CO=DO，ACBDD.AO=CO，BO=DO，AB=BC6. 如下圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，分別延長(zhǎng)OA、OC到點(diǎn)E、F，使AE=CF，依次連接B、F、D、E各點(diǎn)。1) 求證：BAEBCF2) 若ABC=50，則當(dāng)EBA= 時(shí)，四邊形BFDE是正方形。7. 如下圖，EG，F(xiàn)H過(guò)正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O，且EGFH。求證：四邊形EFGH是正方形。三：題型分析題型一：矩形與正方形的綜合例1：如下圖，已知四邊形EFGH是由矩形AB，CD的外角平分線圍成的。求證：四邊形EFGH是正方形。題型二：利用正方形的性質(zhì)解決面積問(wèn)題例2：如下圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E在AB邊上，四邊形EFGB也為正方形，設(shè)AFC的面積為S，則（ ）A.S=2B.S=2.4C.S=4D.S與BE長(zhǎng)度有關(guān)題型三：利用正方形的性質(zhì)證明線段相等問(wèn)題例3：如下圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MECD交BC于點(diǎn)E，作MFBC交CD于點(diǎn)F。求證：AM=EF易錯(cuò)點(diǎn)：不能正確理解特殊平行四邊形的概念和識(shí)別方法例4：給出下列結(jié)論：1 有一組對(duì)邊平行，且兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形2 兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形3 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是矩形4 有一個(gè)角是60的平行四邊形是菱形5 有兩邊相等的平行四邊形是菱形6 有一組鄰邊相等的矩形是正方形7 有三邊相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形8 對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形其中正確的結(jié)論有（ ）A.2個(gè)B.3個(gè)C.5個(gè)D.8個(gè)四：習(xí)題1：選擇題1) 四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，有以下結(jié)論：AB=BC；DAB=90；BO=DO，AO=CO；四邊形ABCD是矩形；四邊形ABCD是菱形；四邊形ABCD是正方形。下列推論不正確的是（ ）A.由，得B.由，得C.由，得D.由，得2) 如下圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH，若BE:EC=2:1，則線段CH的長(zhǎng)是（ ）A.3B.4C.5D.63) 給出下列命題：四條邊相等的四邊形是正方形；兩組鄰邊分別相等的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；兩條對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形。其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.1B.2C.3D.44) 如下圖，在ABC中，O是AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MNBC。設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，且ACB= 時(shí)，四邊形AECF是正方形（ ）A.45B.60C.85D.905) 如下圖，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)EAB，AF=2AE，F(xiàn)C交BD于O，則DOC的度數(shù)為（ ）A.60B.67.5C.75D.546) 如下圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊的正方形EFGH的周長(zhǎng)為（ ）A.B.C.D.2：填空題1) 在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件下面給出了四組條件：ABAD，且AB=AD；AB=BD，且ABBD；OB=OC，且OBOC；AB=AD，且AC=BD。其中正確的序號(hào)是 （寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）。2) 平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，要使四邊形ABCD為正方形，還需添加的一個(gè)條件是 （只需添加一個(gè)即可）。3) 矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件： ，使其成為正方形（只填一個(gè)即可）。4) 如下圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在邊AB上，且BE=1，若點(diǎn)P在對(duì)角線BD上移動(dòng)，則PA+PE的最小值是 。5) 如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形的兩邊的坐標(biāo)軸上，以它的對(duì)角線為邊作正方形，再以正方形的對(duì)角線為邊作正方形，以此類推，則正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 。3：解答題1) 如下圖，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與點(diǎn)C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFC，連接BG、DE。我們探究如下圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：1 猜想下圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系2 將下圖中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如下圖和的情形。請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷上題中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取下圖證明你的判斷。2) 如下圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，HA=EB=FC=GD，連接EG,FH，交點(diǎn)位O1 如圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；2 將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開(kāi)，再把得到的四個(gè)四邊形按下圖的方式拼接成一個(gè)四邊形。若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，則下圖中陰影部分的面積為 3) 已知：如下圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，O，F(xiàn)分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，OE，OF。1 求證：BC