人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第17章《勾股定理》講義第5講（有答案）

第5講 勾股定理第一部分 知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為， 那么。 知識(shí)點(diǎn)二：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一： ，化簡(jiǎn)可證方法二： 四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三： ，化簡(jiǎn)得證知識(shí)點(diǎn)三：勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形知識(shí)點(diǎn)四：勾股定理的應(yīng)用、已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在中， 則， 、知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系 、可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題第二部分 考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、勾股定理的證明應(yīng)用、面積問題例1、如圖字母B所代表的正方形的面積是（ ） A、12 B、13 C、144 D、194 例2、直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊上的高為h,則下列各式中總能成立的是（ ） A、ab=h2 B、a+b=2h C、+= D、+=例3、在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示），已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、 2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4=_例4、4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖所示的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?例5、已知：如圖，ABC中，C90，D為AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且DEDF求證：AE2BF2EF2舉一反三：1、如圖，帶陰影的矩形面積是（ ）平方厘米。A9 B24 C45 D512、如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是（ ）A.13 B.26 C.47 D.94 第1題 第2題3、勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理。在我國古算書周髀算經(jīng)中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載。如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理。圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，AB=3，AC=4，則D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（ ） A、90 B、100 C、110 D、1214、如圖，已知：在中，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫半圓，試說明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等5、如圖，已知：，于P求證： 6、一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法.如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面倒下到的位置，連結(jié)，設(shè)，請(qǐng)利用四邊形的面積證明勾股定理：.abAADAABCbc考點(diǎn)2、勾股定理求邊長(zhǎng)、網(wǎng)格問題例1、已知一個(gè)Rt的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（ ） A、25B、14 C、7 D、7或25例2、ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,則ABC的周長(zhǎng)是（ ） A、42 B、32 C、42或32 D、37或33例3、已知x、y為正數(shù)，且x24+（y23）2=0，如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形，那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（ ）A、5 B、25 C、7 D、15例4、如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都為1求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積例5、如圖所示,有一條小路穿過長(zhǎng)方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,則這條小路的面積是多少?舉一反三：1、在RtABC中，C=90 若AB=41，AC=9，則BC=_； 若AC=1.5，BC=2，則AB=_， ABC的面積為_2、Rt一直角邊的長(zhǎng)為11，另兩邊為自然數(shù)，則Rt的周長(zhǎng)為（ ） A、121B、120C、132D、不能確定3、某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要（ ） A、450a元 B、225a 元 C、300a元 D、150a元15020m30m第3題圖4、如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”如圖（一）中四邊形ABCD就是一個(gè)“格點(diǎn)四邊形”（1）求圖（一）中四邊形ABCD的面積；（2）在圖（二）方格紙中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形EFG，使EFG的面積等于四邊形ABCD的面積且為軸對(duì)稱圖形 圖（一） 圖（二）5、如圖所示,ABC中,ACB=90,CDAB于D,且AB+BC=18cm,若要求出CD和AC的長(zhǎng),還需要添加什么條件?考點(diǎn)3、實(shí)際應(yīng)用求長(zhǎng)度問題例1、小剛準(zhǔn)備測(cè)量河水的深度,他把一根竹竿插到離岸邊1.5m遠(yuǎn)的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的頂端拉向岸邊,竿頂和岸邊的水平剛好相齊,河水的深度為（ ） A、2m B、2.5cm C、2.25m D、3m例2、小東拿著一根長(zhǎng)竹竿進(jìn)一個(gè)寬為3米的城門，他先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來拿，結(jié)果竹竿比城門高1米，當(dāng)他把竹竿斜著時(shí)，兩端剛好頂著城門的對(duì)角，問竹竿長(zhǎng)多少米？例3、如下圖，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)為10米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C間的距離為6米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得DB的長(zhǎng)為2米，則梯子頂端A下落了多少米.例4、中華人民共和國道路交通安全法規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70km/h如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀的正前方30m處，過了2s后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間距離為50m這輛小汽車超速了嗎？例5、在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高多少米?舉一反三：1、已知，如圖，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后，則兩船相距（ ） A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里北南A東2、已知等腰三角形的一條腰長(zhǎng)是5，底邊長(zhǎng)是6，則它底邊上的高為_3、一個(gè)無蓋的紙盒，底面是面積為81cm2的正方形，高是12cm.小麗將一小木棒如圖放置,量得露出紙盒外面部分長(zhǎng)是2cm.請(qǐng)求出小麗的小木棒總長(zhǎng)度.4、如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？ADEBC第 4 題圖5、已知，ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC邊上的中線AD=15cm，試說明ABC是等腰三角形?？键c(diǎn)4、實(shí)際應(yīng)用折疊、旋轉(zhuǎn)問題例1、如圖,已知矩形ABCD沿著直線BD折疊,使點(diǎn)C落在C處,BC交AD于E,AD=8,AB=4,則DE的長(zhǎng)為（ ）A、3 B、4 C、5 D、6例2、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8。現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于多少？ ACDBE例 2例3、如圖所示,RtABC中,BC是斜邊,將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,能與ACP重合,如果AP=3,你能求出PP的長(zhǎng)嗎? 例4、如圖，小紅用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長(zhǎng)BC為10cm當(dāng)小紅折疊時(shí)，頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE）想一想，此時(shí)EC有多長(zhǎng)？例5、如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).舉一反三：1、已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（ ） A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm22、如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為4、8的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則EB的長(zhǎng)是（ ）A3 B4 C D5 ABEFDC第1題圖 第2題3、如圖，AD是ABC的中線，ADC=45，把ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC=4,求BC的長(zhǎng).4、把一張矩形紙片（長(zhǎng)方形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF若AB = 3 cm，BC = 5 cm，重疊部分DEF的面積是多少? 5、如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米2萬，請(qǐng)你在河流L上選擇水廠的位置M（作圖并標(biāo)注菁優(yōu)網(wǎng)出來），使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用考點(diǎn)5、實(shí)際應(yīng)用最短距離問題例1、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)的最短路程是_ 例2、如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？AB小河?xùn)|北牧童小屋例3、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)BE=15cm,寬AB=10cm,高AD=20cm,點(diǎn)M在CH上,且CM=5cm,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M,需要爬行的最短距離是多少? 例4、如圖，某沿海開放城市A接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向100km的B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？ABCD例5、如圖，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）舉一反三：1、如圖為某樓梯,測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為5米,高3米,計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長(zhǎng)度至少需要多少米? 2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN30，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？ 3、如圖所示，在公路AB旁有一座山，現(xiàn)有C處需要爆破，已知點(diǎn)c與公路上的?？空続距離為300M，與公路上的另一?？空镜木嚯x為400m，且CA垂直CB，為了安全起見，距離爆破點(diǎn)C周圍半徑250m范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問在進(jìn)行爆破時(shí)，AB段公路是否需要暫時(shí)封鎖？4、如圖所示的長(zhǎng)方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5610(單位：)，在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長(zhǎng)為13， 小孔到圖中邊AB距離為1，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的管長(zhǎng)為h，則h的最小值大約為多少.（精確到個(gè)位參考數(shù)據(jù)： ） 5、如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm 和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多少cm；如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多少cm？BA6cm3cm1cm第三部分 課堂小測(cè)1、如果Rt兩直角邊的比為512，則斜邊上的高與斜邊的比為（） A、6013 B、512 C、1213 D、601692、直角三角形的周長(zhǎng)為24，斜邊長(zhǎng)為10，則其面積為（ ）A96 B49 C24 D483、如圖，在直角坐標(biāo)系中，OBC的頂點(diǎn)O（0，0），B（6，0），且OCB=90，OC=BC，則點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A（3，3） B.（3，3） C.（3，3） D.（3，3）4、如圖，在邊長(zhǎng)為c的正方形中，有四個(gè)斜邊為c的全等直角三角形，已知其直角邊長(zhǎng)為a，b.利用這個(gè)圖試說明勾股定理?C5、如圖，水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.6、如圖所示，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是一個(gè)半圓，下方是長(zhǎng)方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請(qǐng)問這輛送家具的卡車能否通過這個(gè)通道.7、如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).第四部分 提高訓(xùn)練1、如圖，OP=1，過P作PP1OP，得OP1=；再過P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又過P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法繼續(xù)作下去，得OP2019 。2、如圖，ABC中，AB=AC=2，若P為BC的中點(diǎn)，則AP2+BPPC的值為 ；若BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)P1，P2，P100，記mi=APi2+BPiPiC（i=1，2，100），則m1+m2+m100的值為 。 （1） （2）3、ABC中，BC=a，AC=b，AB=c若C=90，如圖1，根據(jù)勾股定理，則a2+b2=c2若ABC不是直角三角形，如圖2和圖3，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a2+b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。4、如圖，在等邊ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為一邊且在CD的下方作等邊CDE，連接BE（1）填空：ACB= 度； （2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上（點(diǎn)D不運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A）時(shí)，試求出的值；（3）若AB=8，以點(diǎn)C為圓心，以5為半徑作C與直線BE相交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合除外），試求PQ的長(zhǎng)第五部分 課后作業(yè)1、利用圖（1）或圖（2）兩個(gè)圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱為_，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式是_2、已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，則RtABC的面積是（） A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm23、等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32，則三角形的面積為（） A、56 B、48C、40 D、324、如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（ ）A、+1 B、+1 C、-1 D、5、如圖，在直角坐標(biāo)系中，將矩形OABC沿OB對(duì)折，使點(diǎn)A落在A1處，已知OA=，AB=1，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（ ） A、() B、() C、() D、()6、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？7、小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。8、如圖，某學(xué)校（A點(diǎn)）與公路（直線L）的距離為300米，又與公路車站（D點(diǎn)）的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個(gè)小商店（C點(diǎn)），使之與該校A及車站D的距離相等，求商店與車站之間的距離9、如圖，長(zhǎng)方體盒子（無蓋）的長(zhǎng)、寬、高分別是12cm ,8cm,30cm,在AB中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲從D處爬到C處去吃，有無數(shù)種走法，則最短路程是多少？10、如圖，某貨船以24海里時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東30的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)