人教版八年級上冊第11章《數(shù)學(xué)活動平面鑲嵌》名師教案

第十一章 三角形數(shù)學(xué)活動-平面鑲嵌(陳麗）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平面鑲嵌的含義2.掌握多邊形單獨鑲嵌的條件3.掌握多邊形組合鑲嵌的條件（二）學(xué)習(xí)重點掌握平面鑲嵌的定義，以及平面鑲嵌的條件（三）學(xué)習(xí)難點多邊形單獨鑲嵌與組合鑲嵌的條件二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù)用一些 不重疊擺放 的多邊形把平面的一部分 完全覆蓋 ，叫做多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）.2.預(yù)習(xí)自測（1）平面鑲嵌的條件是：拼接在同一個頂點處的各個多邊形的內(nèi)角之和等于_. 【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【思路點撥】根據(jù)平面鑲嵌的概念進行分析【答案】360（2）下列圖形不能用來鋪滿地面的是（ ） A.鈍角三角形 B.正方形 C.梯形 D.正五邊形【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【思路點撥】根據(jù)平面鑲嵌的概念進行分析【解題過程】A.鈍角三角形的3個內(nèi)角和為180，可以構(gòu)成一個平角，6個內(nèi)角可以在一個頂點處構(gòu)成一個周角，因此正確.B.正方形的每個內(nèi)角都等于90，4個內(nèi)角和為360，4個內(nèi)角在一個頂點處構(gòu)成一個周角，因此正確.C.梯形的4個內(nèi)角和為360，可以夠成一個周角，4個內(nèi)角在一個頂點處構(gòu)成一個周角，因此正確.D.正五邊形的每個內(nèi)角都等于108，360不是108的整數(shù)倍，也就是用一些108的角不能拼出360的角，因此錯誤.【答案】D（二）課堂設(shè)計1.知識回顧（1）正三角形的一個內(nèi)角度數(shù)為 60 ，正方形的一個內(nèi)角度數(shù)為 90 ，正五邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為 108 ，正六邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為 120 ，正八邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為 135 ，正十二邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為 150 .（2）三角形的內(nèi)角和為 180 ，四邊形的內(nèi)角和為 360 ，n邊形的內(nèi)角和 (n-2)180.2.問題探究探究一 探究平面鑲嵌的含義活動1 回顧舊知，回憶正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)正三角形正六邊形正四邊形正八邊形正五邊形正十二邊形學(xué)生活動：60，90，108，120，135，150【設(shè)計意圖】通過對舊知識的回顧，為新知識的學(xué)習(xí)作鋪墊 活動2 整合舊知，探究平面鑲嵌的概念(1)問題一：回想你家客廳（臥室）里的地磚、地板鋪設(shè)情況，并說說是用什么形狀的地磚、地板鋪成的？(2)展示實物：拼圖圖片和生活中瓷磚的圖片(3) 問題二：你發(fā)現(xiàn)它們有哪些共同特征？學(xué)生討論回答，教師歸納：用地磚鋪地，用瓷磚貼墻，都要求磚與磚嚴絲合縫，不留空隙，把地面或墻面全部覆蓋.從數(shù)學(xué)角度去分析，這些工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問題.【設(shè)計意圖】挖掘生活材料，使課堂教學(xué)盡量結(jié)合學(xué)生的生活實際.以實物圖形加深對地板（地磚）鋪設(shè)等實際情況的認識，抽象出數(shù)學(xué)問題平面鑲嵌的問題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，便于學(xué)生理解.探究二 探究一種多邊形單獨鑲嵌的條件 活動1 大膽操作，動手實驗，探究新知識全班分組活動，拿出課前準(zhǔn)備好的正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形紙片，進行鑲嵌，看哪個小組拼的又快又好，然后展示他們的成果.學(xué)生從拼圖中，得出結(jié)論：正三角形、正四邊形、正六邊形能夠鑲嵌，而正五邊形不能.【設(shè)計意圖】探究用一種正多邊形進行平面鑲嵌的條件.學(xué)生在嘗試用多邊形紙片拼接的過程中，能夠親自體會邊、角在對接時應(yīng)滿足的條件和注意的問題.活動2 集思廣益、小組討論、尋找規(guī)律 問題三：為什么正五邊形不能鑲嵌，其它的三種正多邊形可以鑲嵌？這其中有什么規(guī)律？結(jié)合剛才的活動填寫表格，尋找規(guī)律. 名稱每個內(nèi)角的度數(shù)使用正多邊形的個數(shù)在一個頂點處的度數(shù)和能否鑲嵌正三角形606360能正四邊形904360能正五邊形108/不能正六邊形1203360能小組討論，你組發(fā)現(xiàn)的規(guī)律:如果一個正多邊形可以進行鑲嵌，那么內(nèi)角一定是360的約數(shù)（或360一定是這個多邊形內(nèi)角的整數(shù)倍）.【設(shè)計意圖】通過以上環(huán)節(jié)，學(xué)生在實驗過程中充分體驗數(shù)據(jù)的收集和分析給學(xué)習(xí)帶來的幫助和啟發(fā)，逐漸發(fā)現(xiàn)用一種正多邊形能夠鑲嵌的規(guī)律.活動3 反思過程，小組交流，得出結(jié)論 分析表格可得到：正三角形、正四邊形、正六邊形的內(nèi)角度數(shù)分別是60，90，120，它們都是360的約數(shù)，說明在一個頂點處有整數(shù)個這樣的正多邊形鑲嵌；而正五邊形的內(nèi)角為108，108不是360的約數(shù)，在一個頂點處沒有整數(shù)個正五邊形鑲嵌成一個平面圖案. 從拼圖中，可得出正三角形、正四邊形、正六邊形能夠鑲嵌，而正五邊形不能.結(jié)論：在用同一種正多邊形進行覆蓋時，關(guān)鍵是看正多邊形的一個內(nèi)角，當(dāng)周角360是一個內(nèi)角的整數(shù)倍時，即一個內(nèi)角的正整數(shù)倍是360時，這種正多邊形可以覆蓋平面，否則不可以.即：如果一個正多邊形可以進行鑲嵌，那么內(nèi)角一定是360的約數(shù)（或360一定是這個多邊形內(nèi)角的整數(shù)倍）.【設(shè)計意圖】這一問題學(xué)生獨立回答，比較困難，因此這里采取小組合作，教師指導(dǎo)的教學(xué)方法.學(xué)生在合作中學(xué)習(xí)與人交流，通過交流，學(xué)生可以用自己的語言清楚地解釋這一問題，同時也提高了自己的語言表達能力.活動4 拓展延伸，探究用一種任意多邊形進行平面鑲嵌的條件問題四：任意剪出一些形狀、大小相同的三角形紙板，小組合作拼拼看，它們能否鑲嵌成平面圖案.任意剪出一些形狀、大小相同的四邊形紙板，小組合作拼拼看，它們能否鑲嵌成平面圖案.學(xué)生活動：形狀、大小完全相同的任意三角形可以進行鑲嵌.形狀、大小完全相同的任意四邊形可以進行鑲嵌.問題五：用一些形狀、大小相同的多邊形，它們能夠鑲嵌成平面圖案的條件是什么？小組交流總結(jié)：用一些形狀、大小相同的多邊形，它們能夠鑲嵌成平面圖案的條件：對于給定的某種正多邊形，它能否拼成一個平面圖形，而不留一點空隙.顯然問題的關(guān)鍵在于分析能用于完整鋪平地面的正多邊形的內(nèi)角特點.當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角360時，就鋪成一個平面圖形.【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生的操作能力,了解一般的三角形或四邊形可以進行平面鑲嵌.探究三 探究用兩種正多邊形平面鑲嵌的條件 活動1 大膽操作，動手實驗，發(fā)散思維問題六：用剛才的邊長相同的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中的兩種正多邊形鑲嵌，哪兩種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖案？ 要求：大家先根據(jù)鑲嵌的條件動手算一算，拼一拼，填一填，然后小組活動：哪兩種正多邊形能夠鑲嵌？看誰找得多?序號方案選擇是否可以鑲嵌每個內(nèi)角的度數(shù)同一個頂點使用個數(shù)1正三角形是603正方形9022正三角形否/正五邊形/3正三角形是602或4正六邊形1202或14正方形否/正五邊形/5正方形否/正六邊形/6正五邊形否/正六邊形/【設(shè)計意圖】通過比賽激發(fā)學(xué)生繼續(xù)動手實驗的欲望，以小組活動進行驗證在學(xué)生分析時,引導(dǎo)他們依照剛才的表格去收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)通過以上環(huán)節(jié)，學(xué)生在實驗過程中充分體驗數(shù)據(jù)的收集和分析給學(xué)習(xí)帶來的幫助和啟發(fā)，逐漸發(fā)現(xiàn)用兩種正多邊形能夠鑲嵌的規(guī)律.活動2 集思廣益 ，規(guī)律總結(jié)用兩種邊長相等的正多邊形覆蓋平面時的條件是：設(shè)兩種正多邊形的內(nèi)角分別是、，當(dāng)m+n=360中的m，n有正整數(shù)滿足時，這兩種正多邊形可以覆蓋平面.【數(shù)學(xué)思想】方程思想，模型思想3. 課堂總結(jié)知識梳理：（1）用一些不重疊擺放的多邊形把平面一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問題.（2）用同一種正多邊形平面鑲嵌的條件是：當(dāng)正多邊形的一個內(nèi)角的正整數(shù)倍是360時，這種正多邊形可以覆蓋平面.（3）在一般的多邊形中，只有三角形、四邊形可以平面覆蓋，因為三角形和四邊形的內(nèi)角和的正整數(shù)倍是360.（4）用兩種邊長相等的正多邊形覆蓋平面時的條件是：設(shè)兩種正多邊形的內(nèi)角分別是a,當(dāng)ma+n=360中的m，n有正整數(shù)滿足時，這兩種正多邊形可以覆蓋平面.重難點歸納：（1）平面鑲嵌是用一種或幾種平面圖形進行拼接，要求圖形與圖形之間不留空隙、不重疊地鋪成一片.（2）平面鑲嵌的條件是：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360.相鄰的多邊形有公共邊.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型 自主突破1.用多邊形把平面的一部分完全覆蓋的意思是指既不留_，又不_，這與多邊形的_有關(guān).【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【思路點撥】根據(jù)平面鑲嵌的概念進行分析【答案】一絲空隙 互相重疊 內(nèi)角 2.我們已經(jīng)知道，用一種正多邊形鋪地面時，只有_，_，_三種圖形能鋪滿地面.【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【思路點撥】根據(jù)用一種正多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【答案】正三角形 正方形 正六邊形 3.下列圖形中,能鑲嵌成平面圖案的是( ) A.正五邊形 B.正六邊形 C.正七邊形 D.正八邊形【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【思路點撥】根據(jù)用一種正多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】A.正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為108，不能被360整除，所以不能鑲嵌B.正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為120，能被360整除，所以能鑲嵌C.正七邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)約為129，不能被360整除，所以不能鑲嵌D.正八邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為135，不能被360整除，所以不能鑲嵌【答案】B4.下列正多邊形的組合中 , 不能鑲嵌的是 ( ) A . 正方形和正三角形 B. 正方形和正八邊形 C. 正三角形和正十二邊形 D. 正三角形和正五邊形【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【數(shù)學(xué)思想】方程思想，模型思想【思路點撥】根據(jù)用兩種正多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】A. 902+603=360能鑲嵌B. 901+1352=360能鑲嵌C.601+1502=360能鑲嵌D.60m+108n=360 m,n取不到整數(shù),不能鑲嵌【答案】D5有以下邊長相等的三種圖形：正三角形正方形正八邊形選其中兩種圖形鑲嵌成平面圖形，請你寫出兩種不同的選法：_或_.（用序號表示圖形）【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【數(shù)學(xué)思想】方程思想，模型思想【思路點撥】根據(jù)用兩種正多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】和：603+902=360 能鑲嵌和：60m+135n=360 m,n取不到整數(shù)，不能鑲嵌和：901+1352=360能鑲嵌【答案】和,和6.用正三角形和正十二邊形鑲嵌,可能情況有( ) A.1種 B.2種 C.3種 D.4種【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【數(shù)學(xué)思想】方程思想，模型思想【思路點撥】根據(jù)用兩種正多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】601+1502=360僅這一種情況【答案】 A 能力型 師生共研7.如果只用一種正多邊形作平面鑲嵌，而且在每一個正多邊形的每一個頂點周圍都有4個正多邊形，則該正多邊形的內(nèi)角度數(shù)為（ ） A.120 B.90 C.60 D.45【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【思路點撥】根據(jù)用一種多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】因為拼接在同一個頂點處的各個多邊形的內(nèi)角之和等于360，所以3604=90 【答案】B8.用正三角形和正方形鑲嵌，若每一個頂點周圍有m個正三角形、n 個正六邊形,則m，n滿足的關(guān)系式是( ) A. 2m+3n=12 B. m+n=8 C. 2m+n=6 D. m+2n=6【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【數(shù)學(xué)思想】方程思想，模型思想【思路點撥】根據(jù)用兩種多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】60m+90n=360得2m+3n=12【答案】A9.用同樣規(guī)格的黑白兩種正方形瓷磚鋪設(shè)正方形地面，觀察圖形并填空：當(dāng)黑色瓷磚為20塊時，白色瓷磚為（ ）塊；當(dāng)白色瓷磚為n2(n為正整數(shù)）塊時，黑色瓷磚為（ ）塊【數(shù)學(xué)思想】方程思想【思路點撥】尋找數(shù)字間的規(guī)律并運用這一規(guī)律解決問題.【解題過程】:第n個圖形有n2塊白瓷磚,瓷磚的總數(shù)是(n+2)2,則黑瓷磚有(n+2)2-n2=4n+4塊;那么當(dāng)黑色瓷磚為20塊時,(n+2）2-n2=20,計算得出n=4,那么白瓷磚為42=16.【答案】16，4n+410當(dāng)圍繞一個頂點拼在一起的多邊形中有_個正三角形與_個正方形，這個組合能鋪滿平臺；當(dāng)圍繞一個頂點拼在一起的多邊形中有_個正三角形與_個正方形和_個正六邊形，則這個組合也能平面鑲嵌【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【思路點撥】根據(jù)用兩種多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】（1）603+ 902=360（2）601+902+1201=360【答案】3，2 ，1，2，1自助餐1.下列正多邊形不能夠鑲嵌成平面圖案的是( )A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【數(shù)學(xué)思想】方程思想【思路點撥】根據(jù)用一種正多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】A.606=360能鑲嵌B.904=360能鑲嵌C.1083=324，1084=432不能鑲嵌D.1203=360能鑲嵌【答案】2.用正方形一種圖形進行平面鑲嵌時，在它的一個頂點周圍的正方形的個數(shù)是( )A.3 B.4 C.5 D.6【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【思路點撥】根據(jù)用一種正多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】904=360【答案】B3.用兩種正多邊形進行鑲嵌，不能與正三角形匹配的多邊形是（ ）A.正方形 B.正六邊形 C.正十二邊形 D.正十八邊形【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【思路點撥】根據(jù)用兩種多邊形平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】60+1602=380【答案】D4.下列說法正確的是（ ） A.只有正多邊形可以平面鑲嵌 B最多能用兩種正多邊形進行平面鑲嵌 C一般的凸多邊形也可以平面鑲嵌 D.只有正五邊形不可以平面鑲嵌 【知識點】平面鑲嵌（密鋪）【思路點撥】根據(jù)用平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】任何一個凸四邊形的內(nèi)角和都是360【答案】5.某商店出售下列五種形狀的地磚:等腰三角形、四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形，如果只選用其中一種地磚鑲嵌地面，可供選擇的地磚共有 種?！局R點】平面鑲嵌（密鋪）【數(shù)學(xué)思想】方程思想，模型思想【思路點撥】根據(jù)用平面鑲嵌的條件進行分析【解題過程】任意三角形的內(nèi)角和都180，放在同一頂點處個三角形就可以鑲嵌；任意四邊形的內(nèi)角和都360，放在同一頂點處四邊形就可以鑲嵌；正五邊形的一個內(nèi)角是108，不能被360整除；正六邊形的一個內(nèi)角是120，能被360整除；正八邊形的一個內(nèi)角是135，不能被360整除；【答案】6.請你用正三角形、正方形、正六邊形三種圖形設(shè)計一個能鋪滿整個地面的美麗圖案（教學(xué)說明：開放性作業(yè)可以擴展學(xué)生的想象