人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)第24章圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì) 圓心角講義

合作探究探究點(diǎn)1 圓周角的概念知識(shí)講解頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.注意 圓周角必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件:頂點(diǎn)在圓上，角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可。典例剖析例1 如下圖，關(guān)于圓周角的個(gè)數(shù)的說(shuō)法正確的是( ）A.有3個(gè) B.有2個(gè) C.有1個(gè) D.有0個(gè)解析 第一個(gè)圖中的角的頂點(diǎn)不在圓周上，不是圓周角；第二個(gè)圖、第三個(gè)圖中的角也不是；第四個(gè)圖中的角符合圓周角的兩個(gè)條件，是圓周角；第五個(gè)圖中的角的一條邊與圓不相交，第六個(gè)圖中的角的兩條邊都不與圓相交，故后兩個(gè)都不是圓周角。故符合圓周角定義的角只有1個(gè)。答案 C類(lèi)題突破1 如圖，A、B、C、D、E 是上的五個(gè)點(diǎn)，則圖中共有_個(gè)圓周角。答案 6點(diǎn)撥 共有6個(gè)圓周角.探究點(diǎn)2 (高頻考點(diǎn))圓周角定理情景激疑如圖，(1)所對(duì)的兩個(gè)圓周角的度數(shù)有什么關(guān)系?比較一下，再變動(dòng)一下C點(diǎn)在圓周上的位置，有何變化?你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎?把你的結(jié)論與同伴交流一下。(2)所對(duì)的兩個(gè)圓周角與圓心角的度數(shù)有什么關(guān)系?你有什么發(fā)現(xiàn)?由此，你能得出什么結(jié)論？知識(shí)講解 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的半。這是與圓相關(guān)的一個(gè)重要性質(zhì)圓周角定理，在這里注意:定理中的圓周角和圓心角是通過(guò)它們所對(duì)的同一條弧聯(lián)系在一起的，故不能把“同一條弧”這一前提省略，而說(shuō)成“圓周角等于圓心角的一半”。也不能說(shuō)成“一條弦所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”，因?yàn)閳A的一條弦對(duì)著兩種情況的圓周角。典例剖析例2 如右圖，弦AB把圓周分成1：5的兩部分,那么劣弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為_(kāi)。解析 要求所對(duì)的圓周角的度數(shù)，可先求的度數(shù)，進(jìn)而求出所對(duì)的圓心角的度數(shù)。再利用圓周角定理,就可求出所對(duì)的圓周角的度數(shù)。答案 30類(lèi)題突破2 如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在O的圓心上，兩條直角邊分別交0于A(yíng)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在優(yōu)弧上，且與點(diǎn)A、B不重合，連接PA、PB,則的大小為_(kāi)。答案 45點(diǎn)撥 所對(duì)的圓心角為90. 根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半，即可得到.探究點(diǎn)3 (高頻考點(diǎn))圓周角定理的推論知識(shí)講解同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。典例剖析例3 如圖,在0中,弦 ,圓周角，求0的直徑。解析 要求O的直徑，必須構(gòu)造出一條直徑，此直徑與AB構(gòu)造成直角三角形，問(wèn)題就。容易解決了。答案 如圖，連接BO,并延長(zhǎng)作出直徑BD.連接AD,則，由D與ACB都對(duì)可知所以.又因?yàn)樗?類(lèi)題突破3 如圖,已知AB是O的直徑，D是圓上任意一點(diǎn)(不與A、B重合)，連接BD并延長(zhǎng)到C，使,連接AC.試判斯的形狀。答案 如圖，連接AD，是O的直徑，,即.又,為等腰三角形。 點(diǎn)撥 連接AD,由AB為0的直徑。利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到，再由，得到AD是垂直平分BC，利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理得到,可得結(jié)論.探究點(diǎn)4 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知識(shí)講解 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).典例剖析 例4 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中A、B、C的度數(shù)的比是3:2:7,求四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)。 解析 若設(shè)A、B、C的度數(shù)分別為，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，解得，于是可求出各角的度數(shù)。答案 由題意可設(shè)A、B、C的度數(shù)分別為.四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，,即，又.類(lèi)題突破4 如圖，已知 A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且.求證:DC平分BDE.答案四點(diǎn)共圓，又,又，又，即DC平分.點(diǎn)撥 根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到,于是得到結(jié)論。重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1 圓周角定理的應(yīng)用(1)圓周角是繼圓心角之后學(xué)習(xí)的又一個(gè)和圓有關(guān)的角。它和圓心角一樣在圓中經(jīng)常出現(xiàn)，它與圓心角的關(guān)系緊密，有許多與圓有關(guān)的問(wèn)題，需要通過(guò)它來(lái)解決。這兩個(gè)角容易弄混，這是需要注意的地方，要根據(jù)兩者特征加以區(qū)分。(2)在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線(xiàn)，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握。(3)定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角。(4)注意:圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的頂角和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化；圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”圓心角轉(zhuǎn)化。 例1 如圖，AB是O的直徑,C是的中點(diǎn),于D,交AE于F,連接AC.試說(shuō)明.解析一 欲說(shuō)明,只需說(shuō)明,其中是所對(duì)的圓周角。而由條件知因此只需找出所對(duì)的圓周角與ACF相等即可，而構(gòu)造所對(duì)的圓周角，需連接BC,此時(shí)恰好構(gòu)造了直徑AB所對(duì)的圓周角ACB.答案 連接BC,如圖.AB是直徑,即,是的中點(diǎn)，,解析二 欲說(shuō)明,只需說(shuō)明.因?yàn)閷?duì)著,只需找出所對(duì)的弧與相等即可，延長(zhǎng)CD交圓于H，利用垂徑定理，可得，從而得到,則問(wèn)題得解. 答案 如圖所示，延長(zhǎng)CD交圓于點(diǎn)H, AB是直徑, 又C是AE的中點(diǎn)，AC= CE,AH=CE.類(lèi)題突破1 如下圖所示，已知AB是半圓O的直徑，,D是AC的中點(diǎn),則 的度數(shù)是( ) A.25 B.29 C.30 D.32答案 B點(diǎn)撥:,則的度數(shù)為64，的度數(shù)為.D是的中點(diǎn)，的度數(shù)為 重難點(diǎn)2 圓周角定理的推論的應(yīng)用(1)圓周角定理的推論:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是證明與圓有關(guān)的兩角相等或互補(bǔ)關(guān)系的重要依據(jù). 例2 已知:如下圖，AB是0的一條弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，CD是0的直徑，過(guò)C點(diǎn)的直線(xiàn)交AB所在直線(xiàn)于點(diǎn)E.交0于點(diǎn)F.(1) (2) （3）(1)試判定圖中CEB與FDC的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出結(jié)論；(2)將直線(xiàn)繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(與CD不重合)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，E點(diǎn)、F點(diǎn)的位置也隨之變化，請(qǐng)你在兩個(gè)備用圖中分別畫(huà)出在不同位置時(shí)，使(1)的結(jié)論仍然成立的圖形，標(biāo)上相應(yīng)字母，選其中一個(gè)圖形給予說(shuō)明。解析 直線(xiàn)與AB的交點(diǎn)E的位置可以分為三類(lèi)；(1)E在A(yíng)B上；(2)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上；(3)E在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上，故要進(jìn)行分類(lèi)討論.答案 (1). (2)如圖(2),CD是O的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，是0的直徑，, 方法歸納根據(jù)同角的余角相等，所以直線(xiàn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終保持著這一不變的結(jié)論.類(lèi)題突破2 如圖,AB是0的直徑，點(diǎn)C、D都在0上，連接CA,CB,DC,DB.已知D=30, BC=3,則AB的長(zhǎng)是_。 答案 6點(diǎn)撥 求出結(jié)果。易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1 對(duì)于圓周角定理掌握不好例1 如圖，0是的外接圓，已知,則的大小為( ) A. 40 B. 30 C.45 D.50錯(cuò)解 A 錯(cuò)因分析 沒(méi)有掌握同弧所對(duì)的圓周角和圓心角之間的關(guān)系，認(rèn)為與的大小相等導(dǎo)致出錯(cuò)。正解 D 糾錯(cuò)心得 解決本類(lèi)題主要是明確圓周角和圓心角的定義，要理解圓周角和圓心角所對(duì)的弧是同一條弧時(shí)，該弧所對(duì)的圓周角才是圓心角的一半，它們之間的關(guān)系是倍半關(guān)系，而不是相等。易錯(cuò)點(diǎn)2 忽略弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)而致錯(cuò)例2 已知O中弦AB 的長(zhǎng)等于半徑,求弦AB所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù).錯(cuò)解 如圖，AB的長(zhǎng)等于半徑，為等邊三角形，,即弦AB所對(duì)的圓心角為60，圓