分形理論在我國外匯市場(chǎng)中的應(yīng)用【推薦論文】 .doc

精品論文分形理論在我國外匯市場(chǎng)中的應(yīng)用成佩，嚴(yán)定琪（蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州 730000）5摘要：為了分析和預(yù)測(cè)我國外匯市場(chǎng)未來行情的變化趨勢(shì)，本文采用修正的 r/s 分析方法對(duì)2008 年 1 月 2 日至 2012 年 12 月 31 日的人民幣對(duì)美元、歐元和日元匯率的每日中間報(bào)價(jià)進(jìn) 行研究，發(fā)現(xiàn)我國外匯市場(chǎng)是有偏的隨機(jī)游動(dòng)過程，具有典型的分形特征，這一結(jié)論為以后市場(chǎng)的定量分析提供了新的思路。同時(shí)通過對(duì)比三種匯率的平均循環(huán)周期，發(fā)現(xiàn) 2007 年美10國金融危機(jī)的爆發(fā)增強(qiáng)了我國外匯市場(chǎng)中人民幣對(duì)美元匯率的長(zhǎng)期記憶性。關(guān)鍵詞：外匯市場(chǎng)；分形理論；修正的 r/s 分析；hurst 指數(shù)；長(zhǎng)期記憶性中圖分類號(hào)：f830.92the application of fractal theory in chinas foreign15exchange marketcheng pei, yan dingqi(school of mathematics and statistics,lanzhou university,lanzhou 730000)abstract: in order to analyze and evaluate the tendency of chinas foreign exchange market, the modified r/s analysis is applied to study rmb/usd,rmb/eur and rmb/jpy exchange rate20which is from january 2,2008 to december 31,2012.the conclusion indicates that chinas foreign exchange market is a random walk with deviation and has a clear fractal structure,which providesa new thought for market quantitative analysis.by comparing the three exchange rate average cycle,we can know that americas finance crisis enhancedthe long-term memory of rmb/usd exchange rate.25key words: foreign exchange market;fractal theory; modified r/s analysis; hurst index;long-term memory0引言有效市場(chǎng)理論一度是研究資本市場(chǎng)的基石,但作為這一理論基礎(chǔ)的正態(tài)分布假設(shè)存在著30很大缺陷。大量的實(shí)證研究表明，金融時(shí)間序列的價(jià)格收益表現(xiàn)出時(shí)變波動(dòng)性、尖峰厚尾和 有偏等特征。于是近年來，用分形市場(chǎng)假說取代有效市場(chǎng)理論的思想逐漸成形。在我國，對(duì)分形市場(chǎng)的研究主要集中在股票市場(chǎng)，匯率方面的研究比較少。戴國強(qiáng)等1 研究了 1984 年至 1998 年 15 種貨幣對(duì)美元日匯率數(shù)據(jù)，結(jié)果表明匯率波動(dòng)具有狀態(tài)持久、 關(guān)聯(lián)性、周期性和非線性等特征。孫繼國等2研究了 1994 年至 2003 年人民幣和日元對(duì)美元35的日匯率，結(jié)果表明中日外匯市場(chǎng)均存在狀態(tài)持久性、關(guān)聯(lián)性和非線性，由于數(shù)據(jù)不足，未 估計(jì)出周期性。黃飛雪等3研究了 2005 年至 2007 年人民幣對(duì)美元、歐元和日元的日匯率，結(jié)果表明我國外匯市場(chǎng)存在明顯的分形特征。劉志偉等4選擇了 2005 年至 2010 年人民幣對(duì) 美元的日匯率數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，結(jié)果表明人民幣對(duì)美元市場(chǎng)具有分形特征，并且通過比較金融 危機(jī)前后兩個(gè)區(qū)間，得出金融危機(jī)對(duì)我國外匯市場(chǎng)產(chǎn)生了重大影響。40為了研究的充分性和時(shí)效性，本文選擇了我國外匯市場(chǎng)中具有代表性的 3 種外幣，以2008 年 1 月 2 日至 2012 年 12 月 31 日人民幣對(duì)美元、歐元和日元的日匯率數(shù)據(jù)為研究對(duì)象， 采用修正的 r/s 分析方法，判斷我國外匯市場(chǎng)的分形特征?？紤]到 2007 年美國金融危機(jī)的作者簡(jiǎn)介：成佩（1987-），女，蘭州大學(xué)在讀研究生，主要研究方向：金融工程通信聯(lián)系人：嚴(yán)定琪（1963-），男，副教授，主要研究方向：金融工程. e-mail: - 7 -爆發(fā)，通過比較三個(gè)匯率序列的平均循環(huán)周期，分析了金融危機(jī)對(duì)我國外匯市場(chǎng)影響的持續(xù)程度。451分形理論分形理論是現(xiàn)代非線性科學(xué)研究中十分活躍的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它的研究對(duì)象是非線性系 統(tǒng)中的不光滑和不規(guī)則的幾何體。peters5最早提出了分形市場(chǎng)這一概念。所謂分形，是指 部分和整體的相似，具有一定的自相似性和自放射性特征。不同于有效市場(chǎng)假說，分形市場(chǎng) 假說認(rèn)為歷史信息會(huì)對(duì)價(jià)格產(chǎn)生影響，價(jià)格變動(dòng)不是獨(dú)立的，收益率也不呈正態(tài)分布，它強(qiáng)50調(diào)流通性和投資時(shí)間尺度對(duì)投資市場(chǎng)行為的影響。當(dāng)投資起點(diǎn)趨于一致時(shí)會(huì)導(dǎo)致價(jià)格變動(dòng)不 連續(xù)，從而使頻數(shù)分布出現(xiàn)厚尾。分形市場(chǎng)理論揭示了資本市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶性、自相似性等等， 為資本市場(chǎng)的研究開創(chuàng)了新視覺。2r/s 分析2.1 經(jīng)典 r/s 分析55為了研究和分析時(shí)間序列的分形特征，hurst6提出了重標(biāo)極差分析法，即 r/s 分析方法， 該方法不必假設(shè)所測(cè)定時(shí)間序列的分布特征，即無論是否滿足正態(tài)分布，其分析結(jié)果都不會(huì) 受到影響。hurst 建立的關(guān)系如下：n( r / s )= (c * n)h（1）60其中 r / s 是重標(biāo)極差， n 是觀察次數(shù)， c 是常數(shù)， h 是 hurst 指數(shù)。 將（1）變形有nlog ( r / s )= h *log n + a（2）r/s 分析的具體計(jì)算步驟如下： 設(shè)時(shí)間序列ni ， i = 1, 2,l n 。651） 將時(shí)間序列ni 均分為長(zhǎng)度 n 的相鄰的 a 個(gè)子區(qū)間，因而有 a* n = n 。標(biāo)記每個(gè) 子區(qū)間為 i a ， a = 1, 2,l a。將子區(qū)間 i a 中的每個(gè)元素記為 n k ,a ， k = 1, 2,ln 。2） 計(jì)算每個(gè)子區(qū)間 i a 的平均值：1 nnea = n k ,ak =13） 計(jì)算每個(gè)子區(qū)間 i a 中元素相對(duì)于均值的累積離差：k70x k ,a = ( ni ,a - ea ) ，k = 1, 2,lni =14） 計(jì)算每個(gè)子區(qū)間 i a 的極差：ra = max ( x k ,a ) - min ( x k ,a )（3）（4）（5）1k n 1k n 5） 計(jì)算每個(gè)子區(qū)間 i a 的樣本標(biāo)準(zhǔn)差：sa =n1 ( n2k ,a - ea )（6）n k =1756） 計(jì)算每個(gè)子區(qū)間 i a 的重標(biāo)極差：a( r / s )= ras（7）a7） 計(jì)算該序列相對(duì)于劃分 n 的重標(biāo)極差a( r / s )= 1 ra（8）ansa =1 a8） 增加 n 的值，重復(fù)上面 2）8）的過程，直到 n = n 。這樣對(duì)每個(gè) n ，都能得到一2n80個(gè) (r / s )與之對(duì)應(yīng)。n9） 以 log n 為橫坐標(biāo)，log ( r / s )而得到 h 的估計(jì)。2.2 修正的 r/s 分析為縱坐標(biāo)作圖，利用最小二乘法得到回歸直線，從當(dāng)時(shí)間序列存在短期依賴關(guān)系時(shí)，r/s 分析結(jié)果可能存在一定偏差，針對(duì) r/s 分析的這85一缺陷，mandelbrot7進(jìn)行了改進(jìn)，peters8又對(duì)該方法作了進(jìn)一步修正，將 r/s 分析應(yīng)用于 序列一階自回歸過程的殘差序列。2.3 hurst 指數(shù) h 的解釋對(duì)于一個(gè)序列，如果是隨機(jī)游走的， h 應(yīng)該等于 0.5，也就是說，對(duì)于該序列的重標(biāo)極 差與時(shí)間 n 的平方根成線性關(guān)系。當(dāng) h 不等于 0.5 時(shí)，該序列不再是獨(dú)立的。90hurst 指數(shù) h 還可以衡量時(shí)間序列的相關(guān)性，關(guān)聯(lián)函數(shù)表示為：c = 22 h -1 - 1（9）當(dāng) h = 0.5 時(shí)， c =0，即時(shí)間序列之間的相關(guān)系數(shù)為 0，說明該序列是獨(dú)立的；當(dāng)0 h 0.5 時(shí)， -0.5 c 0，則該時(shí)間序列之間呈負(fù)相關(guān)，說明該序列存在反持續(xù)，過 去的變化趨勢(shì)意味著未來將朝著相反的趨勢(shì)變化，這種序列比隨機(jī)時(shí)間序列有更強(qiáng)的突變95性；當(dāng) 0.5 h 1 時(shí)， 0 c 0.5 ，則該時(shí)間序列之間呈正相關(guān)，說明該序列是趨勢(shì)增強(qiáng) 的持久性序列，過去的變化趨勢(shì)與將來的變化趨勢(shì)相同，具有長(zhǎng)期記憶性，即過去的價(jià)格對(duì) 未來的影響要在一段很長(zhǎng)時(shí)間之后才完全消失。這種長(zhǎng)期記憶的長(zhǎng)度稱為平均循環(huán)周期，通 過下面的統(tǒng)計(jì)量衡量：( r / s )v = n n n（10）100105對(duì)于一個(gè)隨機(jī)游走的序列，vn 近似一個(gè)常數(shù)；對(duì)于一個(gè)反持續(xù)序列，v 散點(diǎn)圖出現(xiàn)下 降趨勢(shì)；對(duì)于一個(gè)持續(xù)性序列，v 散點(diǎn)圖呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。所以，v 散點(diǎn)圖由上升趨勢(shì)轉(zhuǎn)為下降趨勢(shì)或常數(shù)的分界點(diǎn)，就是該序列長(zhǎng)期記憶的消失點(diǎn)，即找到v 散點(diǎn)圖中最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 n 值，就是該序列的平均循環(huán)周期。3實(shí)證分析3.1 數(shù)據(jù)的選取及處理本文的實(shí)證分析中，選取的數(shù)據(jù)是 2008 年 1 月 2 日至 2012 年 12 月 31 日人民幣對(duì)美元、 歐元、日元的中間價(jià)日匯率，數(shù)據(jù)來自國家外匯管理網(wǎng)。對(duì)于 r/s 分析，對(duì)數(shù)收益率要比價(jià)格的百分比變化更為適用，因此，本文先將數(shù)據(jù)處理 成對(duì)數(shù)收益率：110rt = log pt - log pt -1其中， rt 表示 t 時(shí)刻的對(duì)數(shù)收益率， pt 表示 t 時(shí)刻的價(jià)格。（11）其次為了消除原始數(shù)據(jù)相關(guān)性的影響，利用 rt 序列的 ar(1)殘差序列來降低線性依賴 程度：xt =rt - (a+b * rt -1 )（12）1153.2 正態(tài)性檢驗(yàn)利用 eviews 對(duì)三種匯率的對(duì)數(shù)收益率序列進(jìn)行分析，結(jié)果見表（1）。由表可知人民幣 對(duì)這三種外幣的匯率日收益率序列均是左偏的，且峰度都大于 3，有顯著的尖峰特征。jb 統(tǒng)計(jì)量的取值也明顯大于臨界值，因此拒絕了正態(tài)分布的假設(shè)。表 1 三種匯率對(duì)數(shù)收益率序列的統(tǒng)計(jì)特征人民幣對(duì)三種外幣均值標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度jb 統(tǒng)計(jì)量對(duì)美元-0.0001230.000862-0.5211765.712861428.2884對(duì)歐元-0.0002040.007504-0.4707579.8414312418.363對(duì)日元9.21e-050.007127-0.2217037.147351882.17941203.3 收益率序列的修正 r/s 分析由于人民幣對(duì)三種外幣的匯率收益率序列均不服從正態(tài)分布，同時(shí)考慮到短期相關(guān)性會(huì) 造成 hurst 指數(shù)出現(xiàn)偏差，因此下文采用修正的 r/s 分析方法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。1）利用 eviews 得到三種匯率對(duì)數(shù)收益率序列的 ar（1）模型，從而得到各自的殘差序列。125對(duì)美元：rt = -8.63e-05+0.030643rt -1對(duì)歐元：rt = -0.000197+0.002618rt -1對(duì)日元：rt = -0.000182-0.122619rt -1（13）（14）（15）1301352）利用 virtualc+計(jì)算三種匯率對(duì)應(yīng)的 r/s 估計(jì)值序列，并將其分別取對(duì)數(shù)，得到各 自的雙對(duì)數(shù)圖，見圖（1），（2），（3）。利用最小二乘法估計(jì)線性回歸直線，從而得到 各自的 hurst 指數(shù)值和關(guān)聯(lián)系數(shù)，結(jié)果見表（2）。根據(jù)前面的分析可知，人民幣對(duì)三種外 幣日收益率序列均不是相互獨(dú)立的，因此不滿足有效市場(chǎng)假說。因?yàn)槿嗣駧艑?duì)美元和對(duì)歐元 的匯率日收益率的 hurst 指數(shù)都大于 0.5，說明這兩種匯率收益率序列是持久的，具有長(zhǎng)期 記憶性；人民幣對(duì)日元的匯率日收益率的 hurst 指數(shù)小于 0.5，說明該序列是反持續(xù)的，過 去有上升變化意味著將來有下降趨勢(shì)，過去有下降變化意味著將來有上升趨勢(shì)。表 2 人民幣對(duì)三種外幣匯率的 h 值和關(guān)聯(lián)系數(shù)人民幣對(duì)三種外幣hurst 指數(shù) h 的估計(jì)值關(guān)聯(lián)系數(shù)對(duì)美元0.5203050.02855對(duì)歐元0.5336980.04782對(duì)日元0.480974-0.026033.532.5log(r/s)21.510.50-0.501234567 log(n)圖 1 人民幣對(duì)美元匯率的 r/s 分析圖43.532.52log(r/s)1.510.50-0.5 01234567log(n)140圖 2 人民幣對(duì)歐元匯率的 r/s 分析圖3.532.5log(r/s)21.510.50-0.501234567 log(n)圖 3 人民幣對(duì)日元匯率的 r/s 分析圖3）為了得到系統(tǒng)的平均循環(huán)周期，我們考察v 統(tǒng)計(jì)量，結(jié)果見圖（4），（5），（6）。145從圖（4）中可以找出最高點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的 n =412，且這一點(diǎn)之后的 v 統(tǒng)計(jì)量顯著減小。這說明人民對(duì)美元匯率序列的平均循環(huán)周期是 412 天，系統(tǒng)經(jīng)過 412 天就失去了對(duì)初始條件的記 憶。從圖（5）中可以看出最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 n =244，這表明人民幣兌歐元匯率序列的平均循環(huán) 周期是 244 天。從圖（6）中可以看出最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的=205，這表明人民幣對(duì)日元匯率序列的 平均循環(huán)周期是 205 天。1.5v10.5150001234567 log(n)圖 4 人民幣對(duì)美元匯率的 v 統(tǒng)計(jì)1.5v10.5001234567 log(n)圖 5 人民幣對(duì)歐元匯率的 v 統(tǒng)計(jì)1.5v10.5001234567 log(n)155圖 6 人民幣對(duì)日元匯率的 v 統(tǒng)計(jì)1604結(jié)論本文通過運(yùn)用修正的 r/s 分析方法對(duì)人民幣對(duì)我國外匯市場(chǎng)最具代表性的三種外幣匯 率進(jìn)行研究，得到以下結(jié)論：（1）人民幣對(duì)美元、歐元和日元匯率的日收益率序列對(duì)應(yīng)的 hurst 指數(shù)都不等于 0.5， 因此這三個(gè)序列都不服從隨機(jī)游走模型，而是表現(xiàn)出有偏的隨機(jī)特性，即一個(gè)趨勢(shì)加上一個(gè) 噪聲，歷史對(duì)現(xiàn)在和未來都有影響。由此可以說明我國外匯市場(chǎng)確實(shí)存在分形結(jié)構(gòu)，具有長(zhǎng)165170175期記憶性。這一結(jié)論是比較符合實(shí)際市場(chǎng)現(xiàn)象的：即投資者對(duì)信息的反應(yīng)有一個(gè)延遲，信息的到來并沒有直接反應(yīng)到價(jià)格，投資者根據(jù)歷史信息有一個(gè)共同的趨勢(shì)，然后以累積的方式 對(duì)之前忽略的信息作出反應(yīng)，這意味著現(xiàn)在的價(jià)格受到了過去的影響。（2）hurst 指數(shù)可以度量時(shí)間序列參差不齊的程度，由于同其他兩種匯率相比，人民幣 對(duì)歐元匯率的 hurst 指數(shù)最大，所以該時(shí)間序列的持久性更強(qiáng)，噪聲更小。相比人民幣對(duì)美 元匯率序列，人民幣對(duì)歐元匯率序列連續(xù)漲跌的趨勢(shì)更強(qiáng)，而人民幣對(duì)日元匯率序列則易出 現(xiàn)突變，因此持有日元外匯的投資者在面對(duì)匯率上升時(shí)，不能太樂觀，應(yīng)該謹(jǐn)慎投資。（3）同其他學(xué)者的研究結(jié)果不同的是，本文三種匯率的 v 統(tǒng)計(jì)量在期初都比較大，并 且先有一個(gè)下降趨勢(shì)，這說明金融危機(jī)對(duì)我國外匯市場(chǎng)產(chǎn)生了很大的影響，并且使得我國外 匯市場(chǎng)不穩(wěn)定，處于忽高忽低的振蕩中。（4）通過比較三種匯率序列的平均循環(huán)周期，發(fā)現(xiàn)人民幣對(duì)美元匯率的周期最長(zhǎng)