二元風(fēng)險(xiǎn)模型下的保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資策略.doc

二元風(fēng)險(xiǎn)模型下的保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資策略vo1.25,no.2管理工程journal0findustrialengineering/engineeringmanagement2011年第2期二元風(fēng)險(xiǎn)模型下的保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資策略張明善,姚殉,趙武,唐小我(1.西南民族大學(xué)管理學(xué)院,四川i成都610041;2.電子科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,四川成都610054)摘要:本文考慮了二元風(fēng)險(xiǎn)模型下保險(xiǎn)公司的投資問題.假設(shè)保險(xiǎn)公司的兩個(gè)子公司分別在風(fēng)險(xiǎn)市場上投資,且投資策略都屬于常數(shù)族,利用鞅方法得到了破產(chǎn)概率的指數(shù)型上界,給控制保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)提供了可能.并且得到了最優(yōu)的常數(shù)投資策略,該策略可以使破產(chǎn)概率的上界最小.最后給出了具體的算例闡述了本文的結(jié)果.關(guān)鍵詞:二元風(fēng)險(xiǎn)模型;破產(chǎn)概率;幾何布朗運(yùn)動(dòng);指數(shù)型上界中圈分類號:f840文獻(xiàn)標(biāo)識碼:a文章編號:10044062(2011)02-022804o引言現(xiàn)代保險(xiǎn)公司的經(jīng)營業(yè)務(wù)一般包含兩個(gè)方面,一方面是保險(xiǎn)業(yè)務(wù),其是拓寬資金來源的重要渠道;另一方面是投資業(yè)務(wù),是保險(xiǎn)公司的主要盈利途徑.目前我國保險(xiǎn)公司投資渠道主要有銀行存款,債券以及證券投資基金.如何加強(qiáng)保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)控制能力,成為提高保險(xiǎn)公司競爭力的關(guān)鍵所在.對于保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn),很多文獻(xiàn)用保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率去衡量.破產(chǎn)概率作為保險(xiǎn)公司最重要的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警指標(biāo),一直是保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論的核心問題.經(jīng)典的文獻(xiàn)對于破產(chǎn)概率進(jìn)行了精確的估計(jì),參見25.最近,有越來越多的文獻(xiàn)關(guān)注以下兩個(gè)問題:如果保險(xiǎn)公司除了主營的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)外,還在市場上進(jìn)行投資,其破產(chǎn)概率如何估計(jì);怎樣安排投資策略,使得保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)最小,即破產(chǎn)概率最小.以上問題對于我國有著更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義,2005年保監(jiān)會(huì)允許保險(xiǎn)公司投資股票市場,之后保險(xiǎn)公司投資于股市的比例不斷上升,如何選取最優(yōu)的投資策略,如何控制風(fēng)險(xiǎn),成為中國的保險(xiǎn)公司在與國外的保險(xiǎn)行業(yè)競爭中立于不敗之地的關(guān)鍵.brownel6考慮了保險(xiǎn)公司的承保盈余過程是帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng),風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是幾何布朗運(yùn)動(dòng)的模型,得到了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資應(yīng)該與初始資本金無關(guān),并且恒為常數(shù),但是顯然模型不滿足聚合風(fēng)險(xiǎn)模型通常的假設(shè),即索賠額過程為復(fù)合泊松過程的假設(shè);hipp和plum研究了保險(xiǎn)公司的索賠額過程為復(fù)合泊松過程的模型,得到了最大化生存概率的hjb(hamilton-jaeobi-bellman)方程.gaieret.al在索賠額具有一致指數(shù)矩的假設(shè)下,得到了一種常數(shù)的投資策略,并在這種常數(shù)投資下,估計(jì)出破產(chǎn)概率的lundberg上界.本文討論更加一般的情況,即考慮一個(gè)保險(xiǎn)總公司下面有兩個(gè)子公司,兩個(gè)子公司分別由不同的承保盈余過程刻畫.該模型稱為二元保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型,最早由ambagaspitiya提出.liet.a1.!l考慮了帶有隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的二元保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型,給出了該模型下破產(chǎn)概率的指數(shù)型上界.在此基礎(chǔ)上,本文討論了保險(xiǎn)公司的投資問題:即兩個(gè)子公司投資于不同的市場,或者同一市場的兩種不同的風(fēng)險(xiǎn)證券.兩個(gè)子公司如何安排合理的投資策略可以使總公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)最小.下一部分給出本文的理論模型和假設(shè).l模型介紹首先給出不帶有投資的二元保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型,即二元承保盈余過程(t)=(r(t),r:(t)如下:(:;)(:)+()一;(),t.?c其中,(t)=(x2),i=1,2,.,表示索賠向量列.表示第一個(gè)子公司第i次索賠額的大小,:.表示第二個(gè)子公司第i次索賠額的大小.兩個(gè)子公司的索賠到達(dá)過程服從同一個(gè)參數(shù)為a的泊松過程(t),t0,該假設(shè)描述了一次災(zāi)難事件的發(fā)生導(dǎo)致大于一種索賠要求的情形.下面給出一個(gè)典型的例子:一次交通意外可能導(dǎo)致車輛損壞之外(機(jī)動(dòng)車保險(xiǎn))還有可能導(dǎo)致人身傷害(人身傷害保險(xiǎn)).同樣的現(xiàn)象還出現(xiàn)在自然災(zāi)害保險(xiǎn)之中,詳細(xì)解釋參考chanet.a1.=(.,:)表示初始資本金向量.=(c,c2)表示瞬時(shí)保費(fèi)收入向量.顯然,向量(t),;都是非負(fù)的.模型(1)可以簡化為:(f)=+;一;,t0.(2)接下來,我們采用gaieret.al_8在一元模型中的處理方收稿日期:20094)34)5修回日期:2009-0911基金項(xiàng)目:教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)日資助(108112);國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(70932005);科技部科技基礎(chǔ)性工作專項(xiàng)項(xiàng)目技術(shù)創(chuàng)新方法集成研究與推廣應(yīng)用(2007fy140400);教育部人文社科基金(ioyja630207);四川省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究十一五規(guī)劃基金:(sc10b002)作者簡介:張明善(1963一),男,四川省西充縣人,西南民族大學(xué)管理學(xué)院教授,研究方向:格序決策理論,風(fēng)險(xiǎn)決策理論.228.vo1.25.no.2管理工程2011年第2期法把投資問題嵌入到模型(1)中.考慮兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程s.(t),t0和s.(t),t0,其構(gòu)成了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格過程向量專(t)=(s(t),s(t).服從二維幾何布朗運(yùn)動(dòng),即dsl(t,)=dt()+(tr,ddwl(t),),e.s定義(t)=(),w2(t).(t)服從二維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),其相關(guān)系數(shù)為p一1,1.如果在時(shí)刻t,如果在時(shí)刻t,第家子公司擁有資產(chǎn)(t)=u(t,u,f),=1,2.投資ki(t)份額的資金購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)s,余下的u,(t)一k(t)投資到利率為6的無風(fēng)險(xiǎn)債券,本文假設(shè)=0(無風(fēng)險(xiǎn)利率等于通貨膨脹率).這樣,我們有:)(f)+叫一+i(s)dtf.(s)d(),:1,2.(4)模型(4)是一個(gè)一元模型,gaieret.al針對這種模型得到了這樣一個(gè)結(jié)果:即常數(shù)投資策略可以使保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率的上界最小.本文考慮兩個(gè)保險(xiǎn)子公司都采用常數(shù)投資策略,即(t)=(k(t),k2(t);(k,k),k.,k:為常數(shù).這樣我們得到二元總資產(chǎn)模型:();(t,)=():(:)+t(+ixlk:1)一i=1fx2i1+rlklwl(t,)i.cs在本文中,我們給出如下的模型假設(shè):,i=1,2.是獨(dú)立隨機(jī)向量列,且與同分布.,i=1,2,n(t),t0與(),t0之間相互獨(dú)立.;.的聯(lián)合概率分布函數(shù)為f(,:),邊際分布函數(shù)為f.(1),f2(1).假設(shè)ix1kl0,ix220.該假設(shè)是一個(gè)合理的假設(shè),意思是股票漂移率為正,投資為正,漂移率為負(fù),策略為賣空.下面給出兩個(gè)向量比較大小的定義:對于兩個(gè)向量=(.,)和歹:(y.,y),歹當(dāng)且僅當(dāng)y,y,.有了兩個(gè)向量比較之后,我們可以定義破產(chǎn)時(shí)間和破產(chǎn)概率如下:r=inft>0:(t)<0=inft>0:maxu(t),u(t)<0.(6)為首次兩個(gè)子公司的總資產(chǎn)都為負(fù)的事件,在一個(gè)固定時(shí)刻之前破產(chǎn)概率定義為:(,t)=p(jrt).(7)最終破產(chǎn)概率為()=尸(r<.).注1.除了r之外,還有一些重要的破產(chǎn)時(shí)間.如r=inft>0:minl(),r2(t)<0和r=inft>0:r(t)+尺(t)<0.對于以上兩種破產(chǎn)時(shí)間,同樣可以定義二元模型下的破產(chǎn)概率.但是和相比,r是更加危險(xiǎn)的破產(chǎn)時(shí)間.實(shí)際上,在時(shí)刻r,保險(xiǎn)總公司不一定出現(xiàn)赤字,因?yàn)橹皇且粋€(gè)子公司破產(chǎn).而如果用r定義破產(chǎn)概率,其研究和一維的情況沒有區(qū)別.注2.由模型假定知,和2,(t)和(t)不一定獨(dú)立,還有(7)式定義出的破產(chǎn)概率形式,所以本文并不是一維模型的平凡推廣.而多于二元的模型只是本文模型的平凡推廣.2主要結(jié)果在這一部分,本文針對常數(shù)投資策略,首先給出破產(chǎn)概率的指數(shù)型上界,然后求出最優(yōu)的投資比例=(,),可以使得破產(chǎn)概率的指數(shù)型上界最小.令a=(a,a:)=(ex.,ex:)為;.的均值向量,且滿足安全負(fù)荷條件(safetyloadingcondition);>a.為了后面的敘述方面,我們給出如下定義:m(s1,s2)=eexp5lxl1+s2l2;,(s,s:)=am(s.,)一1一(c+ixk)s.一(c:+ix2k2)s2+2l215+2plklks2sls2+2222s;s=supl:m(sl,0)<o.,s:sups2:m(0,s2)<go=(s,s2):s10,20,m(s,2)(o,o).f=f,t0表示由總資產(chǎn)過程(t),t0生成的濾波流.在給出主要結(jié)果之前,首先給出幾個(gè)引理.引理1令s>0,s0>0,假設(shè)sup(,)s.,s)>0.那么以下結(jié)論成立.(a)方程,(,s)=0在g.上有解;(b)給定z0,方程,(s,ls.)=0存在唯一解.如果5.=>0是方程s.,ls):0的解,那么當(dāng)s.>時(shí),(s.,lsi)>0;當(dāng)0<1<時(shí),八l,lsi)<0.證明:(a)給定f0,令=ls.有:ae(x+131x:)epx.+ls,x口s一(cl+1k1)一(c2+2k2)z+2l2l1+2lpk1k21251+1222221.因此i:一(+,.一a.)口1i1=.一f(c1+22一口2)<0.(8)(8)中的不等式用到了安全負(fù)荷條件.(8)式說明,(s,ls)<廠(0,0)=0,當(dāng)s1處于5l=0的右邊鄰域.根據(jù)的任意性以及條件sup(,9)of(s.,)>0,(a)成立.(b)對于每一個(gè)5>0,z0,有:he(.+lx2):+.一lk2r2:>0.1(9)(9)式說明s.,ls,)是一個(gè)嚴(yán)格凸函數(shù),又根據(jù)(a)式,顯然有(b)成立.229.張明善等:二元風(fēng)險(xiǎn)模型下的保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資策略接下來在總資產(chǎn)過程rl(t),t0的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)鞅過程.這和一維的情況類似,該鞅過程是對破產(chǎn)概率建立指數(shù)型上界的核心工具.引理2定義過程肘(t)壘exp一s.(t)一5(t)一s,s),t0.則對于(s,s:)g.,()是f一鞅過程.證明:因?yàn)?t),t0是一個(gè)時(shí)齊的poisson過程,布朗運(yùn)動(dòng)具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性,對于任意的,h0,有eexp一5.(1+h)一u()一(t+h)一(t)f=exp一sl(cl+l1)hs2(c2+2p2)hexpam(sl,s2)haexp+2p.i25.s+ii:exp廠(s,)h.由上式可以繼續(xù)計(jì)算:e(移(t+h)i,=eexp一sl(1(t+h)一s2(u2(t+h)一,(s1,s2)(t+h)i,=exp一s1u1(t)一s2u2(t)一,(sl,s2)t=(移(i).(1o)(10)式成立說明引理2的結(jié)論得證.有了上面兩個(gè)引理之后,如果兩個(gè)子公司分別以常數(shù)策略投資股票市場,下面的定理給出破產(chǎn)概率的指數(shù)型上界.定理1如果令s>0,s>0,假設(shè)sup(.,)s,s)>0.那么i()inf.exp一5lm1一s2u2.(11)(l,2)ed其中.=(s1,s2)g.l,(sl,s2)=0.證明:根據(jù)文獻(xiàn)9,可以構(gòu)造一個(gè)新的濾波流,使得f和肘(t),t01分別是關(guān)于的停時(shí)和鞅過程.根據(jù)引理2.有exp一5u,一s13,2=e|=if(o)=e(t)em(),f=ee()lf,=e膨(tm)lrp(t).(12)(12)式中,表示關(guān)于集合a的指標(biāo)函數(shù).因?yàn)閷τ谌我獾?sj,s2)g,exps1ul(r一)+s2(jr)1.(12)可以寫成p(jrt)exp一slls2u2eexpslul()+s2(r)+,(sl,s1)fltexp一slu1522eexp.5i,si)itexpl_stls2u2】pexp廠(51,51).(13)定義集合一壘(,:),(,)(0和壘(,s)g.l,(s,5:)>0.如果(s.,)e,(13)式中令i一*,左邊趨近于.,這對于破產(chǎn)概率的上界是無意義的.下面只需要考慮(s,)一u0,這樣,有jp(下t)exp一s1u1一s2u2eexps1u1(下)+52(下一)+sl,1)irtexp一sluls22eexp,(sl,s1)iftinfexp一slu1一s2u2.(14)i|2je一ua根據(jù)引理1(a),0是非空集合.又根據(jù)引理1(b),(14)右.230.邊上界的最小值在.達(dá)到.所以p(7_t)inf.exp一sils2u2.(卜2)ea最后令t,可得(11)成立.定理1得證.定理1給出了,采取常數(shù)投資策略時(shí)破產(chǎn)概率的指數(shù)型上界,以下考慮怎樣得到最優(yōu)的常數(shù)投資策略,即,究竟為多少時(shí),破產(chǎn)概率的上界最小.該問題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)優(yōu)化問題:t$2u2s.t.廠(5l,s2)=0.(15)(15)是一個(gè)非線性規(guī)劃,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下:(1,2,)=51l+22+廠(l,s2).(16)為拉格朗日乘子,為根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法,可以得到優(yōu)化問題(15)的解:1(一)s:這樣本文就得到了可以使破產(chǎn)概率上界最小的投資策略(kj*,).3算例和結(jié)論在該部分針對第三部分的結(jié)果給出具體的算例.假設(shè)索賠額向量服從雙變量的farliegumbel-morgenstern分布.對于這種分布,詳細(xì)地介紹參考12,該分布的一般形式為:f(,)=f.(,)()(1+af(,)(),一<l,2<,(17)這里f()=1一.(.),f()=1一()分是f(,)邊際分布,e0,1.假設(shè)f.,f分別服從參數(shù)為=at=0.1,a=口;=0.5指數(shù)分布.可以計(jì)算出:,(1+a)ala2.4口ala2m(si:_二二一2aia22a1,l2(2als1)(a2一s2)(a1一s1)(2a2一s2)設(shè)定參數(shù):a=100,a=0.4,cl=1200,c2=240,c2=240,l=2=0.1,l=2=1,52=5sl.最優(yōu)投資策略由下表給出:kp=0.85.06784631325.33925p=05.06784434425.33922172口=一0.85.06783961925.3391981o圖1最優(yōu)投資策略表由以上的討論可以知道,在二元模型下,如果一個(gè)保險(xiǎn)公司的兩個(gè)子公司分別在有風(fēng)險(xiǎn)的市場上進(jìn)行投資,本文給出了破產(chǎn)概率的指數(shù)型上界,這樣可以有效地控制保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn).在此基礎(chǔ)上,給出了最優(yōu)的常數(shù)投資策略,該策略vo1.25.no.2管理工程2011年第2期可以使破產(chǎn)概率的上界最小.對于更加一般的投資過程下的破產(chǎn)概率和投資策略問題,有待于進(jìn)一步的研究.123456參考文獻(xiàn)r.卡爾斯,m.胡法茲,j.達(dá)吶,m.狄尼特.現(xiàn)代精算風(fēng)險(xiǎn)理論m.科學(xué)出版社,2005.k1uppelbergc,stadtmfllleru.ruinprobabilitiesinthepresenceofheavytailsandinterestratesj.scand.actuarialj,1998,1:4958.sundtb.teugelsjl.ruinestimatesunderinterestforcej.insurance:mathematicsandeconomics,1995,16(1):722.tang,q.thefinitetimeruinprobabilityofthecompoundpoissonmodelwithconstantinterestforcej.j.app1.probab.2005,42(3),608619.wang,dc.finitetimerainprobabilitywithheavy-tailedclaimsandconstantinterestratej.tosubmittostochasticmodels,2006,revised.brownes.optimalinvestmentpoliciesforafirmwitharandomriskprocess:exponentialutilityandminimizingtheprobabilityof789101114ruin.mathematicsofoperationsresearch,1995,20(4):937958.hippc,plumm.optimalinvestmentforinsurersj.insurance:mathematicsandeconomics,2000,27(2):215228.gaierj,granditsp,schachermayerw.asymptoticruinprobabilitiesandoptimalinvestmentj.ann.app1.probab,2003,13(3):10541076.ambagaspitiyars.compoundbivariatelagrangianpoissondistributions.insurance:mathematicsandeconomics,1998.36(2),137152.lij,liuzm,tangqh.ontheruinprobabilitiesofabidimensionalperturbedriskmodelinsurancej】.mathematicsandeconomics,2007.41,185195.chanws,yangh,zhangl.someresultsonprobabilitiesinatwo-dimensionalriskmodelj.insurance:mathematicsandeconomics,2003.32(3):345358.srevese.stochasticcalculusandfinancem.springerverlag,1997.theoptimalinvestmentstrategyforinsurerswithbidimensionalriskmodelzhangmingshan,yaoxun,zhaowu,tangxiao-wo(1.southwestuniversityfornationalitiescollegeofmanagement,chengdu610041,china;2schoolofmanagementandeconomic,universityofelectronicscience&technologyofchina,chengdu610054,china)abstract:riskcontrolisanimportanttopicforcompaniestominimizethenegativeimpactofaglobalfinancialcrisisonacompanysfinancialperformance.buyinginsuranceisafeasiblewaytotransferfinancialriskstoathirdparty.classicalliteraturecommonlymanagesrisksusingtheruinprobabilityofinsurers.however,manyunresolvedissuesrelatedtoriskcontrolremain.forinstance,howcanafirmestimateaninsurersruinprobabilityifitsinsurancecompanywerealsointhemarketforinvestment.?howcanafirmarrangeinvestmentstrategiestominimizerisksfortheinsurer?toaddressthesetwoissues,thispaperfirstdiscussedthegeneraloptimalinvestmentstrategyadoptedbyaninsurancefirm.twodimensionalinsuranceriskmodelswiththestochasticperturbationwerealsoexplained.wethenpresentedtheexponentialupperboundofruinprobabilityinthesemodels.thispaperdiscussedfourpartsrelatingtoaninsurersinvestment.thefirstpartwasminimizationofbankruptcyriskbyhavingtheparentcorporationadoptareasonableinvestmentstrategyifsubsidiariesinvestindifferentmarketsordifferentrisksecuritiesinthesamemark