二元Freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計(jì).doc

二元freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計(jì)第27卷第5期2011年10月大學(xué)數(shù)學(xué)collegemathematicsvo1.27.no.5oct.2011二元freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計(jì)李國(guó)安(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系,寧波315211)摘要利用分布密度分拆的思想,導(dǎo)出t2ifreund型指數(shù)分布的一個(gè)特征,利用該特征,獲得了二元freund型指數(shù)分布參數(shù)的最大似然估計(jì)及矩估計(jì),還給出了強(qiáng)度服從二元freund型指數(shù)分布時(shí)并聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度估計(jì)及模擬.關(guān)鍵詞freund型;二元指數(shù)分布;特征;最大似然估計(jì);矩估計(jì);可靠度;模擬中圖分類(lèi)號(hào)o212.4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼a文章編號(hào)16721454(2011)05004804freund1于1961年引入了如下的二元指數(shù)分布1exp一;2一(1+2一)z1,0z1<z2,px1,x2(xl,z.一12expez一(1+.一:)z2,ozz,它是第一個(gè)一元指數(shù)分布的二元推廣,關(guān)于它的特征及參數(shù)估計(jì)研究就顯得有一定意義.本文在第1節(jié)給出了二元freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計(jì),在第2節(jié)給出了強(qiáng)度服從二元freund型指數(shù)分布時(shí)并聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度估計(jì)及模擬.1二元freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計(jì)稱(chēng)(x,y)服從二元freund型指數(shù)分布的隨機(jī)變量,指它有如下的密度函數(shù):p,cz,=;二三二:二;:記作(x,y)fbved(x,a2,a:,).設(shè)z=min(x,y),設(shè)j一1,當(dāng)x<y時(shí),設(shè)i-2,當(dāng)xy時(shí);記p一p(ii)(一1,2),f()表示給定i=i時(shí)z的條件密度函數(shù);記pf(2)表示(z,d的聯(lián)合密度;記p廠(z)廠一l(z)表示(z,lx-y1)的聯(lián)合密度.有如下的引理:引理1設(shè)(x,y)fbved(a,2,),則有f戶(hù)1f1()一1e-u12k,z>o,i2f2()一2e-u12,z>o.證直接計(jì)算可得.弓i理2設(shè)(x,y)fbved(a,:,;),貝4有fp1f1(z),一y1(z)=/t1/;exp-(1+z)2z,x>o,z>o,【2f2()廠1一yi(z)一2expe-(+2)一z,x>0,z>o.證直接計(jì)算可得.定理1(x,y)-fbved(a1,2,:,;)當(dāng)且僅當(dāng)pp(j=)一_ai,:1,2,這里i=11+2.且(1)收稿日期2008一li一06;修改日期20090219第5期49(2)同時(shí)滿(mǎn)足:(i)給定i-1時(shí),z與yx相互獨(dú)立,且ze(),yxe(a;);(ii)給定1=2時(shí),z與y相互獨(dú)立,且ze(),xye().證直接驗(yàn)證可得.定理2設(shè)(x,y)fbved(a-,z,:,:),(,yj)(=1,2,)為它的樣本,那么參數(shù),;最大似然估計(jì)及矩估計(jì)均為一=,i=l,2;zw2ywfxy這一00一,:,一,【,xy,i,x<y,一一,wixyl一證由由此得,wfxy1一ewa上1+a2,1,2,ez1,ewew1ixyf一,.得zfxy,wia土1-ka,12z1+2,i一1,2,w1xylwlxyizv,z一:一;一wfxyixy接下來(lái)證明,z,;分別是對(duì)應(yīng)參數(shù)的最大似然估計(jì).由(,fxjyji)(一1,2,)的似然函數(shù)l(1j(+2)(+2).exp【-一(+z)一(w,一j);一(vixjj1nl一()l+()lm.:+(妻,jxiyjj);+(zfxj一j):一(-ka:)zj.904alnl=.,alnl一.,可31nl=.,可31nl一.可得本定理結(jié)論.),(1)lj一一=ij一50大學(xué)數(shù)學(xué)第27卷2強(qiáng)度服從二元freund型指數(shù)分布的并聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度估計(jì)及模擬考慮由兩個(gè)結(jié)構(gòu)單元a和a并聯(lián)組成的系統(tǒng)a7,設(shè)a和a.的強(qiáng)度(x,x)fbved(11,a,:),系統(tǒng)a所承受的應(yīng)力x服從指數(shù)分布e(b),其密度函數(shù)為g()一bexp(-bx),(z>0),其中6>o是未知參數(shù).x的分布函數(shù)記為g(z).又設(shè)應(yīng)力與強(qiáng)度相互獨(dú)立.上述假定稱(chēng)為模型ma.以上并聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)a的可靠度為pap(max(x1,x2)>x)=ip(max(x1,x2)>z)dg(x)一j.lexp(一;z)+exp(一)lbexp(一bz)df._去xp(一(+)z)jbexp(一6z)dzj.l干_=干xl一(十)z)(一dz)dz20一瓦十:+:;(+2一)(+6)(+2-11;)(1+一;)(+2+6)設(shè)有來(lái)自(x,x,x)的樣本(x,x,x)(z=1,2,).記一x,則p的估計(jì)為=1pa一一一一一一.一+一一一一:(+一:)(:+妻)(+;)(+妻)+z:)(+z).;l(+.+)類(lèi)似文7,我們不加證明直接給出p的如下的統(tǒng)計(jì)性質(zhì).定理3在模型ma的條件下,有(i)pa三pa(一c3);(ii)q(pa-pa)n(0,d)(n-),模擬過(guò)程及結(jié)果如下:根據(jù)定理1,先獨(dú)立地產(chǎn)生四組容量均為500的(0,1)上均勻分布的偽隨機(jī)數(shù):1,f2,(=1,2,3,4;一500).然后將它們轉(zhuǎn)換成二點(diǎn)分布b(1,竽)及參數(shù)為,和的指數(shù)分布的偽隨機(jī)數(shù),也可獨(dú)立地產(chǎn)生四,組容量均為500的分別服從二點(diǎn)分布b(1,)及參數(shù)為:,;和的指數(shù)分布的偽隨機(jī)數(shù),i1,i2,i(一500),a】,n2,n(:500).若i,一0若i,一1j=500j=500b1,b2,b(一500),1,2,(一500).,則取w1j一1,w2j一0,x1j,xv一6j+zj(一500);,則取wio,wzi一1,x1i=ai+zi,x2izjj=500).可產(chǎn)生服從fbved(11,:,:)的偽隨機(jī)數(shù)(zl1,21),(12,z22),(1,x2)(n-500).獨(dú)立地產(chǎn)生一組容量為500的服從參數(shù)為b的指數(shù)分布的偽隨機(jī)數(shù)z1,z2,x(一500).依的公式計(jì)算p的值,依公式(1)及的公式獲得結(jié)果;將上述過(guò)程重復(fù)100次,計(jì)算平均值.具體模擬時(shí)參數(shù)值取為11.65,21.45,;:1.25,一1.05,61.2,則pa一0.5407372251;其模擬結(jié)果為一,一一1.643283445,21.462085507,:一1.240117302,;一1.053438361,pa:0.5453028264.第5期5l12r3-45678參考文獻(xiàn)freundrj.abivariateextensionoftheexponentialdistributionj.j.amer.statist.assoc.,1961,56(4):971977.weinmandg.amultivariateextensionoftheexponentialdistributionj.ph.d.thesis,arizonastateuniversity,1966.marshallaw.olkiniamultivariateexponentialdistributionj.j.amer.statist.assoc.,1967,62(1):3o一44.johnsonnl,kotzs.distrilutioninstatistics:continuousmultivariatedistributionsm.johnwiley&sons,1972:26o一272.blockhwandbasuap.acontinuousbivariateexponentialextensionj.j.amer.statist.assoc.1974,69(4):10311037.proschanfandsullop.estimatingtheparametersofabivariateexponentialdistributioninseveralsamplingsituationsa.inreliabilityandbiometry,statist,analysisoflifelengths(f.proschanandr.serfling,eds.),philadelphia:s.i.a.m.,1974,423440.葉慈南.強(qiáng)度為mobve分布時(shí)并聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度的估計(jì)j.高校應(yīng)用數(shù)學(xué),2000,15(4):484490.李國(guó)安.二元weinman型指數(shù)分布的特征及其應(yīng)用j.數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2005,25(2):33734o.characterizati0nandparameterestimationofthemultivariateexponentialdistributionoffreundliguoan(departmentofmathematics,ningbouniversity,ningbo,315211,china)abstract:byusingpartitioningtechniqueofdistributiondensity,acharacterizationofthebivariateexponentialdistributionoffreundarederived,usingthischaracterization,themaximumlikelihoodestimatorsandthemomentestimatorsofparametersofthefreundtypesbivariateexponentialdistributionareobtained.moreover,theestimatorofreliabilityforparallelstructuralsystemwithstrengthhavingthefreundtypesb