【高考輔導(dǎo)資料】高考數(shù)學(xué)難點突破_難點12__等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)運用

難點12 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)運用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是等差、等比數(shù)列的概念，通項公式，前n項和公式的引申.應(yīng)用等差等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項和公差或公比，使問題得到整體地解決，能夠在運算時達(dá)到運算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視.高考中也一直重點考查這部分內(nèi)容.難點磁場()等差數(shù)列an的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為_.案例探究例1已知函數(shù)f(x)= (x2).(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);(2)設(shè)a1=1, =f-1(an)(nN*),求an;(3)設(shè)Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對任意nN*,有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.命題意圖：本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目，著重考查學(xué)生的邏輯分析能力，屬級題目.知識依托：本題融合了反函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題.錯解分析：本題首問考查反函數(shù)，反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，這是一個易錯點，(2)問以數(shù)列為橋梁求an,不易突破.技巧與方法：(2)問由式子得=4,構(gòu)造等差數(shù)列,從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項的常用技巧；(3)問運用了函數(shù)的思想.解：(1)設(shè)y=,x0)(2)，是公差為4的等差數(shù)列，a1=1, =+4(n1)=4n3,an0,an=.(3)bn=Sn+1Sn=an+12=,由bn,設(shè)g(n)= ,g(n)= 在nN*上是減函數(shù)，g(n)的最大值是g(1)=5,m5,存在最小正整數(shù)m=6,使對任意nN*有bn成立.例2設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)，它的所有項的和等于偶數(shù)項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數(shù)列l(wèi)gan的前多少項和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對數(shù)運算法則，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運算、分析能力.屬級題目.知識依托：本題須利用等比數(shù)列通項公式、前n項和公式合理轉(zhuǎn)化條件，求出an;進(jìn)而利用對數(shù)的運算性質(zhì)明確數(shù)列l(wèi)gan為等差數(shù)列，分析該數(shù)列項的分布規(guī)律從而得解.錯解分析：題設(shè)條件中既有和的關(guān)系，又有項的關(guān)系，條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，計算易出錯；而對數(shù)的運算性質(zhì)也是易混淆的地方.技巧與方法：突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項的對數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項和有最大值，一定是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)，當(dāng)然各正數(shù)之和最大；另外，等差數(shù)列Sn是n的二次函數(shù)，也可由函數(shù)解析式求最值.解法一：設(shè)公比為q,項數(shù)為2m,mN*,依題意有化簡得.設(shè)數(shù)列l(wèi)gan前n項和為Sn,則Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1nq1+2+(n1)=nlga1+n(n1)lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()n2+(2lg2+lg3)n可見，當(dāng)n=時，Sn最大.而=5,故lgan的前5項和最大.解法二：接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg,數(shù)列l(wèi)gan是以lg108為首項，以lg為公差的等差數(shù)列，令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n=5.5.由于nN*,可見數(shù)列l(wèi)gan的前5項和最大.錦囊妙計1.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題的既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識去應(yīng)用.2.在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性質(zhì)的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.3.“巧用性質(zhì)、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題1.()等比數(shù)列an的首項a1=1,前n項和為Sn,若，則Sn等于( ) C.2D.2二、填空題2.()已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0logm(ab)0,S13a2a3a12a13,因此，在S1，S2，S12中Sk為最大值的條件為：ak0且ak+10,即a3=12,，d0,2k3d3,4,得5.5k7.因為k是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.解法二：由d0得a1a2a12a13，因此，若在1k12中有自然數(shù)k,使得ak0,且ak+10,則Sk是S1，S2，S12中的最大值.由等差數(shù)列性質(zhì)得，當(dāng)m、n、p、qN*,且m+n=p+q時，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13=S130,a70,a7+a6=a1+a12=S120,a6a70,故在S1，S2，S12中S6最大.解法三：依題意得：最小時，Sn最大；d3,6(5)6.5.從而，在正整數(shù)中，當(dāng)n=6時，n (5)2最小，所以S6最大.點評：該題的第(1)問通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易.第(2)問難度較高，為求Sn中的最大值Sk,1k12,思路之一是知道Sk為最大值的充要條件是ak0且ak+10，思路之三是可視Sn為n的二次函數(shù)，借助配方法可求解.它考查了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點.而思路之二則是通過等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解.6.解：(1)由題意知a52=a1a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,d0,a1=2d,數(shù)列的公比q=3,=a13n1又=a1+(bn1)d=由得a13n1=a1.a1=2d0,bn=23n11.(2)Tn=Cb1+Cb2+Cbn=C (2301)+C(2311)+C(23n11)=(C+C32+C3n)(C+C+C)=(1+3)n1(2n1)= 4n2n+,7.解：an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a2+a4=2a3,b2b4=b32,已知a2+a4=b3,b2b4=a3,b3=2a3,a3=b32,得b3=2b32,b30,b3=,a3=.由a1=1,a3=，知an的公差d=,S10=10a1