【高考輔導資料】2007年高考數(shù)學試題分類匯編-函數(shù)與導數(shù)

2007年高考數(shù)學試題分類匯編函數(shù)與導數(shù)（重慶理）已知函數(shù)(x0)在x = 1處取得極值，其中a,b,c為常數(shù)。（1）試確定a,b的值；（2）討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；（3）若對任意x0，不等式恒成立，求c的取值范圍。解：（I）由題意知，因此，從而又對求導得由題意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得當時，此時為減函數(shù)；當時，此時為增函數(shù)因此的單調遞減區(qū)間為，而的單調遞增區(qū)間為（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，從而，解得或所以的取值范圍為（浙江理）設，對任意實數(shù)，記（I）求函數(shù)的單調區(qū)間；（II）求證：（）當時，對任意正實數(shù)成立；（）有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立本題主要考查函數(shù)的基本性質，導數(shù)的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力滿分15分（I）解：由，得因為當時，當時，當時，故所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，；單調遞減區(qū)間是（II）證明：（i）方法一：令，則，當時，由，得，當時，所以在內的最小值是故當時，對任意正實數(shù)成立方法二：對任意固定的，令，則，由，得當時，當時，所以當時，取得最大值因此當時，對任意正實數(shù)成立（ii）方法一：由（i）得，對任意正實數(shù)成立即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立下面證明的唯一性：當，時，由（i）得，再取，得，所以，即時，不滿足對任意都成立故有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立方法二：對任意，因為關于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：，即，又因為，不等式成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立（天津理）已知函數(shù)，其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值本小題考查導數(shù)的幾何意義，兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法滿分12分（）解：當時，又，所以，曲線在點處的切線方程為，即（）解：由于，以下分兩種情況討論（1）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：00減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在區(qū)間，內為減函數(shù)，在區(qū)間內為增函數(shù)函數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且（2）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：00增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在區(qū)間，內為增函數(shù)，在區(qū)間內為減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值，且函數(shù)在處取得極小值，且（四川理）設函數(shù).()當x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;()對任意的實數(shù)x,證明()是否存在,使得an恒成立?若存在,試證明你的結論并求出a的值;若不存在,請說明理由.本題考察函數(shù)、不等式、導數(shù)、二項式定理、組合數(shù)計算公式等內容和數(shù)學思想方法。考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識。（）解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項，這項是（）證法一：因證法二：因而故只需對和進行比較。令，有由，得因為當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以在處有極小值故當時，從而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）對，且有又因，故，從而有成立，即存在，使得恒成立。（陜西理）設函數(shù)f(x)=其中a為實數(shù).()若f(x)的定義域為R,求a的取值范圍;()當f(x)的定義域為R時，求f(x)的單減區(qū)間.解：（）的定義域為，恒成立，即當時的定義域為（），令，得由，得或，又，時，由得；當時，；當時，由得，即當時，的單調減區(qū)間為；當時，的單調減區(qū)間為（山東理）設函數(shù)，其中（）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調性；（）求函數(shù)的極值點；（）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立解(I) 函數(shù)的定義域為.，令，則在上遞增，在上遞減，.當時，在上恒成立.即當時,函數(shù)在定義域上單調遞增。（II）分以下幾種情形討論：（1）由（I）知當時函數(shù)無極值點.（2）當時，時，時，時，函數(shù)在上無極值點。（3）當時，解得兩個不同解，.當時，此時在上有唯一的極小值點.當時，在都大于0 ，在上小于0 ，此時有一個極大值點和一個極小值點.綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；時，有一個極大值點和一個極小值點；時，函數(shù)在上無極值點。（III） 當時，令則在上恒正，在上單調遞增，當時，恒有.即當時，有，對任意正整數(shù)，取得【試題分析】函數(shù)的單調性、導數(shù)的應用、不等式的證明方法。(I)通過判斷導函數(shù)的正負來確定函數(shù)的單調性是是和定義域共同作用的結果；（II）需要分類討論，由（I）可知分類的標準為（III）構造新函數(shù)為證明不等式“服務”，構造函數(shù)的依據(jù)是不等式關系中隱含的易于判斷的函數(shù)關系。用導數(shù)解決函數(shù)的單調性問題一直是各省市高考及各地市高考模擬試題的重點，究其原因，應該有三條：這里是知識的交匯處，這里是導數(shù)的主陣地，這里是思維的制高點.此類問題的一般步驟都能掌握，但重要的是求導后的細節(jié)問題-參數(shù)的取值范圍是否影響了函數(shù)的單調性？因而需要進行分類討論判斷：當參數(shù)給出了明確的取值范圍后，應根據(jù)導函數(shù)的特點迅速判斷或。參數(shù)取某些特定值時，可直觀作出判斷，單列為一類；不能作出直觀判斷的，再分為一類，用通法解決.另外要注意由求得的根不一定就是極值點，需要判斷在該點兩側的異號性后才能稱為 “極值點”.（全國卷二理）已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：解：（1）的導數(shù)曲線在點處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過點，則存在，使若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數(shù)根記，則當變化時，變化情況如下表：000增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則即（全國卷一理）設函數(shù)（）證明：的導數(shù)；（）若對所有都有，求的取值范圍解：（）的導數(shù)由于，故（當且僅當時，等號成立）（）令，則，（）若，當時，故在上為增函數(shù)，所以，時，即（）若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時，即，與題設相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是設函數(shù)（I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調性；（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于（江西理）如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點，且在該點處切線的斜率為（1）求和的值；（2）已知點，點是該函數(shù)圖象上一點，點是的中點，當，時，求的值解：（1）將，代入函數(shù)得，因為，所以又因為，所以，因此（2）因為點，是的中點，點的坐標為又因為點在的圖象上，所以因為，所以，從而得或即或（湖南理）如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點和居民區(qū)的公路，點所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點到山腳修路的造價為萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km當山坡上公路長度為km（）時，其造價為萬元已知，（I）在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最??；（II） 對于（I）中得到的點，在上求一點，使沿折線修建公路的總造價最?。↖II）在上是否存在兩個不同的點，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論AEDBHP解：（I）如圖，由三垂線定理逆定理知，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設，則記總造價為萬元，據(jù)題設有當，即時，總造價最小（II）設，總造價為萬元，根據(jù)題設有則，由，得當時，在內是減函數(shù)；當時，在內是增函數(shù)故當，即（km）時總造價最小，且最小總造價為萬元（III）解法一：不存在這樣的點，事實上，在上任取不同的兩點，為使總造價最小，顯然不能位于 與之間故可設位于與之間，且=，總造價為萬元，則類似于（I）、（II）討論知，當且僅當，同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時，取得最小值，點分別與點重合，所以不存在這樣的點 ，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價解法二：同解法一得當且僅當且，即同時成立時，取得最小值，以上同解法一（湖北理）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力解：（）設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當時，有，即當時，（廣東理）如圖6所示，等腰三角形ABC的底邊AB=，高CD=3，點E是線段BD上異于B、D的動點，點F在BC邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACEF的體積。 （1）求V(x)的表達式； （2）當x為何值時，V(x)取得最大值？ （3）當V（x）取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值。（1）由折起的過程可知，PE平面ABC，V(x)=（）（2），所以時， ，V(x)單調遞增；時 ，V(x)單調遞減；因此x=6時，V(x)取得最大值；（3）過F作MF/AC交AD與M,則，PM=，在PFM中， ，異面直線AC與PF所成角的余弦值為；（廣東理）已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個根，是f(x)的導數(shù)；設，（n=1,2,） （1）求的值； （2）證明：對任意的正整數(shù)n，都有a；（3）記（n=1,2,），求數(shù)列bn的前n項和Sn。解析：（1），是方程f(x)=0的兩個根，； （2），=，有基本不等式可知（當且僅當時取等號），同，樣，（n=1,2,）， （3），而，即，同理，又（福建理）已知函數(shù)（）若，試確定函數(shù)的單調區(qū)間；（）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（）設函數(shù)，求證：本小題主要考查函數(shù)的單調性、極值、導數(shù)、不等式等基本知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結合等數(shù)學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力滿分14分解：（）由得，所以由得，故的單調遞增區(qū)間是，由得，故的單調遞減區(qū)間是（）由可知是偶函數(shù)于是對任意成立等價于對任意成立由得當時，此時在上單調遞增故，符合題意當時，當變化時的變化情況如下表：單調遞減極小值單調遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實數(shù)的取值范圍是（）， 由此得，故（北京理）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值解：（I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為點的縱坐標滿足方程，解得，其定義域為（II）記，則令，得因為當時，；當時，所以是的最大值因此，當時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為（安徽理）設a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x