【高考輔導(dǎo)資料】2008年高考試題——數(shù)學(xué)理(福建卷)

2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(福建卷)數(shù) 學(xué)（理科）本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，第卷第1至第2頁(yè)，第卷第2至第4頁(yè)。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。參考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑P(AB)=P(A)+P(B) 第一卷（選擇題60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A）1 B）2 C）1或2 D）-1設(shè)集合，那么“”是“”的（ ） A）充分而不必要條件 B）必要而不充分條件C）充要條件 D）既不充分也不必要條件設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前7項(xiàng)的和為（ ）A）63 B）64 C）127 D）128函數(shù)，若，則的值為（ ）A）3 B）0 C）-1 D）-2某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（ ） A） B） C） D）如圖，在長(zhǎng)方體中， 則與平面所成角的正弦值為（ ） A） B） C） A）某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（ ）A）14 B）24 C）28 D）48若實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（ ） A） B） C） D）函數(shù)的圖象按向量平移后，得到函數(shù)的圖象，則的值可以為（ ） A） B） C） D）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、，若，則角B的值為（ ） A） B） C）或 D）或雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，若P為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ） A） B） C） D）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如右圖， 那么的圖象可能是（ ）第二卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。若，則 。（用數(shù)字作答）若直線與圓(為參數(shù))沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是 。設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意、，都有、（除數(shù)），則稱P是一個(gè)數(shù)域。例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域。有下列命題： 整數(shù)集是數(shù)域； 若有理數(shù)集，則數(shù)集必為數(shù)域；數(shù)域必為無(wú)限集； 存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域。其中正確的命題的序號(hào)是 。（把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上） 三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。(17)（本小題滿分12分） 已知向量，且A為銳角。 ()求角A的大??； ()求函數(shù)的值域。(18)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，O為AD中點(diǎn)。 ()求證：平面； ()求異面直線與所成角的大?。?()線段上是否存在點(diǎn)，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。(19)（本小題滿分12分） 已知函數(shù) ()設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，前項(xiàng)和為，其中，若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求證：點(diǎn)也在的圖象上； ()求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值。(20)（本小題滿分12分） 某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目B的考試。已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績(jī)均合格方可獲得證書(shū)?，F(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績(jī)合格的概率均為，科目B每次考試成績(jī)合格的概率均為。假設(shè)各次考試成績(jī)合格與否均互不影響。 ()求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書(shū)的概率；()在這項(xiàng)考試過(guò)程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望E。(21) （本小題滿分12分） 如圖，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。 ()已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程； ()設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)。若直線繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有，求的取值范圍。(22) （本小題滿分14分） 已知函數(shù)。 ()求的單調(diào)區(qū)間； ()記在區(qū)間上的最小值為，令。 ()如果對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；()求證：。 數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）參考答案一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分60分.（1）B由得,且（2）A由得,可知“”是“”的充分而不必要條件.（3）C由及是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，得公比（4）B注意到為奇函數(shù)，又故即.（5）B由（6）D 連與交與O點(diǎn),再連BO,則為所成角,下面就是計(jì)算了.（7）A只少一名女生可用間接法即。（8）C可看做可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成直線的低斜率.（9）A,而f(x)=cosx (xR)的圖象按向量(m,0) 平移后得到,所以,故可以為.（10）D由得即,又在中所以B為或.（11）B可用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊,但要注意前者可以取到等號(hào)成立,因?yàn)榭梢匀c(diǎn)一線. 也可用焦半徑公式確定a與c的關(guān)系（12）D 從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在處斜率相同,可以排除B答案,再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小,可明顯看出y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的值在減小,所以原函數(shù)應(yīng)該斜率慢慢變小,排除AC,最后就只有答案D了,可以驗(yàn)證y=g(x).二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題4分，滿分16分.（13）31令,再令（14）此圓的圓心為(-1.2),因?yàn)橐獩](méi)有公共點(diǎn),所以根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑即可;或者可以聯(lián)立方程根據(jù)二次函數(shù)的.（15）9依題可以構(gòu)造一個(gè)正方體,其體對(duì)角線就是外接球的直徑. ,（16）要滿足對(duì)四種運(yùn)算的封閉,只有一個(gè)個(gè)來(lái)檢驗(yàn)，如對(duì)除法如不滿足，所以排除；對(duì)當(dāng)M中多一個(gè)元素則會(huì)出現(xiàn)所以它也不是一個(gè)數(shù)域；成立.三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.（17）本小題主要考查平面向量的數(shù)量積計(jì)算、三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、一元二次函數(shù)的最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力.滿分12分.解:()由題意得由A為銳角得,()由()知,所以 因?yàn)?所以,因此,當(dāng)時(shí),有最大值,當(dāng)時(shí),有最小值-3,所以所求函數(shù)的值域是(18)本小題主要考查直線與平面位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。滿分12分。解法一：（）證明：在PAD中PA=PD,O為AD中點(diǎn)，所以POAD,又側(cè)面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)BDC.由（）知，POOB,PBO為銳角，所以PBO是異面直線PB與CD所成的角.因?yàn)锳D=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以O(shè)B，在RtPOA中，因?yàn)锳P，AO1，所以O(shè)P1，在RtPBO中，tanPBO所以異面直線PB與CD所成的角是.（）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為.設(shè)，則，由（）得CD=OB=，在RtPOC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).解法二：()同解法一.()以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以所以異面直線PB與CD所成的角是， ()假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為，由()知設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).則所以即，取x0=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).設(shè)由，得解y=-或y=(舍去)，此時(shí)，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).(19)本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識(shí)，考查分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.滿分12分. ()證明：因?yàn)樗? 由點(diǎn)在函數(shù)y=f(x)的圖象上, 又所以 所以,又因?yàn)?所以, 故點(diǎn)也在函數(shù)y=f(x)的圖象上.()解:,由得.當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值注意到,從而當(dāng),此時(shí)無(wú)極小值；當(dāng)?shù)臉O小值為,此時(shí)無(wú)極大值；當(dāng)既無(wú)極大值又無(wú)極小值.(20)本小題主要考查概率的基本知識(shí)與分類(lèi)思想,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題/解愉問(wèn)題的能力.滿分12分. 解:設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A，“科目A補(bǔ)考合格”為事件A2；“科目B第一次考試合格”為事件B，“科目B補(bǔ)考合格”為事件B. ()不需要補(bǔ)考就獲得證書(shū)的事件為A1B1,注意到A1與B1相互獨(dú)立，則.答：該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書(shū)的概率為.()由已知得，2，3，4，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，可得 故答：該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.(21)本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí)，考查分類(lèi)與整合思想，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分12分. 解法一：()設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，因?yàn)镸NF為正三角形， 所以, 即1 因此，橢圓方程為 ()設(shè) ()當(dāng)直線 AB與x軸重合時(shí)， ()當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)， 設(shè)直線AB的方程為： 整理得 所以 因?yàn)楹阌?，所以AOB恒為鈍角. 即恒成立. 又,所以對(duì)mR恒成立，即對(duì)mR恒成立.當(dāng)mR時(shí)，最小值為0，所以. ,因?yàn)閍0,b0,所以,即,解得a或a,綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x=1代入=1.因?yàn)楹阌?，即1,解得a或a.（ii）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)A（x1,y1）, B（x2,y2）.設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)代入得,故x1+x2=因?yàn)楹阌?所以,得恒成立.=.由題意得對(duì)kR恒成立.當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，a=;當(dāng)時(shí)，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)0,解得a2或a2（舍去），a，因此a.綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）.（22）本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分14分.解法一：（I）因?yàn)椋院瘮?shù)定義域?yàn)椋?1,+）,且.由得-1x0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）.(II)因?yàn)閒(x)在0,n上是減函數(shù)，所以,則an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(i) 又lim,因此c1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-，1）.（II）由（i）知因?yàn)?=所以(nN*),則N*）解法二：（）同解法一